Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК11

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

фициент подобия k = f ′(z0 ) = 1e < 1, т.е. отображение производит сжатие в точке z0 , а ϕ = arg f ′(z0 ) = − π2 , т.е. в данной точке происходит вращение на

угол π2 по часовой стрелке.

б) w′ = 3z2 |z=2i = −12 = 12(cosπ + i sin π), откуда следует, что коэффициент растяжения k = 12 , а угол поворота ϕ = π.

ПРИМЕР 2.30. Каково отображение, осуществляемое функцией w = z3 ?

Решение. dwdz = 3z2 . Функция аналитична во всей плоскости, но в точке

z = 0 w′(0) = 0. Поэтому отображение, осуществляемое этой функцией, конформно во всех точках, за исключением точки z = 0. Так как arg w = 3arg z, то лучи arg z = α и arg z = β, выходящие из точки z = 0 и образующие между собой угол ϕ = β − α, отображаются соответственно в лучи arg w = 3α и arg w = 3β, образующие между собой угол φ = 3(β − α) = 3ϕ. Поэтому в точ-

ке z = 0 конформность отображения нарушается в силу того, что нарушается свойство консерватизма углов: углы не сохраняются, а утраиваются.

2.5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

2.5.1. Интеграл от функции комплексного переменного
Пусть в области D плоскости z задана однозначная непрерывная функ-
ция w = f(z) = u(x,y)+ i v(x,y)					и пусть L − кусочно-гладкая направленная
кривая, принадлежащая D вместе со своими концами z0 и Z.
По определению полагают
				n
∫ f(z)dz =	max	lim	→0	∑f(ζk )		zk ,	(2.34)
L		zk		k=1			Lk = (zk−1 ,zk ) при произ-

где ζk − произвольная точка элементарной дуги
вольном разбиении	дуги L			на	n	частей	точками z0 ,z1 ,K,zn = Z,

zk = zk − zk−1 .

При данных условиях интеграл от функции f(z) вдоль кривой L, как

предел интегральной суммы (2.34), существует.

Вычисление интеграла от функции комплексного переменного сводится к вычислению двух криволинейных интегралов 2-го рода по формуле

113

∫ f(z)dz = ∫ u(x,y)dx − v(x,y)dy + i ∫ v(x,y)dx + u(x,y)dy . (2.35)

L L L

Из формулы (2.35) следует, что на интегралы от функции комплексного переменного распространяются известные свойства криволинейных интегралов.

Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β, что равносильно одному уравнению в комплексной форме z(t) = x(t)+ i y(t), α ≤ t ≤ β, то имеет место удобная для вычисления интеграла формула

∫ f(z)dz = ∫β f[z(t)]z′(t)dt .		(2.36)
L	α

2.5.2. Вычисление интеграла от аналитической функции

Интеграл ∫ f(z)dz , вообще говоря, зависит от пути интегрирования. Ус-

ловием независимости интеграла от пути интегрирования является аналитичность подынтегральной функции.

Важную роль в теории функций комплексного переменного играет интегральная теорема Коши. Приведем две формулировки теоремы для одно- и многосвязной области.

Пусть L − кусочно-гладкая замкнутая кривая, будем ее называть замкну-

тым контуром.	(для односвязной области). Пусть функция f(z) анали-
Теорема Коши
тична в односвязной области D,			тогда для любого замкнутого контура L D
(рис. 2.20) имеет место равенство
∫f(z)dz = 0.				(2.37)
L
Теорема Коши (для многосвязной области). Пусть f(z)				аналитична в
многосвязной области D, ограниченной внешним контуром L0 и внутренними
контурами L1 ,L2 ,K,Ln . Тогда имеет место равенство
∫ f(z)dz = ∫ f(z)dz + ∫ f(z)dz+K+ ∫ f(z)dz				(2.38)
L0	L1	L2	Ln

при условии, что интегрирование по всем контурам производится против часовой стрелки (рис. 2.21).

Как следствие последней теоремы (для двусвязной области) следует от-
метить утверждение: если f(z)		аналитична в области D всюду, кроме z0 D,
то
∫ f(z)dz = ∫ f(z)dz,		(2.39)
L1	L2

114

области, где

где L1 и L2 − произвольные			контуры	в	D, содержащие особую точку
z0 .(рис.2.22).
Y				Y	z
					L1
					L0
		D			L0
		D			D


	L				Ln


					L2
0			X	0	X
Рис. 2.20					Рис. 2.21

•z0 L1

L2 D

Рис. 2.22

Для аналитической функции имеет место формула Ньютона - Лейбница

z∫2	f(z)dz = F(z)\|zz2 = F(z	2 )− F(z1 ),	(2.40)
z1	1
z1
где F(z)− первообразная для f(z), т.е. F′(z) = f(z). Этой формулой			можно

пользоваться для вычисления интеграла вдоль пути, лежащего в односвязной f(z)− аналитична, если известна первообразная для f(z).

Техника нахождения неопределенных интегралов в комплексном анализе та же, что и в действительном, таблица основных интегралов в обоих случаях одинакова.

115

				2.5.3. Интегральная формула Коши
Если f(z) аналитична в области D, z0							D и L D −контур, охваты-
вающий точку z0 , то имеют место следующие формулы:
f(z0 ) =	1			∫	f(z) dz,		(2.41)

	2πi L z − z0
f (n) (z0 ) =			n!		∫	f(z) n+1 dz ,	(2.42)
		2πi
					L (z	− z0 )

(контур L может быть объединением контуров L0 ,L1 ,L2 ,K,Ln (рис. 2.21)).

Формула (2.41) называется интегральной формулой Коши, а интеграл в правой части (2.41) - интегралом Коши. Интегральная формула Коши позволяет находить значение аналитической функции в любой точке, лежащей внутри области D, если известны значения этой функции на контуре L, ограничивающем D. Если точка z0 лежит вне области D, то интеграл Коши равен нулю в

силу теоремы Коши, так как в этом случае подынтегральная функция является аналитической в области D.

Формулы (2.41) и (2.42) могут служить для вычисления интегралов по замкнутым контурам.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.31. Вычислить интеграл ∫(1 + i − 2 z)dz по линиям, соеди-

				L
няющим точки z1	= 0 и z2	= 1 + i ; а) по прямой, б) по параболе y = x2 (рис.
2.23).			Решение. Функция f(z) = 1 + i − 2 z
Y			Решение. Функция f(z) = 1 + i − 2 z
Y	z		не является аналитической (проверьте !),
			поэтому	вычисление интеграла	возможно
	z2 =1 + i		как по формуле (2.35), так и по формуле
			(2.36). Найдем действительную и мнимую
			части	подынтегральной	функции:
			u = 1 − 2x, v = 1 + 2y . По формуле (2.35)
z1 = 0	1	X	имеем: ∫(1 + i − 2 z)dz =
z1 = 0	1	X	L
			= ∫(1 − 2x)dx −(1 + 2y)dy +

Рис. 2.23	L
	+ i∫(1	+ 2y)dx + (1 − x)dy .

116

а)	уравнение	отрезка	прямой, проходящей через точки z1 и z2 :
y = x, 0 ≤ x ≤ 1; значит dy = dx . Тогда получаем
∫(1 + i − 2z)dz = 1∫[(1 − 2x)−(1 + 2x)]dx + i1∫[(1 + 2x)+ (1 − 2x)]dx =
= −2 −L	2i .	0	0

б) Первый способ. Уравнение дуги параболы: y = x2 , 0 ≤ x ≤ 1; значит,

dy = 2x dx и

∫(1 + i − 2z)dz = 1∫[(1 − 2x)− (1 + 2x 2 )2x]dx +i1∫[(1 + 2x 2 )+ (1 − 2x)2x]dx =

= −2 +

i .

Второй способ. Воспользуемся формулой (2.36). Параметрические урав-

нения параболы имеют вид: x = t,

y = t2 , 0 ≤ t ≤ 1, а в комплексной форме -

z(t) = t + i t2 . Находим z′(t) = 1 + 2 i t, z = t − i t2 и

∫(1 + i − 2 z)dz = ∫1 (1 + i − 2t + 2 i t2 )(1 + 2 i t)dt = −2 +

∫(

)

ПРИМЕР 2.32. Вычислить интеграл

3+4i z2 −

3 dz.

Решение. Так как f(z) = z2 − 3 аналитична всюду,

то по формуле Нью-

3+4i

(3 + 4i)

− i

тонаЛейбница (2.40) имеем ∫(z2 −

3)dz =

− 3z

−

[

]

− 3 (3 + 4 i)− i

= −48

+ 6i .

πi

ПРИМЕР 2.33. Вычислить интеграл

2∫z ez dz.

Функции f(z) = z

Решение.

и ϕ(z) = ez являются аналитическими

всюду. Применяя формулу интегрирования по частям, получим

πi

2 i

πi

∫z e

dz = z e

− ∫e

dz =

e 2 − e

−

− i .

ПРИМЕР 2.34. Вычислить интеграл ∫z ez dz по контуру L :

= 3.

Решение. Так как f(z) = z ez

аналитична всюду и контур интегрирования

z = 3 − замкнутый, то в силу теоремы Коши (2.37): ∫z ez dz = 0.

z =3

117

ПРИМЕР 2.35. Вычислить ∫

dz, где

а) L − окружность

= 2 ,

L z − 3

= 4.

б) L − окружность

Решение.

а) Функция f(z) =

аналитична в замкнутом круге

≤ 2,

z − 3

поэтому по теореме Коши

∫

= 0.

z −

б)

Воспользуемся

интегральной

формулой

Коши

(2.41),

положив

f(z) = z3

z0 = 3. Функция

f(z)

= z3

аналитична

круге

≤ 4,

точка

z0 = 3

лежит

этом

круге.

Поэтому

∫=4

dz = 2πi z3

z=3 = 2πi 27 = 54 πi .

z −3

cosz

dz .

ПРИМЕР 2.36. Вычислить интеграл

∫

(z + 3)(z −1)

= 2 , находится

Решение. Внутри области, ограниченной окружностью

одна точка z0 = 1, в которой знаменатель дроби обращается в нуль.

cosz

Для применения формулы (2.41)

интеграл перепишем в виде ∫

z + 3

dz.

f (z)=

cosz

z −1

Здесь функция

является аналитической в круге

≤ 2,

а точка

z + 3

z0 = 1−

внутренняя

точка

круга,

поэтому

имеем

f (z)dz

cos z

πi

∫=2

= 2πi z + 3 z=1

2 cos1.

z −1

∫

sinz

dz .

ПРИМЕР 2.32. Вычислить интеграл

=4 z2 + 4

Решение.

В круге

≤ 4 функция f(z) =

sin z

аналитическая всюду,

+ 4

кроме точек z1

= 2 i и z2

= −2 i . Вырежем из данного круга области δ1

и δ2 ,

ограниченные любыми непересекающимися замкнутыми контурами l1

и l2 ,

причем l1 D и l2

D (рис. 2.24). Тогда в силу теоремы Коши для много-

связной области (формула (2.38)) имеем

118

I =

∫

sin

dz = ∫

sin2

z dz

+ ∫

sin2

z dz

= I1 + I2 . В качестве l1 и l2 можно

z + 4

+ 4

Пусть l1 = {z :

=1}и

взять любые контуры, в частности, окружности.

z − 2i

= {z :

z + 2i

=1} (рис. 2.24). Каждый из ин-

тегралов I1

можно

вычислить

по инте-

= 4

гральной формуле Коши I1 = ∫

sin z

z + 2 i z − 2 i

= 2πi

sin z

πsin 2i

;

z + 2 i

z=2 i

sin z

− 2i

= ∫

sin z

= 2πi

z − 2 i z + 2 i

z − 2 i

z=2 i

= −

πsin(−2i)

Таким

образом,

Рис. 2.24

I = I1 + I2

[sin 2i − sin(− 2i)]=

e2 i2 − e−2 i2

e−2 i2

− e2 i2

−

= −

− e−2

= i πsh 2 .

2 i

ПРИМЕР 2.37. Вычислить интеграл

∫

ez dz

4 , где L − произвольный

(z +

замкнутый контур, однократно обходящий точку z = −2 в положительном направлении.

Решение. Внутри контура подынтегральная функция	ez
		является
	(z + 2)4

аналитической всюду, кроме точки z0 = −2 . Для вычисления интеграла вос-

пользуемся формулой (2.42), выделив аналитическую в указанной области
функцию f(z)		= ez , полагая				n = 3. Так как f ′′′(z) = ez , то в соответствии с
(2.42) ∫	ez dz		=	2πi	f ′′′(− 2) = πi e−2 .
		4
L (z + 2)		3!				3

119

2.6.РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ

2.6.1.Ряды с комплексными членами

∞

Ряд ∑an = a1 + a2 +K+an +K, (2.43)

n=1

где a n = αn + iβn , есть числовой ряд с комплексными членами.

∞

Если сходится ряд ∑ an , то сходится и ряд (2.43), называемый в этом

n=1

случае абсолютно сходящимся.

Сходимость ряда (2.43) с комплексными членами эквивалентна сходимо-

∞	∞
сти рядов ∑αn и	∑βn с действительными членами. В силу этого ряд теорем,
n=1	n=1

относящихся к рядам с действительными членами, в том числе признаки сходимости, переносятся на ряды с комплексными членами.

Функциональный ряд вида

∑∞ a n (z − z0 )n , (2.44)

n=0

где an , z0 − комплексные числа, z − комплексное переменное, называется степенным рядом по степеням z − z0 . В частности, при z0 = 0 имеем ряд

∞

∑an zn по степеням z.

n=0

Как следует из теоремы Абеля, областью сходимости степенного ряда (2.44) является круг z − z0 < R с центром в точке z0 , радиус R которого мо-

жет быть определен применением признаков Даламбера и Коши. Приведем их формулировки.

Признак Даламбера. Если существует конечный предел lim a n+1 = l,

n→∞ a n

то при 0 ≤ l <1 ряд (2.43) сходится абсолютно, а при l >1 − расходится (при

∞

l >1 расходится не только ряд ∑ a n , но и ряд (2.43)).

n=1

Признак Коши. Для числового ряда (2.43) положим lim n a n

= l. То-

n→∞

гда, если 0 ≤ l <1, то ряд сходится абсолютно, если l >1 − ряд расходится.

Обобщением степенного ряда (2.44) является ряд

по целым отрицатель-

ным степеням z − z0 вида

a −1

a −2

a −n

∑∞ a

(z − z

)−n =

+K+

(2.45)

−n

(z − z0 )2

(z − z0 )n

n=1

z − z0

Областью сходимости этого ряда является внешность круга

z − z0

> r , где r

определяется также с помощью признаков Даламбера и Коши.

120

2.6.2. Ряды Тейлора и Лорана

Функция w = f(z), однозначная и аналитическая в точке z0 , разлагается в окрестности этой точки в степенной ряд

∞

f(z) = ∑an (z − z0 )n , (2.46)

n=0

коэффициенты которого определяются по формулам

an =

f (n)(z0 )

или an =

∫

f(z)dz

(n = 0,1,2,K)

(2.47)

n+1

2πi

z−z0

=ρ (z − z0 )

Этот ряд называется рядом Тейлора для функции f(z).

Радиус R круга сходимости

z − z0

< R ряда Тейлора (2.46) - (2.47) ра-

вен расстоянию от точки z0 до

ближайшей

к z0 особой точки функции f(z)

(особая точка, это такая точка в которой функция не является аналитической). Приведем разложение в ряды Тейлора некоторых элементарных функций

в окрестности точки z0 = 0 .

∞

(R = ∞),

ez = 1 +

+K+

+K= ∑

n=0

∞

2n+1

∞

sin z = ∑

(−1)n

cosz =

∑(−1)n

(R = ∞),

(2n +

1)!

(2n)!

n=0

∞

2 n+1

∞

2 n

sh z = ∑

ch z = ∑

(R = ∞),

(2.48)

n=0 (2n +1)!

n=0 (2n)!

1 = ∑zn ,

ln(1

+ z)

= ∑(−1)

n+1

(R = 1).

∞

1 − z

n=0

n=1

Функция f(z), однозначная и аналитическая в кольце r <

z − z0

< R (не

исключаются случаи,

когда r = 0, R = ∞),

разлагается в этом кольце в обоб-

щенный степенной ряд

f(z) =

∞

−1

∞

∑an (z − z0 )n

+ ∑an (z − z0 )n ,

(2.49)

n=−∞

n=0

коэффициенты которого определяются по формулам:

(

z dz

an =

∫

)

(2.50)

n+1

2πi

z−z0

=ρ (z − z0 )

r<ρ<R

Этот ряд называется рядом Лорана функции f(z).

121

	(z) =	−1		(z − z		)	n	∞	a −n
В формуле (2.49) ряд f		∑a						= ∑		называет-
									(z − z0 )n
1		n=−∞	n		0			n=1

ся главной частью ряда Лорана, а ряд

∞

f2 (z) = ∑a n (z − z0 )n − называется правильной частью ряда Лорана.

n=0

Формулы (2.50) малоудобны для вычисления коэффициентов ряда Лорана, поэтому часто для разложения функции в ряд Лорана пользуются искусственными приемами, которые будут рассмотрены на примерах. Ряды Тейлора и

Лорана функции f(z) определяются единственным образом. Эти ряды в области сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать.

Примеры решения задач

∞ n!(e − i)n

ПРИМЕР 2.38. Исследовать на сходимость ряд ∑

Решение.

n=1

К ряду из абсолютных величин членов данного ряда применим

признак Даламбера:

lim

n+1

= lim

(n +1)!(e −i)n+1 n n

(n +1)n+1 n!(e −i)n

a n

n→∞

= e

−n

e2 +1

1 +

>1.

= e −i lim

+1 lim 1

n→∞ n +1

n→∞

Следовательно, ряд расходится.

ПРИМЕР 2.39. Найти радиус и круг сходимости рядов

∞

(

z + i −1

а) ∑

;

б) ∑

)

n=0 (1

+ i n)n

n=0

1 + i e2

Решение. а) Применим признак Коши к ряду из абсолютных величин

данного ряда

lim n

u n

= lim n

z n

= z lim

= lim

n→∞

(1 + in)n

n→∞ 1

+ in

n→∞ 1

+ n 2

= 0 <1. Следовательно, данный ряд сходится, и притом абсолютно, для всех z. Роль круга сходимости выполняет вся плоскость, радиус сходимости R = ∞.

б) По признаку Даламбера имеем

122

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб46УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб136УМК6.pdf
#
17.03.2015430.08 Кб10УМП . Сб. к.р.2011.doc
#
17.03.2015219.14 Кб73УМП ВРЕМЕНА1.doc
#
06.03.20164.28 Mб41УМП для выполнения КР Наг.маш..docx
#
07.05.2019478.21 Кб3УМП Интегралы.doc