- •Физические основы механики
- •Кинематика
- •Ускорение
- •Движущиеся системы отсчета
- •Примеры решения задач по кинематике
- •Движение твердого тела
- •Примеры решения задач на вращательное движение твердого тела
- •Законы динамики
- •Значение и содержание законов сохранения
- •Закон сохранения энергии
- •Методические указания по решению задач к теме "Законы Ньютона и законы сохранения"
- •Примеры решения задач
- •Методические указания по решению задач к теме "Законы Ньютона и законы сохранения" 33
Примеры решения задач
Пример 8. Груз массойm= 45кг вращается на канатеl = 5,0 мв горизонтальной плоскости, совершаяn= 16 об/мин. Какой угол с вертикалью образует канат и какова сила его натяжения?
Решение:
Рисунок 11 – Пример 8
На груз действует сила тяжести и сила натяжения каната. Выбираем начало координат в произвольной точке нахождения груза, в данном случае в точкеОдля наглядности чертежа (рисунок 11).
Уравнение движения по второму закону Ньютона записывается в виде
+=; (48)
так как движение по окружности происходит с постоянной скоростью (по модулю), то полное ускорение тела - нормальное ускорение, направленное к центру окружности радиуса R.
(49)
Ось Хвыбрана по направлению скорости. Проектируя векторы, входящие в уравнение (2) на оси, имеем систему уравнений
Tsin = m42 n2 R ;
Tcos = mg = 0.(50)
Из рисунка 11 следует R = l sin.Решая уравнение (50) совместно, имеем
T= m4 n2 l,
= arccos .
Подставляя числовые значения в единицах СИ и выполнив вычисления, находим
T= 0,63 кН,
cos = 0,71 ,
= 450.
Пример 9. С какой максимальной скоростью может ехать мотоциклист по горизонтальной плоскости, описывая дугу радиусаr = 90 м, если коэффициент трения колёс о почву = 0,4(рисунок 12).На какой угол от вертикали должен отклониться мотоциклист при скорости = 15 м/с?
Решение:
Система мотоциклист и машина рассматриваются как единое точечное твёрдое тело.
При движении по кругу мотоциклист будет обязательно отклоняться от вертикального положения, и движение его в принципе, не будет поступательным, так как скорости различных точек системы отличны друг от друга. Мы рассматриваем скорость центра масс и его нормальное ускорение.
Рисунок 12 – Пример 9
На мотоциклиста действуют следующие силы:
сила тяжести ;
сила нормальной реакции ;
сила трения ;
сила тяги, направленная по касательной к траектории;
сила трения покоя, направленная к центру описываемой траектории.
Так как линейная скорость мотоциклиста постоянна, то сумма проекций всех сил на направление касательной равна нулю. Ускорение центра масс направлено к центру и равно .
Рассмотрим уравнение движения по второму закону Ньютона:
++=(51)
Указанные силы приложены в разных точках, вследствие чего на мотоциклиста действует еще вращательный момент. Этот момент нулевой, если результирующая сила нормального давления и силы трения пройдут через центр масс, так как
(52)
Но в радиальном направлении мотоциклист не имеет скорости, значит:
(53)
Проектируем векторы, входящие в уравнение (51) на оси:
m=,
0 = N-P
Совместное решение скалярных уравнений (53) приводит к выражению
= kN= m= kP = kmg ;
m = kmg ;
= kgR ;
= 19 м/с.
При скорости имеем
= m,
.
При :.
Пример 10. Гиря, положенная на верхний конец стальной пружины, сжимает ее нах0=1,0 мм. На сколько сожмет пружину эта же гиря, брошенная вертикально вниз с высотыh=0,2 мсо скоростью = 1,0 м/с(рисунок 13)
Решение:
Рисунок 13 – Пример 10
Искомая величина Xдеформации пружины определяет потенциальную энергию тела, так как энергия упругого деформированного тела определяется по формуле
,(54)
где k– коэффициент упругости, определяемый отношением упругой силы и величиныхупругой деформации.
Для решения воспользуемся законом сохранения энергии. Рассмотрим систему Земля – гиря – пружина, так как при движении и сжатии пружины трения нет, то механическая энергия этой системы сохраняется.
Подсчитаем энергию системы в начальном и конечном положениях. За нулевой уровень отсчета выберем самое нижнее положение гири, соответствующее сжатой пружине.
В начальном положении энергия системы Wскладывается из потенциальной и кинетической энергии гири:
(55)
В конечном положении у гири не будет кинетической энергии, зато сжатая пружина обладает энергией упругой деформации:
, (56)
где k = .Приравнивая по закону сохранения энергии правые части (55) и (56), получим
. (57)
Решение (57) находят в виде
.
Отрицательный корень x<0соответствует растяжению пружины, поэтому отбрасывается.х=810-2; M=8см.
Пример 11. На рельсах в горизонтальной плоскости стоит платформа с песком общей массойm = 5103 кг. В платформу попадает снаряд массойm=5кг, летящий со скоростью = 400 м/с.Снаряд летит под углом = 36к горизонту. Найти скорость платформы, если снаряд застрял в песке (рисунок 14).
Решение:
Эта задача не может быть решена непосредственно с помощью законов Ньютона. Платформа приобретает скорость в результате взаимодействия со снарядом. Однако закон этого взаимодействия со временем не известен. На систему платформа-снаряд действуют силы: 1) сила тяжести; 2) сила нормальной реакции; 3) сила трения; 4) сила взаимодействия платформы и снаряда.
Рисунок 14 – Пример 11
Вследствие негоризонтального направления скорости снаряда сила нормальной реакции, действующая на платформу меняется. Поэтому закон сохранения количества движения к данной системе не применим.
Если пренебречь силой трения (по сравнению с силой взаимодействия платформы и снаряда), сумма проекций внешних сил на горизонтальное направление равно 0, так как силу взаимодействия снаряд-платформа считаем внутренней для данной системы.
Значит, проекция вектора полного импульса системы на горизонтальное направление остается постоянной:
k1x = k2x, (58)
где k1x – проекция вектора импульса системы до взаимодействия ;
k2x– после взаимодействия.
Тогда k1x = ,
так как =;
k2x = (m+M)u.
С учетом (58) имеем (m+M)u = ;
u = м/с.
Пример 12. Снаряд, летевший горизонтально со скоростью =100 м/с, разрывается на две части на высотеН=40 м. Одна часть падает через времяt=1cна землю точно под местом взрыва. Определить величину и направление скорости второй части снаряда сразу после взрыва (рисунок12).
Решение:
Снаряд и два его осколка считаем замкнутой системой. Значит, полный вектор импульса системы за время взрыва не меняется (из-за кратковременности взрыва и огромных сил, возникающих при этом), то есть
= (59)
Рисунок 15 – Пример 12
До взрыва вектор направлен горизонтально. После взрыва полный вектор импульсаравен сумме векторов импульсов двух осколков. Введя координатные оси, имеем
= 2m ;
= +.
По рисунку видно:
Отсюда u2 = .
Для первого осколка имеем Н = u1t + ;
u1 = м/с.
Тогда u2 = 202 м/с.
Вектор направлен к горизонту под углом:
;
=10.
Пример 13. При упругом ударе нейтрона о ядро углерода он движется после удара в направлении, перпендикулярном начальному. Считая, что массаМядра углерода вn = 12 раз больше массыmнейтрона, определить, во сколько раз уменьшится энергия нейтрона в результате удара.
Решение:
Рисунок 16 – Пример 13
Если скорость нейтрона до удара ,- после удара,- скорость ядра углерода после удара (до удара – нуль).
В результате упругого удара импульс и энергия, которыми до удара обладает нейтрон, распределяются между двумя частицами.
При этом по законам сохранения импульса и энергии имеем
(60)
По условию задачи требуется найти
Принимаем метод проекции с учётом того, что угол между векторами иравен.
Из треугольников импульсов имеем
. (61)
Кроме того, = 12по условию задачи.
Разделим почленно выражение закона сохранения энергии на m, а уравнение (2) наm2:
(62)
Исключая в этой системе уравнений, получим
. (63)
Числитель и знаменатель (63) делим почленно на и находим
,
откуда .
Пример 14. Шарик массойm = 0,1 кг, падая с некоторой высоты, ударяется о наклонную плоскость и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Угол наклона плоскости к горизонту = 30.За время удара плоскость получает импульс силы = 1,73Нс. Какое времяtпройдет от момента удара шарика о плоскость до момента, когда он будет находиться в наивысшей точке траектории?
Решение:
Рисунок 17 – Пример 14
По закону сохранения импульса:
=,
где =сos - (-сos);
= сos (+);
==;
отсюда = 2сos.
Тогда =2mсos. (64)
И
-
=0в верхней точке, следовательно:
сos2 = gt,
откуда t = .
Из (64) найдем =
тогда t =
t = 0,51 c.
Пример 15. Невесомый блок укреплен в вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы = 30и = 45.Гири1и2одинаковой массыm1 = m2 = 1 кгсоединены нитью и перекинуты через блок. Коэффициенты трения гирьk1 = k2 =0,1. Найти ускорениеa, с которым движутся гири, и силу натяжения нитиТ.
Решение:
Рисунок 18 – Пример 15
Пусть при данном значении kгири скользят. С учетом силы трения уравнение второго закона Ньютона в проекциях на направление их движения запишется в виде
или
Так как Т1 = Т2, то сложив (65) и (66), получим
;
,
откуда a = g . (67)
Из (66) найдем Т2 = ++,
подставив в это выражение (67), получим
Т2 = +;
Т2 = ;
Т2 =;
Т2 =;
Т2 =
Подставляя числовые данные, получим
Т1 = Т2 = 6Н, а = 0,244 м/с2.
Пример 16. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пулиm1=5г, масса шараm2=0,5 кг. Скорость пули1=500 м/с. При каком предельном расстоянииlот центра шара до точки подвеса стержня шар от удара пули поднимется до верхней точки окружности?
Решение:
Рисунок 19 – Пример 16
Запишем закон сохранения импульса и закон сохранения энергии для данной системы:
m11= (m1+m2)2(68)
(m1+m2)gh, (69)
где 2 – скорость шара с пулей после удара.
Высота, на которую поднимается шар, h = 2l.
Из (69) 2gl,откудаl = .
Из (68) 2= ,
тогда l= ;
l = 0,64 м.
Содержание
С.
Физические основы механики 2
Кинематика 3
Ускорение 6
Движущиеся системы отсчета 9
Примеры решения задач по кинематике 10
Движение твердого тела 13
Примеры решения задач на вращательное движение твердого тела 16
Законы динамики 23
Значение и содержание законов сохранения 28
Закон сохранения энергии 30