Synergetics 1_74 TATAPEHKO B A

Дійсно, якщо слідкувати за фіксованим елементом об’єму, то з’ясуємо, що з плином часу одні траєкторії входитимуть у нього, інші — виходитимуть. Баланс цих траєкторій призводить до власне Ліувіллевого рівнання, яке описує еволюцію в часі t функції розподілу (p,q;t) Гамільтонової системи у

фазовому просторі: , оскільки , де {…, …} позначає Пуассонову дужку, а похідні за часом позначаються крапкою і оцінюються відповідно до Гамільтонових рівнань для системи.

Просте доведення теореми ґрунтується на тому, що еволюція визначається рівнанням непереривности (нерозривности) «потоку рідини» точок системи при їхньому русі через фазовий простір:

, на спостереженні того, що ріжниця між виразом зліва і Ліувіллевим рівнанням визначається лише наступним доданком, який є пропорційним

Розглянемо «траєкторію» малої плями (множини точок) у фазовому просторі. Переміщуючись уздовж множини траєкторій точок, пляма розтягується вздовж однієї координати, скажімо, pi, але стискується по іншій координаті qi так, що добуток pi qi залишається сталим. Площа плями (фазовий об’єм) не змінюється. Більш точно, фазовий об’єм области весь час зберігає свою ве-

сів t.

Об’єм фазового простору Гамільтонової системи зберігається, оскільки еволюція в часі в Гамільтоновій механіці — це канонічний перетвір (а всі канонічні перетвори мають одиничний Якобіян).

Математичні моделі фізичних та хемічних систем, як правило, записують у вигляді рівнань. Розглянемо систему m звичайних диференційних рівнань (ЗДР):

Векторне поле в правій частині рівности (M.2) визначено на всьому просторі або на його частині. Незалежну змінну, якою зазвичай є час, будемо позначати буквою t; крім того, використовуватимемо позначення: xi dxi dt xi (i 1, , m). (Але тут в (M.1) всі фун-

Рівнання (M.3) являють собою параметричні рівнання кривої в Евклідовому просторі (Rm). Цю криву будемо називати траєкторією системи ЗДР; вона дає наочне зображення поводження відповідного розв’язку.

Множина всіх траєкторій системи (M.1) утворює в Rm фазовий портрет системи.

За допомогою диференційних рівнань можна описувати реальні системи і їхню зміну в часі. За допомогою сукупности ЗДР можна описувати еволюцію системи, стан якої в кожний момент часу визначається набором з m дійсних чисел, тобто стан системи можна ототожнити з деякою точкою x Rm. У цьому контексті можна говорити про простір як про

простір станів (множину всіх можливих станів даної реальної системи). При цьому векторне поле (M.2) розуміється як «сила», що визначає напрямок еволюції досліджуваної системи. Еволюція зображується рухом фазової точки відповідною траєкторією Ai.

Стан системи в момент часу t визначається не тільки зазначеним моментом, але також залежить від вихідного стану системи, у якому система перебувала в момент часу t 0:

Це співвідношення (M.5) є початковою умовою для розв’язання системи (M.2), а розв’язком, що відповідає цій умові, буде (0, x0); таким чином, розв’язок задовольняє співвідношенню (0, x0) x0. Функція (t, x), яка розглядається як функція двох змінних t R і x Rm, називається фазовим потоком системи (M.1).

Тепер розглянемо неавтономну систему ЗДР 1-го порядку x f(t, x), де f: R Rm → Rm — непереривна функція f(t, x) (f1(t, x), ..., fm(t, x)), а x (x1, ..., xm). Нехай в Rm зафіксовано деяку норму || || (що узагальнює модуль числа, віддаль, довжину вектора тощо). Розв’язком ЗДР x f(t, x) на проміжку [a, b] називають функцію : [a, b] → Rm, яка перетворює ЗДР x f(t, x) у тотожність на [a, b]: ′(t) f(t, (t)), t [a, b]. Графік розв’язку (що за визначен-

ням лежить у розширеному фазовому просторі R Rm) називають інтеґральною кривою І .

Проєкцію інтеґральної кривої на фазовий простір Rm, паралельну до R, називають траєкторією T . Додаткова (початкова) умова є вимогою того, щоб розв’язок у даній точці набував заданого значення: x(t0) x0. Розв’язання ЗДР x f(t, x) за цієї умови є задачею Коші.

Говорять, що функція f задовольняє Ліпшицевій умові за другим арґументом, якщо

(L) (t R; x, X Rm) [||f(t, x) f(t, X)|| L||x X||]

(число L називається Ліпшицевою сталою).

За теоремою Коші–Пікара, якщо функція f непереривна за першим арґументом і задовольняє Ліпшицевій умові за другим арґументом, то задача Коші на будь-якому відрізку виду [t0, t0 + T] має єдиний розв’язок, тобто через кожну точку x(t0) проходить одна і тільки одна траєкторія. Простою достатньою умовою виконання Ліпшицевої умови є наступне твердження: якщо функція f є диференційовною за другим арґументом, а її похідна є рівномірно обмеженою деякою константою L: || f(t, x)/ x|| L при всіх (t, x) R Rm, тоді вона задовольняє Ліпшицевій умові зі сталою L.

Інтеґральна крива має «дотикатися» векторного поля в кожній своїй точці (рис. б). Тому розширений фазовий простір можна уявляти як парк, часто-густо заповнений стрілками-покажчиками, а розв’язок — як прогулянку по цьому парку у відповідності зі стрілками (у напрямку, що вказується стрілками). Дійсно, у кожній точці розширеного фазового простору ЗДР задає напрямок дотичної до інтеґральної кривої, оскільки воно приписує, чому має дорівнювати

похідна (t) у точці

(t, x) (t, (t)). Якщо ж в кожній точці простору R Rm вектором (1, f(t, x)) указати напрямок дотичної, то одержаний так об’єкт називають полем напрямків, що відпові-

дають ЗДР x f(t, x).

Нехай динамічна система описується системою ЗДР (M.1); X(t) (X1, ..., Xm) — розв’язок системи (M.1), що задовольняє початковим умовам X(t0) X0, а x(t) — деякий інший розв’язок системи (M.1) з початковими умовами x(t0) x0. Тоді розв’язок X(t) задачі Коші є стійким за Ляпуновим, якщо для довільних ( 0) і t0 є( , t0) 0 (того ж самого порядку малости) таке, що при ||x(t0) X0|| маємо ||x(t) X(t)|| для довільних моментів часу t t0, тобто якщо для близьких початкових умов близькими є й відповідні розв’язки. Для стійких за Ляпуновим систем близькість двох сусідніх зображальних точок у фазовому просторі в початковий момент часу ґарантує, що вони залишатимуться близькими (не розбігатимуться) і в будь-який наступний момент часу (рис. а).

Розв’язок X(t) задачі Коші є стійким асимптотично, якщо для довільного t0 є (t0) 0 таке, що при ||x(t0) X0|| маємо ||x(t) X(t)|| 0 для t , тобто коли за близьких початкових умов відповідні розв’язки збігаються (наближаються до X(t)) при t t0.

Кажуть, що система є асимптотично стійкою, якщо в деякому околі точки рівноваги будь-яка фазова траєкторія прямує до цієї точки. (Така стійкість припускає стійкість за Ляпуновим.)

Система є абсолютно стійкою, якщо вона має єдину точку рівноваги, асимптотично стійку в усьому фазовому просторі. Прикладом абсолютно стійкої системи є лінійний дисипативний осцилятор; прикладом асимптотично стійкої є нелінійний дисипативний осцилятор, для якого потенціял має кілька локальних мінімумів.

аб в

Фазові траєкторії систем: стійкої за Ляпуновим (а), орбітально стійкої (б). Орбітально стійкі розв’язок системи ЗДР і відповідна йому траєкторія T у потоці gt (в)

Нехай inf{||x(t ) x(t)||} — точна (найбільша) з усіх нижніх меж віддалей (найменша віддаль) від точки x(t ) до фазової траєкторії x(t). Говорять, що розв’язок X(t) є орбітально стійким, якщо для довільного, як завгодно малого > 0 є така величина ( ) 0 (того ж самого порядку малости), що з нерівности ||x(t0) X0|| для довільних моментів часу t t0 inf{||x(t ) X(t)||} . Іншими словами, для орбітально стійких систем сусідні зображувальні точки з часом можуть і розбігатися, але фазові траєкторії, що виходять із сусідніх точок, залишаються близькими (рис. б). Прикладом орбітально стійкої системи, що є одночасно нестійкою за Ляпуновим, є нелінійний консервативний осцилятор. У нього сусідні фазові траєкторії є близькими між собою, але сусідні зображувальні точки через неізохронність коливань можуть розбігатися з часом.

Поняття стійкости припускає виділення напрямку часу, і, найочевидніше, це проявляється в асимптотичній стійкості, яка припускає, що будь-яке скінченне збурення врешті-решт подавляється системою. Асимптотично стійкий розв’язок є тим самим ат-

рактором, тобто розв’язком, що «притягує» решту розв’язків. Наявність атракторів є характерною для дисипативних систем, для яких задано напрямок еволюції (стрілу часу), а режим, що врешті-решт встановлюється, не залежить від початкових умов (або залежить в тому сенсі, що, якщо для системи є декілька атракторів, розв’язок в залежності від початкових умов «притягується» до одного з них). Для систем консервативних (інваріянтних щодо зміни знаку часу) поняття асимптотичної стійкости не має сенсу, і можна казати лише про стійкість за Ляпуновим.

Диференційне рівняння, що описує поведінку динамічної системи, зазвичай залежить від одного чи декількох параметрів, яких називають керувальними. Зміна цих параметрів буде, взагалі кажучи, призводити до зміни фазового портрету.

Якщо в деякій області значень керувального параметра його малі зміни призводять до малих змін фазового портрету (тобто поведінки) системи, то говорять, що в цій області динамічна система є грубою, або структурно стійкою, або стійкою за

Андроновим–Понтрягіним.

Зазвичай до нелінійних систем стає застосовним поняття біфуркацій. Якщо при переході керувального параметра через деяке значення спостерігається якісна зміна фазового портрету системи, то таке значення називають біфуркаційним, а саму зміну фазового портрету — біфуркацією.

Для аналізи стійкости достатньо побудувати Ляпуновову функцію. Але ці критерії не містять жодних тверджень про те, чи можна це зробити, і не дає конкретного рецепту її побудови. Вони не уможливлюють також визначити ряд характерних параметрів системи (частоти, часу релаксації), які автоматично одержуються за лінеаризації.

Складання Ляпуновової функції має ґрунтуватися на врахуванні наступних напівемпіричних засад.

Аналіза похідних термодинамічної Ляпуновової функції (насамперед, другої варіяції ентропії) уможливлює виявити причини явищ самоорганізації. Насамперед, це — наявність у них («дестабілізаційних») неґативних доданків, які пов’язані як із самим реакційним механізмом автокаталітичного процесу, так і з термокінетичним ефектом, якщо, наприклад, йдеться про синергетичні схеми хемічних реакцій. Зокрема, розгляд складних реакційних, конденсаційних, гідродинамічних схем дозволяє підсумувати результати термодинамічної аналізи (аналізи похідної термодинамічної Ляпуновової функції), за допомогою якої було виявлено клас циклів («осциляцій», «пульсацій») хемічних, кристалізаційних, гідродинамічних відповідно:

власне хемічні;

термокінетичні;

газофазові;

циклі в гетерогенній каталізі;

циклі при кристалізації;

циклі у реакторах з рецикльом;

циклі, де пульсації виникають через гідродинамічну нестійкість (апарати із псевдозрідженим і фонтанувальним шарами);

циклі в поєднаних процесах, об’єднаних наявністю зворотнього зв’язку.

До визначених причин виникнення циклічних явищ у фізико-хемічних системах (тобто причин виникнення складно впорядкованих дисипативних структур і автоколивних режимів) належать:

1)наявність джерел надходження речовини й енергії (відкритість системи);

2)віддаленість системи від рівноваги, що обумовлює її нелінійність (наявність нелінійних зв’язків між потоками й рушійними силами);

3)наявність зворотніх зв’язків у вигляді автокаталітичної петлі (наявність автокаталітичних зворотніх зв’язків);

4)наявність термокінетичних зв’язків;

5)наявність зворотніх зв’язків у вигляді рециклю (повторного використання);

6)інтенсивне виділення тепла (й тепловиділення) у ході хемічних реакцій за недостатнього тепловідведення;

7)конвекція;

8)гетерогенність;

9)наявність речовини (малорозчинної) з високою здатністю до (нерівноважного) пересичення (за кристалізації);

10)наявність зворотнього зв’язку в поєднаних процесах.