5°. Подполугруппа, подгруппа.

Пусть − бинарная алгебраическая операция на.

Определение 11. Подмножество называетсязамкнутым относительно , есливыполняется

Если подмножество множествазамкнуто относительно, то наопределена операция: каждой пареставится в соответствие

Определение 12. Такая операция на называется операцией,индуцированной операцией .

Утверждение 3. Пусть − полугруппа изамкнуто относительноТогдаявляется полугруппой относительно индуцированной операции.

Доказательство. Для доказательства леммы достаточно показать, что операция ассоциативна на множествеЭто очевидно, так как все элементыявляются элементами, а навведенная операция ассоциативна.■

Определение 13. Пусть − полугруппа. Подмножество, замкнутое относительно, называетсяподполугруппой.

Пример. (Z)− полугруппа (и даже группа), а (N) − подполугруппа (но не группа).

Определение 14. Пусть пара () – группа.называетсяподгруппой, если X замкнуто относительно , иX − группа относительно индуцированной операции.

Определение 15. Пусть тройка (P;+,) − кольцо (поле). Подмножество называетсяподкольцом (подполем), если Y замкнуто относительно + и иY является кольцом (полем).

Пример. (Q; +, ) − подполе в поле (R; +, ).

Теорема 5. Пусть () – группа.является подгруппой в

1) X замкнуто относительно ;

2) , где− нейтральный элемент в;

3) существует.

Доказательство. Достаточность − очевидна.

Необходимость. Пусть − подгруппа в. Тогда условие 1) выполнено по определению подгруппы.

Проверим условие 2). Так как − подгруппа, то− нейтральный элемент в. Докажем, что, то есть совпадает с нейтральным элементом в. Действительно, умножим равенствона(симметричный элемент кв смысле, то есть). С одной стороны имеем:, с другой −. Отсюда следует, что.

Осталось проверить 3). Пусть . Тогда, являющийся симметричнымв, то есть. Это и означает выполнение условия 3).■

Аналогичные теоремы доказываются для подколец и подполей.

Теорема 6. Если в группе взяты две подгруппыи, то их пересечение, то есть совокупность элементов, лежащих одновременно в обоих множествах, также будет подгруппой группы.

Доказательство. Действительно, если в пересечении содержатся элементыи, то они лежат в подгруппе, а потому влежат и произведение, и симметричный элемент. По тем же соображениям элементыипринадлежат подгруппе, а потому они входят и в.■

Интересный пример подгруппы − циклические подгруппы. Вначале введем некоторые понятия. Если − элемент группы, тоn-ой степенью элемента называется произведениеn элементов, равных . Отрицательные степени элементавводятся как произведения сомножителей, равных. Легко видеть, что. Для доказательства достаточно взять произведениесомножителей, из которых первыеравны, а остальные −, и произвести все сокращения. Под нулевой степенью элемента будем понимать нейтральный элемент. В силу обобщенной ассоциативности легко показать, что Z имеют место равенства:

(3)

Обозначим подмножество группы, состоящее из всех степеней элемента.

Утверждение 4. Множество является подгруппой группы.

Доказательство очевидно.

Определение 16. Подгруппа называетсяциклической подгруппой группы .

Легко видеть, что циклическая подгруппа всегда коммутативна, даже если сама группа некоммутативна. Если все степени элементаявляются различными элементами, тоназываетсяэлементом бесконечного порядка. Если существуют иизN, такие, что , тоназывается элементом конечного порядка. Легко видеть, что в этом случае. НаименьшееN такое, что называетсяпорядком элемента .

Определение 17. Группа называется циклической группой, если она состоит из степеней одного из своих элементов , то есть совпадает с одной из своих циклических подгрупп. Элементв этом случае называетсяобразующим элементом группы .

Примеры.

1) (Z, +) − циклическая группа с образующим элементом 1.

2) Группа корней n-ой степени из 1 − циклическая мультипликативная группа с образующим элементом, получаем по формуле (11) из § 1 при