Synergetics 1_74 TATAPEHKO B A

Критерій Рауса–Гурвиця

Розглянемо лінійну автономну систему із скінченною кількістю ступенів вільности, що описується рівнанням з постійними дійсними коефіцієнтами:

(М.6.1) , .

Це рівнання має єдину точку рівноваги — . З’ясуємо, чи є ця точка абсолютно стійкою. Будемо шукати розв’язок рівнання (М.6.1) у вигляді експоненти:

(М.6.2) .

Підстановка (М.6.2) перетворює (М.6.1) на так зване характеристичне рівнання — поліном п-го

то будь-який відхил від положення рівноваги з часом експоненційно спадатиме, тобто система, що описується рівнанням (М.6.1), є абсолютно стійкою. Якщо хоч для одного k умова (М.6.4) порушується, абсолютна стійкість відсутня.

Для перевірки умови (М.6.4) не потрібно знаходити всі корені рівнання (М.6.3). Перевірку можна зробити, скориставшись так званим критерієм Рауса–Гурвиця (E. J. Routh (1831–1907), A. Hurwitz (1859–1919)). Побудуємо матрицю розміром з коефіцієнтів рівнання (М.6.3). По головній діягоналі розміщуються коефіцієнти від до . У стовпцях розміщуються по черзі коефіцієнти тільки з непарними або лише з парними (від ) індексами, що наростають згори вниз. На місцях коефіцієнтів з від’ємними чи більшими за п індексами ставляться нулі. Одержуємо так звану матрицю Гурвиця:

Її головні діягональні мінори мають вигляд:

(М.6.6) ; ; ; ...; .

Критерій Рауса–Гурвиця стверджує, що необхідною і достатньою умовою виконання умови (М.6.4) для всіх коренів характеристичного рівнання (М.6.3) є додатність усіх головних мінорів мат-

Аналіза коренів рівнання (М.6.3) уможливлює класифікувати нерухомі точки залежно від значень матриці коефіцієнтів Dn, не вдаючись до розв’язування системи рівнань. Класифікацію нерухомих точок представлено в таблиці.

У нелінійній області (за достатньої віддалености від рівноваги), тобто коли термодинамічні потоки вже більше не є лінійними функціями термодинамічних сил, ситуація докорінно міняється. Незважаючи на всі спроби, узагальнення теореми про мінімум виробництва ентропії на нелінійні системи виявилося неможливим. Удалині від рівноваги система, як і раніше, може еволюціонувати до деякого стаціонарного стану, але цей стан уже не визначається за допомогою належно обраного потенціялу.

Доки стани, до яких еволюціонує нелінійна система, визначаються мінімумом потенціялу (виробництва ентропії), їхня стійкість є гарантованою. Флюктуації можуть вивести систему із цього мінімуму, але за другим принципом термодинаміки вона мусить повернутися назад. Таким чином, наявність термодинамічного потенціялу робить систему несприйнятливої до флюктуацій. Маючи у своєму розпорядженні потенціял, можна описати стабільний світ, у якому системи, що еволюціонують, переходять у статичний стан, установлений для них раз і назавжди. Але коли термодинамічні сили, що діють на систему, стають досить великими й змушують її покинути лінійну область, гарантувати стійкість стаціонарного стану або його незалежність від флюктуацій неможливо. У нелінійної області стійкість уже не є наслідком загальних законів фізики. Необхідно спеціяльно вивчати, яким чином стаціонарний стан реаґує на різні типи флюктуацій, створюваних самою системою або навколишнім оточенням.

В межах нерівноважної термодинаміки неясно, яким чином відбувається втрата стійкости дотеперішнього стану й перехід до нового, але вона уможливлює з’ясувати, які ж причини спонукують систему до цього переходу.