6°.Гомоморфизм и изоморфизм групп.

Определение 18. Пусть и− множества,и− бинарные операции (наисоответственно).Гомоморфизмом из вназывается отображениетакое, что

Пример. Отображение является гомоморфизмом из (R, +) в (R, ). Это следует из справедливости равенства

Замечания.

1. Аналогично определяется понятие гомоморфизма, если на множествах иопределены несколько операций.

2. Так как полугруппа, группа, кольцо и так далее являются множествами с операциями, то очевидно, как определяются понятия гомоморфизма полугрупп, групп и так далее.

Определение 19. Изоморфизм − это биективный гомоморфизм.

Определение 20. Говорят, что пара изоморфна паре , еслиизоморфизм изв.

Обозначение. означает, чтоизоморфно. Иногда пишут.

Примеры.

1. Отображение является изоморфизмом из (R; +) в (R_>0; ). Действительно, это отображение является гомоморфизмом (см. предыдущий пример) и биективным отображением (в силу свойств экспоненциальной функции).

2. В начале §1 комплексные числа определялись как пары действительных чисел. Множество пар вида отождествлялись с множеством действительных чиселR. Это возможно в силу изоморфизма этих двух множеств.

Отображение CC такое, что , является изоморфизмом.

3. Отображение RR такое, что , является изоморфизмом аддитивной группы и не является гомоморфизмом мультипликативной группы. Действительно,, но.

Теорема 7. Пусть − изоморфизм. Тогда

1. если − коммутативна, то− также коммутативна;

2. аналогично для ассоциативности;

3. если − нейтральный элемент вотносительно, то− нейтральный элемент вотносительно;

4. если и− взаимно обратные элементы из, тои− взаимно обратные из.

Доказательство.

1. Пусть и. Докажем, что. Так каки, то последнее равенство можно переписать в равносильном виде, что равносильно. Справедливость последнего равенства следует из коммутативности операции.

2. Доказывается аналогично 1). Пусть . Тогда:,,. Далее по аналогии.

3. Пусть . Докажем, что. Пусть. Тогда. Аналогично доказывается.

4. Пусть , где− нейтральный элемент в. Действуя на все элементы этого равенства функцией, получаем требуемое равенство.■

Следствие. Из доказанной теоремы следует, что если и− группа, то− также группа. Аналогично для колец и полей.

Теорема 8. Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Изоморфны между собой также и все конечные циклические группы данного порядка .

Доказательство. Действительно, любая бесконечная циклическая группа с образующим элементом отображается взаимно однозначно на аддитивную группу (Z, +), если каждому элементу этой группы ставится в соответствие число. Это отображение является изоморфизмом, так как согласно (3) при перемножении степеней элементапоказатели складываются. Если рассматривается конечная циклическая группапорядкас образующим элементом, то, рассматривая мультипликативную группу корней­−ой степени из единицы и обозначая, изоморфизм строится сопоставлением элементугруппычислаC. Изоморфность такого отображения следует из следствия к теореме 2 из § 1.■

77