2°. Группа, свойства группы.
Определение 7. Непустое множество G с заданной алгебраической операцией называетсягруппой, если
1) – ассоциативная операция;
2) в G нейтральный элемент ;
3) симметричный элемент из
Если – коммутативная операция, то группа называетсякоммутативной или абелевой.
Операция, относительно которой G − группа, называется групповой операцией. Если групповая операция − умножение, то группа называется мультипликативной, если– сложение, тоG – аддитивная группа.
Примеры.
(N,+) – коммутативная полугруппа без нейтрального элемента.
(N,) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом.
(Z, +) – аддитивная абелева группа.
(Q, +) – аддитивная абелева группа.
(R, +) – аддитивная абелева группа.
(R, ) – абелева полугруппа с нейтральным элементом.
(R) – мультипликативная абелева группа.
–абелева группа: .
Множество векторов на плоскости или в пространстве относительно операции сложения образуют абелеву группу.
Свойства группы.
1) В группе G нейтральный элемент и симметричный элемент.
Доказательство следует из теорем 1 и 2.
2) Для уравненияимеют единственное решение:
, .
Доказательство. Покажем, что – решение уравнения. Имеем:, то есть− решение.
Если – другое решение, то после умножения слева на – единственное решение. Аналогично для другого уравнения.
3) Закон сокращения в группе. Если .
Доказательство следует из свойства 2).
3°. Кольцо, свойства кольца.
В алгебре изучаются множества и с несколькими, например, с двумя, алгебраическими операциями.
Определение 9. Непустое множество K называется кольцом и обозначается (K), если выполняются условия:
1) (K, +) – абелева группа;
2) умножение ассоциативно, то есть ;
3) умножение дистрибутивно относительно сложения, то есть
, .
Кольцо называется коммутативным (понятия абелева кольца нет!), если умножение коммутативно. Если относительно умножения существует нейтральный элемент, то кольцо называется кольцом с единицей.
Примеры колец.
(Z; +, ), (Q; +, ), (R; +, ) образуют коммутативные кольца с единицей относительно обычных операций сложения и умножения.
Множество {0}, содержащее лишь одно число 0, образует кольцо, называемое нулевым кольцом.
Множество непрерывных на отрезкефункций с операциями + и, определенными следующим образом:
, ,
образует коммутативное кольцо с единицей.
Множество V3 всех векторов пространства относительно операций сложения векторов и векторного произведения векторов не образует кольцо.
Рассмотрим пространство битовых строк (последовательностей длины , состоящих из нулей и единиц), относительно операций(исключающее «или») и(логическое умножение), которые задаются таблицами:
0 |
1 | |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 | |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Например, (1010) (0110)=(1100); (1010)(0110)=(0010).
Операции и− алгебраические, нейтральный элемент – нулевая битовая строка (0…0). Для каждой битовой строки противоположным элементом является эта же битовая строка. Доказательство коммутативности, ассоциативности операцийии дистрибутивность логического умноженияотносительно операциисводятся к доказательству этих свойств для битовых строк длиной 1, которое проводится прямыми вычислениями. Таким образом, пространство битовых строк с операциями,является кольцом, которое обозначается. Это кольцо является коммутативным кольцом с единицей.
Так как (;+) абелева группа, то противоположный элемент . Поэтому вК можно ввести операцию вычитания: .В силу свойства группыединственное решение уравнения.
Свойства кольца.
1) Умножение дистрибутивно относительно вычитания, то есть
.
Доказательство.
.
2) .
Доказательство. Так как . Аналогично доказывается, что.
Утверждение, обратное свойству 2), неверно. А именно, существуют кольца, в которых произведение двух ненулевых элементов равно нулю, то есть но. Такие кольца называютсякольцами с делителями нуля. Например, множество непрерывных функций – кольцо с делителями нуля. Действительно, если,.
Аналогично, − множество матриц размера− кольцо с делителями нуля.
3) Если − отличный от нуля элемент из, не являющийся делителем нуля, и
(закон сокращения в кольце). Аналогично,
Доказательство.
4)
Доказательство.
4°. Поле, свойства поля.
Пусть P – множество, содержащие не менее двух элементов.
Определение 10. Множество с заданными на нём алгебраическими операциями сложения + и умноженияназываетсяполем и обозначается (), если:
1) (P;+) – абелева группа;
2) (P\{0};) – абелева группа;
3) умножение дистрибутивно относительно сложения, то есть
Таким образом, поле – это коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей, в котором все ненулевые элементы составляют мультипликативную группу.
Примеры полей.
(Q; +, ), (R; +, ), (C; +, ) − примеры полей.
(,,) − поле.
Свойства поля.
1) В поле Р нет делителей нуля.
Доказательство. Пусть Умножимна:.
С другой стороны,
2) Свойство сокращения на ненулевой элемент: из
3) , уравнениев полеP имеет единственное решение .
Доказательство. При доказываемое свойство – это свойство группы, при− свойство кольца.
Решение уравнения обозначаетсяи называется частным от деленияна. Таким образом, в поле определено деление на ненулевой элемент.
Вывод. В произвольном поле можно проводить все операции, как в обычной арифметике: сложение, вычитание, умножение, деление на ненулевой элемент, раскрытие скобок, приведение подобных, … .
Итак, алгебраические структуры – это множества с алгебраическими операциями. Дальнейшее обобщение – алгебраические системы, являющиеся совокупностью множества, алгебраических операций и отношений. Эти системы изучаются на стыке алгебры и математической логики.