Примеры решения задач на вращательное движение твердого тела

Поскольку угловое перемещение φ, угловая скоростьи угловое ускорение связаны между собой так же, как и соответствующие им линейные величины,,, то методы решения задач на вращательное движение твёрдого тела во многом совпадают с теми, что рассмотрены для движения точки.

Если тело одновременно участвует в двух вращательных движениях с угловыми скоростями иотносительно двух пересекающихся осей, то результирующее движение будет также вращательным с угловой скоростью, равной=+. Направление вектора угловой скорости и вращения твёрдого тела связаны правилом правого винта.

Пример 4.Катающийся цилиндр остановлен силой1 кг. Масса цилиндра2 кг, путь торможения0,5 м. Вычислить скорость цилиндра до торможения.

Решение:

Полная энергия катающегося тела равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:

W= , (19)

где - I- момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр

тяжести параллельно образующей;

- угловая скорость тела.

Момент инерции сплошного цилиндра относительно его оси равен

I = ,

где r- радиус цилиндра.

Линейная скорость точек поверхности качения

, то есть.

Подставим I и в (19):W= .

Кинетическая энергия цилиндра погашена работой силы торможения, то есть

F S = .

Искомая скорость .

Вычисляем: м/с;

м/с.

Пример 5. Две гири с массамиm₁=2кг и m₂=1кгсоединены нитью, перекинутой через блок массойm=1кг. Найти ускорениеа, с которым движутся гири, и силы натяженияТ₁иТ₂нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь.

Решение:

Рисунок 6 – Пример 5

Запишем в векторной форме уравнения поступательного движения первой и второй гири

m₁=m₁+;m₂=m₂+

и уравнение вращательного движения диска

J= +,

где М₁– момент силы натяжения нитиТ₁,М₂– момент силы натяжения нитиТ₂.

Спроектируем первые два уравнения на ось х, а последнее на ось yи добавим уравнение кинематической связи. Получим систему 4-х уравнений:

m₁a = m₁g – T₁; (20)

-m₂a = m₂g – T₂; (21)

J = RT₁-RT₂; (22)

a = R. (23)

Подставим (23) в (22): J= R(T₁-T₂)(24)

Вычтем (21) из (20), подставим в полученное выражение (24) и найдем

а ==2,8 м/с²(25)

Подставляя (25) в (20) и (21), получим

Т₁= m₁(g-a);

Т₁=14Н.

Т₂= m₂(g+a);

Т₂ = 12,6Н.

Пример 6. Блок массойm=1кгукреплен на конце стола. Гири1и2одинаковой массойm₁ = m₂ = 1 кгсоединены нитью, перекинутой через блок. Коэффициент трения гири2о столk =0,1.Найти ускорениеa, с которым движутся гири, и силы натяженияТ₁ иТ₂нитей. Блок считать однородным диском. Трением в блоке пренебречь.

Решение:

Рисунок 7 –Пример 6

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось х и у:

где =km₂g(28)

Разность сил (Т₁-Т₂)создает момент вращения, следовательно:

(Т₁-Т₂)R=,

где J = ,

откуда Т₁-Т₂ = (29)

Из уравнений (26) – (28) найдем

Т₁= ,(30)

Т₂=. (31)

Пусть m₁ = m₂ = m.ТогдаТ₁-Т₂ = m(g – 2a – kg) = mg (1-k) - 2 ma,подставив (26), получим

mg (1-k) = + 2 ma = ,

откуда а = ;

a = 3,5 м/с².

Тогда из уравнения (30)

Т₁= 6,3 Н, Т₂= 4,5 Н.

Пример 7. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью =7,2 км/ч. На какое расстояниеSможет вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки равен10мна каждые100мпути.

Решение:

Рисунок 8 – Пример 7

У основания горки обруч обладал кинетической энергией W_k, которая складывалась из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения. Когда обруч вкатился на горку на расстояниеS, его кинетическая энергия перешла в потенциальную.W_k = W_п.

W_k = +;

W_п = mgH.

Момент инерции обруча J=mR², частота вращения = .

Тогда W_k = +=m².

Следовательно, m² = mgH,

откуда Н = .

Из рисунка видно, что =,

откуда S = ,

или S = .

Подставив числовые данные с учетом  = 2 м/с, получимS = 4,1м.