УМК11

Решение.

Пусть z = x + i y . Тогда z = x − i y

и

z2 = x2 − y2 + i(− 2xy).

Следовательно, Im z2

= −2xy . По условию

− 2xy < −1 или

xy >

1

. Полученное неравенство определяет множество то-

2

чек, изображенных на рис. 2.10.

Y

π

Y

arg z =

4

D

2

z

= 2

X

0

1

0

z

=1

X

где u = Re w,

w = f(z) = u(x, y)+ i v(x, y),

(2.19)

v = Im w .

ласть G плоскости w . В этом отображении и проявляются свойства функции

w = f(z) (рис. 2.11).

Y

v

l

D

•f (z)

•z

0

X

0

u

Рис. 2.11

Точки z, линии lz ,

области

Dz называют прообразами точек w = f(z),

линий Lw

и областей G w соответственно, а

w,Lw ,G w называют образами

при отображении w = f(z).

Если в плоскости z кривая lz задана неявным уравнением F(x,y) = 0,

то для того, чтобы найти уравнение ее образа Lw

Φ(u,v) = 0 в плоскости w

при отображении, осуществляемом функцией

w = f(z) = u + i v,

достаточно

u = u(x,y)

исключить x и y из уравнений v = v(x,y).

F(x,y) = 0

x = x(t)

Если

кривая lz

задана

параметрически уравнениями

или z(t) = x(t)+ i y(t),

α ≤ t ≤ β, то можно

y = y(t)

получить

параметрические

уравнения Lw , представив действительную и мнимую части

w = f(z) = u(x,y)+ i v(x,y) как функции параметра t :

u = u x(t),y(t)

)

= U(t)

(

v = v x(t),y(t)

)

= V(t)

(

w = f(z) при

Комплексное число W0 называется пределом функции

z → z0 , если для любого ε > 0

найдется δ > 0 такое, что для всех z ≠ z0 ,

удовлетворяющих неравенству

z − z0

< δ, выполняется

неравенство

f(z)−w0

< ε, причем z → z0

по любому пути из δ − окрестности точки z0 .

В этом случае пишут lim f(z) = w0 .

z→z0

где f(z) = u(x,y)+ i v(x,y), z0 = x0

Существование

lim f(z),

+ i y0 ,

z→z0

lim u(x,y)

lim v(x, y),

равносильно существованию

и

причем

x→x0

x→x0

y→y0

y→y0

lim f(z) = lim u(x,y)+ i lim v(x,y).

z→z0

x→x0

x→x0

y→y0

y→y0

Функция w = f

(z) называется непрерывной в точке z0 , если она опре-

делена в точке z0 и ее окрестности и lim f(z) = f(z0 ), где f(z0 )− конечное

комплексное число.

z→z0

Функция, непрерывная в каждой точке области D, называется непрерыв-

ной в этой области.

Для того, чтобы функция f (z)= u(x, y)+ i v(x, y)

была непрерывна в

точке

z0 = x0 + iy0 , необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и

мнимая части были непрерывными функциями в точке (x0 ,y0 ).

10 . Дробно-рациональная функция

w =

a

0

zn + a

zn−1

+K+a

n

,

n, m N

1

(2.20)

b0 zm + b1zm−1 +K+bm

в частности, рациональная

w = a0 zn + a1zn−1 +K+a n .

20 . Показательная функция

ez = ex (cosy + i sin y),

(2.21)

которая в отличие от функции действительного переменного является периоди-

ческой функцией с периодом 2πi, т.е. ez+2kπi

= ez (k = 0,±1,±2,K).

30 . Тригонометрические функции

cosz =

ei z

+ e−i z

,

sin z =

ei z − e−i z

,

(2.22)

2

2i

tgz =

sin z

,

ctg z =

cosz

.

(2.23)

cosz

sin z

40 . Гиперболические функции

ch z =

e z

+ e− z

,

sh z =

e z − e− z

,

(2.24)

2

2

thz =

sh z

,

cth z

=

ch z

.

(2.25)

ch z

sh z

sin z = −i sh iz,

sh z = −i sin iz

cosz = ch iz,

ch z = cosiz

(2.26)

tg z = −i th iz,

th z = −i tg iz

ctg z = i cth iz,

cth z = i ctg iz

50 . Логарифмическая функция

Ln z = ln

z

+ i(arg z + 2kπ), k = 0,±1,±2,K

(2.27)

ln z = ln

z

+ i arg z.

(2.28)

za

= eaLnz ,

(2.29)

где a − любое комплексное число;

a z

= ezLna ,

(2.30)

где a = α + iβ ≠ 0.

Примеры решения задач

ции (2.2), имеем ez2

= e(x2 −y2 )+i 2xy = ex2 −y2 (cos2xy + i sin 2xy). Откуда

Re w = ex2 −y2 cos2xy,

Im w = ex2 −y2 sin 2xy.

ПРИМЕР

2.18.

Найти

значение

функции

w = sin z в точке

z0 = π + i ln(2 +

5), иначе говоря, найти образ точки

z0

при отображении

w = sin z.

= sin[π +iln(2 +

5)]=|по формуле приведения

Решение.

w 0 = sinz0

и по формуле (2.26)| = i sh ln(2 +

5)=

e−ln(2+ 5 ) −e−ln(2+ 5 )

2 +

5 −

1

(2 + 5)2 −1

2 + 5

=

=

i =

i = 2i ,

= 2 .

i

w 0

2

2

2(2 +

5)

Этот пример показывает, что функция w = sin z в комплексной области

может принимать значения, большие единицы по модулю.

ПРИМЕР 2.19. Найти корни уравнения

cosz = 2

и изобразить их на

плоскости.

w = cosz,

Решение. По определению

функции

из (2.24) имеем

ei z

+ e−i z

= 2 , откуда

e2 i z

− 4 ei z +1 = 0. Полученное квадратное уравнение

2

относительно ei z

имеет корни ei z = 2 ±

3. Следовательно, в силу определе-

ния логарифмической функции (2.27) с учетом (2.28) получаем

i z = ln 2 ±

3 + i arg(2 ±

3)

+ i 2πk = ln(2 ±

3)+ i 2πk,

k = 0,±1,±2,K. Отсюда определяем z: zk

= 2πk − i ln(2 ±

3),

k = 0,±1,±2,K. Итак, получены две серии корней

)

(

)

k

(

)

k

(

z(

1)

= 2πk − i ln 2 + 3

, z

(2)

= 2πk − i ln 2 −

3

,

k = 0,±1,±2,K .

ln(2 −

3)= ln

4 − 3

3),

Учитывая, что

2 +

3 = −ln(2 +

вторая серия корней

z(k2)

перепишется в виде z(k2)

= 2πk + i ln(2 +

3).

y

v

y = x −1

v =

1

(u2

−1)

2

0

1

x

−1 0

1

u

−i

Рис. 2.13

б) Чтобы найти образы семейства

прямых

x = C ,

подставим

вместо

x его

значение в

действительную и

мнимую

части

функции

w = z2 :

u = c2

− y2 ,

v = 2 c y. Исключив отсюда y , получим u = c2 −

v2

−

се-

4 c2

цательной части оси 0u

(рис. 2.14). В частности, при c = ±1 и

c = ±2 соот-

ветственно имеем v2 = −4(u −1) и v2 = −16(u − 4).

Мнимая ось x = 0

u = −y2

. Второе

плоскости z отобразится на линию

= 0

v

u ≤ 0

.

часть действительной оси плоскости w:

v = 0

Семейство прямых y = d отображается в семейство кривых

u = x2 − d 2

или u =

v

2

− d 2 .

4 d 2

v = 2x d

ет с положительным направлением оси

OU (рис. 2.14). В частности, при

d = ±1 и d = ±2 имеем v2 = 4(u +1),

v2 = 16(u + 4).

При d = 0

u = x

2

получаем:

. Это значит, что действительная ось

v = 0

y = −1

− 2 −1 0

1

2

X

параметрической форме

z = r ei ϕ , где

r =

z

= 2, 0 ≤ ϕ ≤ π.

Тогда w = z2 = r 2

ei 2 ϕ , откуда

следует, что

w

= 4,arg w = 2 arg z.