Физика вод суши by Винников С.Д., Викторова Н.В. (z-lib.org)

обратиться прежде всего к монографиям Г. Карслоу и Д. Егер, А.В. Лыкова и др., в которых приведен набор решений различных задач. При отсутствии готового решения целесообразно попытаться найти его в виде суммы (комбинации) имеющихся решений, поль­ зуясь известным принципом суперпозиции (глава 6, п. 6.5). Досто­ инством этих методов является точность решений; она зависит лишь от точности закладываемых исходных данных и точности производимых вычислений. При решении задачи возможно исполь­ зование ЭВМ. Температура рассчитывается для любой точки тела и для любого момента времени независимо от расчетов за предшест­ вующие интервалы времени. Недостатком является ограниченность круга задач, для которых могут быть получены решения.

Метод конечных разностей состоит в том, что в дифферен­ циальном уравнении теплопроводности, которое следует решить, все бесконечно малые разности (дифференциалы) заменяются ко­ нечными, но малыми разностными величинами. Следовательно, истинное непрерывное в пространстве распределение температуры и непрерывный во времени ход температуры заменяются прибли­ женными прерывистыми значениями, осредняющими температуру конечных малых участков тела Ах, Ay, Az и малых промежутков времени Ат. Достоинством метода является возможность решить весьма сложные задачи, в том числе для тел сложной формы. Ме­ тод позволяет использование ЭВМ. К недостаткам метода отно­ сятся: отсутствие общего решения задач; необходимость произ­ водства вычислений для всего тела и для всего периода, предшест­ вующего моменту времени, для которого производится вычисле­ ние температуры, трудоемкость метода.

Метод исследования температурных полей на моделях (фи­ зическое моделирование) является экспериментальным методом решения теплотехнических задач. Он опирается на теорию подо­ бия и применяется в тех случаях, когда аналитические и другие методы не могут дать ответ. Суть метода состоит в том, что иссле­ дование процессов и явлений, протекающих в изучаемом объекте, заменяется: исследованием их протекания на его модели. Данные, полученные на модели, позволяют судить о тех же процессах и явлениях, протекающих на объекте. Существенным достоинством

101

данного метода является возможность решения сложных задач и исследования недоступных объектов.

Метод аналоговых и счетных машин (метод аналогий) со­ стоит в том, что решение тепловой задачи заменяют уже имею­ щимся решением задали другой физической сущности, в которой уравнения и краевые условия совпадают с первой задачей, хотя размерности у них различны (глава 4, п. 4.5 - метод ЭТА).

Решения задач перечисленными методами для стационарных и нестационарных температурных полей рассматриваются в сле­ дующих двух главах.

3.12. Определение коэффициента теплопроводности

Коэффициент теплопроводности, характеризующий способ­ ность вещества проводить теплоту, может быть определен по фор­ муле (3.11), в конечных разностях имеющей вид

в единицу времени через единицу изотермической поверхности при единичном градиенте температуры. Он определяется экспери­ ментальным путем. В настоящее время разработаны методы опре­ деления коэффициента X как при нестационарном, так и при ста­ ционарном тепловом режиме. При стационарном режиме, когда температура в любой точке тела остается неизменной с течением времени ( dt/dx = 0), определить коэффициент теплопроводности технически сложнее, но результаты опыта получаются точнее, чем при нестационарном режиме. В последнем случае нет необходи­ мости беспокоиться о влиянии на температурное поле краевых эффектов, т. е. нет необходимости сведения задачи к одномерной.

Итак, пусть требуется определить коэффициент теплопро­ водности X однородного и изотропного материала (обладающего одинаковыми физическими свойствами по всем направлениям) в условиях стационарной задачи. Для этого необходимо восполь­ зоваться экспериментальной установкой, схема которой приведена на рис. 3.5. Она состоит из цилиндра 1, в который помещается ис­

102

следуемый материал в виде пластины 7. Вокруг пластины 7 уло­ жена теплоизоляция 6 . Для создания одномерного потока от ос­ новного нагревателя 4 под теплоизоляцией 6 располагается охран­ ный нагреватель 5. Чтобы исключить тепловой поток от нагрева­ теля 4, направленный вниз, под ним за теплоизолятором 3 распо­ ложен охранный нагреватель 2. Для увеличения температурного перепада в исследуемом образце над ним располагается холодиль­ ник 8 .

Измерение температуры на поверхностях образца осуществ­ ляется термопарами 9 я 10, а на поверхностях теплоизолятора 3 - термопарами 11 и 12. Количество теплоты Q, проходящее через исследуемый материал от основного нагревателя 4, определяется по данным измерения силы тока и напряжения в цепи этого нагре­ вателя. Эти характеристики регулируются реостатом, включенным в его цепь. Тепловой режим от дополнительных нагревателей так­ же регулируется реостатами.

7 S

■ у / Т / / / ; ; . ZZZZZZ2ZZ2Z2ZZZS^ ZZZZ2Z2Z27;

Рис. 3.5. Схема установки для определения коэффициента теплопровод­ ности при стационарном режиме.

После того как будут осуществлены все измерения, коэффи­ циент теплопроводности определяется по формуле

где 5 и F - толщина и площадь исследуемого образца; /, и t2 -

температура соответственно на верхней и нижней поверхностях образца.

103

3.13. Определение коэффициента температуропроводно сти методом регулярного режима

но, что процесс охлаждения однородного и изотропного тела раз­ личной геометрической формы можно разделить на три стадии (рис. 3.6). Первая стадия режима охлаждения - неупорядоченная стадия (скорость изменения температуры внутри тела зависит от вида начального распределения температуры). Вторая стадия (ре­ гулярный режим) - процесс охлаждения определяется условиями на границе тела и окружающей его среды, физическими свойства­ ми тела, его геометрической формой и размерами. На третьей ста­ дии (стационарный режим) температура во всех точках тела равна температуре окружающей среды.

Процесс охлаждения тела при регулярном режиме может

где & - так называемая избыточная температура, равная разности между температурой тела t и температурой окружающей среды tc;

С - постоянный коэффициент, определяемый начальными условия­ ми; т - темп изменения температуры в данной точке тела; т - время.

Из формулы (3.75) видим, что температура тела убывает во времени по экспоненциальному закону.

Продифференцируем выражение (3.75) по времени, получим

104

Интегрирование уравнения (3.78) дает выражение для нахо­ ждения темпа охлаждения (нагревания)

При наступлении регулярного режима темп охлаждения не зависит ни от координат, ни от времени и является величиной по­ стоянной для всех точек тела. Установлено также, что если коэф­ фициент теплоотдачи а —» °о, то имеет место соотношение

где а - коэффициент температуропроводности; к, - коэффициент пропорциональности (коэффициент формы), определяемый фор­ мой и геометрическими размерами тела. Этот коэффициент для различной формы тел можно рассчитать по формулам. Например:

для шара

Таким образом,'чтобы определить коэффициент температу­ ропроводности изучаемого тела а, необходимо в эксперименте

105

температуропроводности по полевым наблюдениям

Нередко возникает необходимость определения коэффици­ ента температуропроводности почвогрунта, снега, льда и других материалов в полевых условиях. Эту задачу можно осуществить, организовав наблюдения за температурой по глубине изучаемой толщи (рис. 3.8). При этом получают интегральное значение коэф­ фициента температуропроводности, отражающего температуро­ проводность изучаемой толщи как многофазной среды, и предпо­ лагается, что имеет место только молекулярная теплопроводность.

106

Рис. 3.8. Схема расположения по глубине точек наблюдения за температурой.

I, II—слои, на границах которых измеряется температура; 1 , 2 - кривые хода температуры по глубине

в моменты времени т, и т2.

Воспользуемся уравнением теплопроводности для нестацио­ нарного одномерного температурного поля (3.59), записанного в конечных разностях:

туры в выше (I) и нижележащем (II) слое по отношению к гори­ зонту z в момент времени Tj. Из формулы (3.87) видно, что для оценки коэффициента температуропроводности а для данного грунта необходимо измерить температуру на трех горизонтах толщи. В этом эксперименте следует обратить внимание на харак­ тер теплового процесса: в период наблюдений он должен отвечать условиям охлаждения или нагревания.

107

СТАЦИОНАРНОЕТЕМПЕРАТУРНОЕПОЛЕ

4.1. Одномерное стационарное температурное поле

Однослойное плоское тело. Начнем рассмотрение задачи о распределении температуры в теле при стационарном режиме с аналитического метода.

Условимся под однослойным плоским телом понимать всякое тело, имеющее ограниченные размеры по высоте (тело, имеющее тол­ щину) и неограниченные размеры по двум другим направлениям (в плане). Такое тело носит название пластины. В наших задачах в ка­ честве однослойного плоского тела могут быть приняты ледяной или снежный покровы, слой почвогрунта или воды, стенки гражданских и промышленных сооружений.

Рассмотрим плоское тело толщиной 8, направление которой совпадает с осью z декартовой системы координат, и неограничен­ ного протяжения по направлению двух других осей х и у.

Пусть на поверхностях тела поддерживается постоянной температура tx и t2 (стационарная задача).

При стационарном тепловом режиме температура тела во времени остается постоянной. Поэтому в дифференциальном уравнении теплопроводности без источников и стоков теплоты (3.53), которое позволяет определить температуру в зависимости от времени и координат в любой точке поля, производная dt/dx = 0. В связи с этим обстоятельством, а также ввиду того, что

рассматривается одномерная задача, температура изучаемого тела будет функцией только одной координаты. Поэтому уравнение

108

определены при граничных условиях первого рода, названных выше, т. е.:

Из уравнения (4.3) видно, что распределение температуры по координате z подчиняется закону прямой. Если это распределе­ ние изучается в ледяном покрове, то t\ < t2. Тепловой поток в этом случае направлен снизу вверх в сторону уменьшающихся значений

Уравнение (4.8) определяет распределение температуры по толщине однослойного плоского тела.

При втором граничном условии (4.4) уравнение (4.8) можно представить в виде равенства

из которого, заменив левую часть по закону Фурье (3.10), получим:

или удельный расход теплоты через однослойное плоское тело

109

ентами теплопроводности Хх,Х 2, ...Д л. Слои тела плотно при­ жаты друг к другу. Прообразом такого многослойного плоского

на границах каждого слоя и расхода теплоты через всю многослойную толщу. При трех­ слойной толще, как в нашем примере, должна быть задана темпе­ ратура tx и tA, а отыскивается t2 и ?3.

Если в слоях толщй нет источников и стоков теплоты, то, по закону сохранения энергии, теплота, вошедшая в первый слой, должна пройти все слои толщи без ее увеличения и потерь.

Для решения поставленной задачи нет необходимости воз­ вращаться к общему уравнению теплопроводности при стационар­ ном режиме (4.1). Для этого достаточно воспользоваться решени­ ем (4.11). Согласно уравнению (4.11), для каждого слоя толщи, состоящей из п слоев, можно записать:

110