Примеры решения задач по кинематике

Пример 1. Найти по величине и направлению относительно берега скорость человека, движущегося поперек парохода со скоростью2 м/с, пароход движется со скоростью=8 м/с.

Решение:

Рисунок 4 – Пример 1

Скорость человека относительно берега является векторной суммой скоростейи:

=+(12)

Численное значение скорости определяется:===8,25м/с.

Направление скорости определяется углом, который она составляет с направлением движения парохода:, отсюда=1403.

Пример 2. Камень, брошенный вертикально вверх, достигает высоты30м. Через сколько времени он достигает этой высоты и через сколько времени он упадет обратно на землю? Какую начальную скорость ему надо сообщить?

Решение:

Движение камня вверх равнозамедленно, его ускорение а = - g, авысота поднятия

, (13)

где - начальная скорость камня;

- время, в течение которого он поднимается вверх.

Начальная скорость определяется из условия, что скорость в высшей точке поднятия равна нулю, то есть

,(14)

Подставляя (14) в (13), имеем

(15)

Искомое время поднятия определяется из (15). Так как время подъема и падения равны, то камень вернется на землю через .

,.

Начальная скорость вычисляется по уравнению (14)

Пример 3. Точка движется по кривой согласно уравнению.

Найти среднюю скорость движения точки в промежутке времени от и.

Решение:

Среднее значение модуля скорости точки в промежутке времени от t доравно, где- путь, пройденный точкой за время. По условию задачиy- криволинейная координата движущейся точки, а задача сводится к вычислению пути, пройденного точкой за промежуток времени=t₂ – t₁. Предположим, что точка двигалась по кривой в течение всего промежутка времени в одном направлении, то есть

= =y₂ - y₁ ;

.

Движение твердого тела

Твёрдым телом называется совокупность материальных точек, расстояние между которыми постоянно. Поэтому его движение сводится к движению составляющих точек. Движение каждой точки описывается тремя функциями (координатами). Если твёрдое тело состоит из Nточек, то его движение должно описываться3Nкоординатами. Однако нет необходимости использовать три функции, так как большинство из них взаимно зависимы. Число независимых функций, которыми определяется движение некоторой совокупности материальных точек, называется числом её степеней свободы. Движение материальной точки описывается тремя параметрами, и поэтому число её степеней свободы равно трём.

Если две материальные точки жёстко связаны между собой некоторым стержнем неизменной длины l, то независимых координат останется пять, они описывают движение рассматриваемой системы.

Чтобы найти положение твёрдого тела, необходимо задать шесть независимых параметров, то есть число степеней свободы твёрдого тела i = 6.

Эти шесть независимых параметров можно задать различным образом.

Удобно использовать три параметра для указания положения какой-либо точки твёрдого тела, а оставшимися тремя параметрами описывать положение твёрдого тела, закреплённого в этой точке.

Кинематика движения точки была уже проанализирована, а движение твёрдого тела, закреплённого в точке, рассматривается относительно системы координат, жёстко связанной с твёрдым телом.

Поступательным движениемтвёрдого тела называется такое, при котором все его точки движутся по одинаковым траекториям. Это означает, что скорости всех точек тела в любой момент времени одинаковы.

Любая прямая, проведённая между какими-либо точками тела, перемещается параллельно самой себе.

Это движение полностью характеризуется заданием движения какой- либо одной точки тела, то есть поступательно движущееся тело имеет три степени свободы. В кинематическом отношении это движение полностью эквивалентно движению материальной точки.

Плоское движениетвёрдого тела наблюдается тогда, когда траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях. Движение тела в этом случае полностью определяется движением одного из его сечений, в какой-либо из параллельных плоскостей, а положение сечения – положением двух точек этого сечения.

Положение двух точек на плоскости характеризуется четырьмя координатами. Между этими параметрами имеется одно соотношение, выражающее постоянство расстояний между двумя точками. Следовательно, имеются лишь три независимых параметра, то есть число степеней свободы равно трём.

Вращательное движение– это такое, при котором две точки тела остаются всё время неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки твёрдого тела, лежащие на оси вращения, неподвижны.

Другие точки твёрдого тела движутся по окружности в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Если начало отсчёта радиуса – вектора расположить на оси вращения, то скорость любой точки вращающегося твёрдого тела определится так:

=, (16)

где - - линейная скорость;

- угловая скорость.

Рисунок 5

Если расстояние точки твёрдого тела от оси вращения равно R(рисунок 5), то для нормального, тангенциального и полного ускорения имеем следующие соотношения:

(17)

В векторной форме ускорение точек твёрдого тела, ось вращения которого не изменяет направления в пространстве, определяется, как и в случае движения точки по окружности, то есть по формуле

=+(18)