Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК11

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1715 16 17 > Следующая >>>

СОДЕРЖАНИЕ
3.1. Контрольные вопросы	144
3.2. Задачи и упражнения для самостоятельной работы	146
3.3. Расчетные задания	155
3.4. Литература	171

3.1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1.Комплексные числа и их геометрические и их геометрическое представление.

2.Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. Модуль и аргумент. Формула Эйлера.

3.Действия над комплексными числами (сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня).

4.Множества точек на комплексной плоскости (области и их границы; окрестности; порядок связности области).

5.Определение функции комплексного переменного и его геометрическое истолкование.

6.Предел и непрерывность функции.

7.Основные элементарные функции комплексного переменного (показательная, логарифмическая, тригонометрическая, гиперболические и обратные тригонометрические функции).

8.Производная и дифференциал.

9.Условия дифференцируемости функции. Условия Коши – Римана. (Даламбера – Эйлера).

10.Аналитичность функции в точке и области.

11.Гармонические функции. Связь аналитических функций с гармоническими.

12.Интеграл от функции комплексного переменного. Определение, свойства, вычисление.

13.Интегральные теоремы Коши (для односвязной и многосвязной области).

14.Первообразная. Формула Ньютона – Лейбница.

15.Интегральная формула Коши.

16.Интегральная формула для производных аналитических функций.

17.Числовые комплексные ряды. Условия сходимости.

18.Понятие комплексного функционального ряда. Степенные ряды. Теорема Абеля.

19.Ряды Тейлора и Лорана (главная и правильная части ряда Лорана).

20.Изолированные особые точки (устранимая, существенно особая, полюс).

21.Нули аналитической функции. Связь между нулем и полюсом.

22.Вычет функции в конечной и изолированной особой точке и его вычисления.

23.Основная теорема о вычетах.

24.Применение теории вычетов к вычислению контурных интегралов.

25.Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов.

144

3.1А. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Существуют ли такие точки z C , что cos z >1?

2. Верно ли, что функция W = sin z неограничена на C?

3. Может ли функция быть дифференцируемой в точке z0 и не быть

аналитической в этой точке?

4. Может ли функция быть аналитической только в одной точке?

5. Верно ли, что функция f (z) аналитическая в области D , если Re f (z) и Im f (z) - функции, гармонические в этой области?

6. Может ли разложение некоторой функции в ряд Лорана содержать: а) конечное число слагаемых с отрицательными степенями (z − z0 );

б)	конечное число слагаемых с	положительными	степенями
(z − z0 );
в)	бесконечное число слагаемых	с отрицательными	степенями
(z − zi );

г) бесконечное число слагаемых с положительными степенями

i)?

7.Пусть Cn (n = 0, ±1, ± 2,...) - коэффициенты разложения в ряд(z − z

Лорана функции

f (z)	=	∞	(z − z0 )n .
		∑Cn
Найти коэффициенты C*n		n=−∞
	разложения в ряд Лорана функции:
а) (z − z0 )f (z);		б) (z − z0 )3 f (z);		1	f (z).
				z − z0
8. Пусть res f (z)= 0 . Верно ли, что

z=z0

∫f (z)dz = 0

z−z0 =R

для любого R > 0?

145

3.2 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

3.2.1. Выполнить основные четыре действия алгебры над комплексными числами z1 = −1+ 2i и z2 = −3− 4i .

3.2.2. Найти действительные решения уравнения

(3x − i)(2 + i)+ (x − iy)(1 + 2i) = 5 + 6i

3.2.3.Найти середину отрезка, соединяющего точки z1 и z2 .

3.2.4.Три последовательные вершины параллелограмма находятся в точках z1 ,z2 ,z3. Найти четвертую вершину.

3.2.5.Показать, что z + z = 2 Re z, z − z = 2i Im z.

3.2.6. Изобразить на комплексной плоскости числа z = 3 + 2i ,

z= 3 − 2i . Найти их модули и аргументы.

3.2.7.Изобразить на комплексной плоскости числа


a) 3 + i 3	б) 3 − i 3	в) − 3 + i 3	и вычислить их модули и
г) − 3 − i 3	д) i 3	е) − i 3
главные значения аргумента.
3.2.8. Представить в показательной форме числа
z1 = 2i, z2 = −5, z3 = 2 + 2i, z4 = −1− 3 i.
3.2.9.	Найти модуль	и аргумент числа	ei α − ei β	, если
α > β, α −β ≤ 2π.
	1 − i 8
3.2.10. Вычислить		.
3.2.10. Вычислить		.
	1 + i
3.2.11. Решить уравнение		z5 +1 − i = 0.

3.2.12 Определить и изобразить линии, точки которых удовлетворяют уравнениям.

1) z − 3 + i = 1

3) z = cos2t + i(sin 2t − 2),

0 < t ≤ 2π

5) Re z2 = 1

7) 2 z z + (2 + i)z + (2 − i)z = 2

2) z − 3i − z + 3i = 2

4) z = t + i 1t , 1 ≤ t < ∞ 6) Re(1 + z) = z

146

3.2.13. Найти множества точек комплексной плоскости, которые определяются неравенствами.

1)	Re z < 3					2)	−		π < arg z <				π
		z	− Re z ≤ 0						4				6
3)								z −1
3)						4)				≤ 1


5) 1 ≤				z −1 + i	≤ 2			z +1
								z +1
							1				1			1		1
							1				1			1		1
						6)			< Re			+	Im		<

							4									2
							4			z			z			2

3.2.14. Найти значение функции в указанной точке, записав число в алгебраической форме:

1) f(z) = cosz, z0

= 5 − i

2) f(z) = eez ,

= i

3) f(z) = Ln z, z0 = −3 + 4 i

4) f(z) = z1+i , z0

= 1 + i

3.2.15. Найти значения степеней:

а) 2i ;

б) (−1) 2 ;

в) ii+1

3.2.16. Решить уравнение

sin 3z = 3i .

3.2.17. Доказать тождество: ch2 z −sh2 z =1,sinz = i sh i z ,

cosz = cosx chy −i sinx shy.

3.2.18. При отображении

w = z3

найти:

а) образ линии

lz :arg z = π ;

б) образ области

Dz :

≤ 2, 0 ≤ arg z ≤ π .

w = sin z

3.2.19. При отображении

найти:

а) образы прямых, параллельных действительных оси;

б) образ прямоугольника: − π < x < π , 0 < y <

π.

3.2.20. Найти область Gw , в которую преобразуется область Dz :

2 <

< 3, Im z > 0, Re z > 0 при помощи функции f (z)= z +

147

3.2.21. Выяснить, дифференцируемы ли следующие функции. В случае дифференцируемости найти производную: а) z z ; б) sin 3z + 2 i; в) z2 + z;

г) ez2 .

3.2.22.Выяснить, какие из следующих функций являются

аналитическими хотя бы в одной точке, а какие - нет: а) w = z2 ; б) w = ch z ;

в) w = ez .

3.2.23. Показать, что условия Коши-Римана в полярных координатах

имеют вид

∂u =

1 ∂v

∂u

= −r

∂v

проверить

выполнение

этих

r ∂ϕ

∂ϕ

∂r

условий для функций: а)

w = z3 ,

б)

w = ln z.

Являются ли эти функции

аналитическими и где ?

области 0 <

< ∞

по

3.2.24.

Найти

аналитическую

функцию

действительной или мнимой части:

а)

u = x3 − 3xy2 ; б)

u =

;

в)

+ y2

v= 3e2 x cos2y.

3.2.25.Найти коэффициент подобия k и угол поворота ϕ при

отображении с помощью функции w = z3 − 3z2 + 3z + 5 в точках: а) z = 0;

б) z = i .

3.2.26. Найти коэффициент подобия и угол поворота при отображении в

данной точке

z0 = i : а) w =

;

б)

w =

z −1

z +1

3.2.27. Выяснить, какая часть комплексной плоскости растягивается, а

какая - сжимается при отображении с помощью функции w = z2 .

3.2.28. Является ли конформным отображение: а) w =

;

б) w = 2z +1;

в) w = z Re z.

3.2.29. Вычислить интеграл

∫Im z dz, если

а) L − отрезок действительной оси от точки z0

= 3 до z0

= −3,

б) L − полуокружность

= 3,

0 ≤ arg z ≤ π.

3.2.30. Вычислить ∫ z dz, если

а) L − отрезок прямой, соединяющий точки z1

= 1 и z2 = i ,

б) L − дуга окружности z = 1 от точки z1 = 1 до точки z2 = i , в) L − замкнутый контур: z =1, 0 < argz ≤ 2π.

148

3.2.31. Вычислить интеграл

∫z sin z dz.

2dz

3.2.32. Вычислить ∫

, если

L z

+ 9

а) точки ± 3i вне контура L,

= −3i - вне контура L,

б) точка z1

= 3i лежит внутри, а

в) точка z2

= −3i лежит внутри, а z1 = −3i - вне контура,

г) точки z1, 2

= ±3i лежат внутри контура L.

3.2.33. Вычислить интеграл

∫

, где L − окружность с центром в

точке a и радиусом R.

L z − a

2z −1 − i

3.2.34. Вычислить

∫

dz .

(z −1)(z − i)

3.2.35. Вычислить:

sin z dz

∫

;

∫

;

=3 z

+4z

=3 z

− 7z +10

∫

ez dz

;

∫

sin πz

;

z−1

(

−1

(z + i)

)

∫

(z +1)dz

z(z −1)

(z −

∞

e2 i n

∞

2 − i n

3.2.36. Исследовать на сходимость ряды 1)

∑

n n

;

2) ∑

;

n sin i n

n=1

∞

∑

n=1

3.2.37. Найти область сходимости рядов

∞

(z + i)

∞

1) ∑

;

∑

n=1

ln i n

∞

i n π

∞

(z +1 − i) ;

∑

∑ n(z +1 − i)

3) ∑

∑

(z +1 − i)

(z +1 − i)n

n=1

n=0

n=1

n=0

149

3.2.38. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки z0 и найти

радиус сходимости: 1)

f(z) = sin 2z,

z0 = π;

2) f(z)

, z0 = 1; 3) f(z) = ln(z2 + 6z +12), z0 = −3.

− z +1

3.2.39. Разложить функцию в ряд Лорана в указанной области:

1) f(z)

2z + 3

, 1 <

< 2 ;

f(z) = (z −1)2

, 0 <

< 1;

+ 3z + 2

3) f(z)

e2z −1

f(z) = (z − i)

,0 <

z − i

< ∞;

, 0 <

< 1;

sin

z − i

3.2.40. Найти нули функции и определить их порядки:

1) f(z) =	(	z2	+ 9	)(	z2	+ 4	)	5	;	2)	f(z) = 1 − ez	)(	z2	− 4	)	3	; 3)	f(z) =	z − sin z	.

											(								z

3.2.41. Найти изолированные особые точки функции и определить их характер:

1) f(z) =

z + 2

;

( )

(z −1)3 z(z +1)

f z

z e

z−1

;

f(z) =

sin z

;

f(z) = sin

(

)

−

1 (z

+ π

3.2.42. Выяснить характер особой точки z = ∞ для функций

1) f(z) = e

+ z2 − 4;

2) f(z) =

;

3z2

3) f(z) =

2 z5 − z +1

;

4) f(z) =

cosz

z2 + z + 8

3.2.43. Найти вычеты функций относительно их особых точек

1) f(z) =					z + 2		;		( )	=		1
		(z −1)z(z +1)				2			( )
								2)	f z		z e	z−1			;
												z−1

3)	f(z) =				sin z	;		4)	f(z) = sin				1	+		1		.
3)	f(z) =	(		2	)	;		4)	f(z) = sin					+				.
		(			)												2
			z		−1 (z + π)								z			z	2
			z		−1 (z + π)

150

3.2.44. Найти вычеты функций относительно точки z = ∞:

2 z

1) f(z) = e

+ z2 − 4;

2) f(z) =

;

3z2 +1

3) f(z) =

2 z5 − z +1

;

4) f(z) =

cosz

+ z + 8

3.2.45. Вычислить контурные интегралы:

∫

e2 z dz

;

2) ∫

z2 sin

dz;

πi

z −

dz;

∫

z−1

4) ∫ z dz

, где L − прямоугольник с вершинами в точках z1 = −i,

L cosz

z2 = 2 − i, z3 = 2 + i, z4 = i .

ОТВЕТЫ

3.2.1. z1 + z2

= −4 − 2 i ,

z1 − z2 = 2 + 6i ;

= −

−

3.2.2.x = 1720 , y = −1736

3.2.3.z = z1 +2 z2

3.2.4.z4 = z3 − z2 + z1

3.2.6. z = z =					13, arg z = arctg					2	,
3.2.6. z = z =					13, arg z = arctg						,
				2				2		3
arg z = −arctg				2	, Arg z = arctg			2	+ 2kπ
arg z = −arctg			3		, Arg z = arctg			3	+ 2kπ
			3					3
3.2.7.	1) 2	3,	π		; 2) 2	3, −	π ;			3) 2 3,		5π	; 4)	2	3, −	5π	;
	3, π		6			π 2	6					6				6
5)	3, π	; 6)			3, −	π 2
	2					6

151

−π+

3.2.8. z1 = 2ei 2 , z2

= 5ei π

z3 = 2 2 ei 4 , z4 =

2 e

3.2.9. r = 2 sin α −β

ϕ =

+ α +β

3.2.10. 1

3π

2Rπ

3.2.11. zk =

10 2 e 2

5 ,

k = 0,4

3.2.12. 1) окружность r = 1 с центром в z0 = 3− i ,

2)	гипербола с фокусами в точках z1 = 3i и z2 = −3i и параметром a = 1,
3)	окружность радиуса r = 1 с центром в точке z0 = −2 i ,

4)часть ветви гиперболы y = 1x , где 1 ≤ x < ∞,

5)гипербола x2 − y2 = 1,

6)	парабола y2	= 2x +1,
		(x +1)	2		1	2	9
7)	окружность			+ y −		=		.
7)	окружность			+ y −		=	4	.
					2		4

3.2.13. 1)левая полуплоскость от прямой x = 3,
2)	угол между лучами ϕ = −		π и ϕ =			π ,
			4			6
3)	действительная полуось, включая точку O(0;0),
4)	правая полуось, включая и мнимую ось,						(1;1) и радиусов
5)	кольцо,	образованное окружностями с центром в M 0					(1;1) и радиусов
r1	= 1 и r2	= 2 ,
6)	область, заключенная между окружностями.
3.2.14. 1) ch1cos5 + i sh1sin 5;					2) ecos1[cos(sin1)+ i sin(sin1)];
			4			π
3)	ln 5 + i (2k +1)π − arctg		4	;	4)	2 e− 4 −2kπ (1 + i), k Z
3)	ln 5 + i (2k +1)π − arctg			;	4)	2 e− 4 −2kπ (1 + i), k Z
						2
			3			2

							1
3.2.15. а)	e2kπ (cosln 2 + i sin ln 2);			б) e 2(2k+1)π i ;		2k−		π
						2k−		π
						в) i e	2	, k Z;
k	(	)			k	(		)
3.2.16. z(1) = −2kπ + i ln 10		+ 3 ,			z(1) = −(2k +1)π − i ln			10 + 3 ,
k Z
3.2.18. а) луч Lw :arg w = π;		0 ≤	w		≤ 8; 0 < arg w ≤ π;
3.2.18. а) луч Lw :arg w = π;		0 ≤	w		≤ 8; 0 < arg w ≤ π;
б) Gw − полукруг;

152

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1715 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб46УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб136УМК6.pdf
#
17.03.2015430.08 Кб10УМП . Сб. к.р.2011.doc
#
17.03.2015219.14 Кб73УМП ВРЕМЕНА1.doc
#
06.03.20164.28 Mб41УМП для выполнения КР Наг.маш..docx
#
07.05.2019478.21 Кб3УМП Интегралы.doc