- •В. Н. Веретенников
- •ТЕОРИЯ РЯДОВ
- •Учебное пособие
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1. Основные понятия и свойства
- •1.1. Числовой ряд. Сумма ряда
- •1.2. Свойства сходящихся рядов
- •1.3. Критерий Коши сходимости ряда
- •2. Положительные ряды
- •2.1. Признаки сравнения
- •2.2. Признак Даламбера
- •2.3. Признак Коши
- •2.4. Интегральный признак сходимости ряда
- •3. Знакопеременные ряды.
- •Абсолютно и условно (неабсолютно) сходящиеся ряды
- •4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
- •1. Основные определения
- •СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
- •Биография
- •Научная деятельность
- •Память
- •1. Теорема Абеля
- •1.1. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
- •2. Свойства степенных рядов
- •2.1. Равномерная сходимость степенного ряда
- •и непрерывность его суммы
- •2.2. Интегрирование степенных рядов
- •2.3. Дифференцирование степенных рядов
- •3. Ряд Тейлора
- •3.1. Условия разложимости функции в ряд Тейлора
- •3.2. Ряды Тейлора элементарных функций
- •Таблица разложений в степенной ряд (ряд Маклорена) основных элементарных функций.
- •3.3. Приложения рядов
- •3.3.1. Вычисление значений функции
- •3.3.2. Вычисление интегралов
- •3.3.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений
- •ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
- •СОДЕРЖАНИЕ
- •Нильс Хенрик Абель
- •ТЕОРИЯ РЯДОВ
- •Учебное пособие
2.3. Признак Коши
Теорема 3.1 (радикальный признак Коши). Пусть дан ряд
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∑an , an |
> 0, n =1, 2, . |
(3.1) |
|||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Если существует конечный предел lim n |
|
= ρ , то |
|
|
|
|
|
|||||||
an |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. при 0 ≤ ρ <1 ряд сходится; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. при ρ >1 ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
▲ 1. Пусть 0 ≤ ρ <1. Так как существует |
предел |
lim n |
|
= ρ , то для любого |
ε > 0 |
|||||||||
an |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|||
найдется такой номер N, начиная с которого будет выполняться неравенство |
|
|||||||||||||
|
|
|
− ρ |
|
<ε или ρ −ε < n |
|
|
< ρ +ε . |
|
|||||
|
n |
an |
|
an |
|
|
||||||||
Выберем ε так, чтобы ρ +ε <1. Обозначим ρ +ε = q , тогда q <1. Из двойного нера- |
венства следует, что nan < q, an < qn (q <1, n ≥ N) .
Итак, все члены ряда, начиная с aN +1 , меньше соответствующих членов сходящегося
∞ |
∞ |
|
||
ряда ∑qn . По признаку сравнения ряд |
∑an |
сходится, а значит, сходится и ряд (3.1). |
||
n=1 |
n=N +1 |
|
||
2. Пусть ρ >1. Выберем ε > 0 так, чтобы ρ −ε >1, тогда q = ρ −ε >1. Из двойного не- |
||||
равенства следует, что q < n |
|
, qn < an |
(q >1, |
n ≥ N) . |
an |
В этом случае an |
>1. |
Следовательно, lim an ≠ 0 и ряд расходится (не выполняется не- |
|
|
n→∞ |
обходимый признак сходимости ряда).
Замечание. Если ρ =1, то ряд (3.1) может, как сходиться, так и расходиться. ▼
Пример 3.1. Исследовать на сходимость ряд ∑∞ 1 n . n=1 (ln n)
▲ Имеем
a |
|
= |
1 |
, n |
|
|
= |
1 |
; lim n |
|
|
= lim |
1 |
= 0 <1. |
n |
a |
n |
a |
n |
||||||||||
|
|
(ln n)n |
|
|
|
ln n |
n→∞ |
n→∞ ln n |
|
Ряд сходится. ▲
Пример 3.2. Исследовать на сходимость ряд ∑∞ 1 n +1 n2 .
n=1 2n n
▲ Здесь
|
|
|
|
1 |
n +1 |
n2 |
|
|
|
|
1 |
n + |
1 n |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a |
n |
= |
|
|
|
|
|
, n |
a |
n |
= |
|
|
|
|
|
; |
|
|
2n |
|
n |
2 |
|
n |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 n +1 n |
1 |
|
|
|
|
1 |
n |
|
e |
|
|||||
lim n an |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
= |
|
|
lim 1 |
+ |
|
|
= |
|
>1. |
||||||
|
n |
|
|
n |
2 |
|||||||||||||||
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
|
2 n→∞ |
|
|
|
|
|
Ряд расходится. ▼
2.4. Интегральный признак сходимости ряда
Приведем признак сходимости рядов, основанный на сравнении рядов с несобственными интегралами. Введем следующее понятие. Функция f, определенная на промежутке
16
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
[1; +∞], называется производящей функцией ряда |
∑an , если ее значения в целых точках |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
совпадают с соответствующими членами ряда, т. е. |
f (n) = an (n =1, 2, ) . |
|
||||||||||
|
Например, функция |
|
x является производящей для гармонического ряда |
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
1 |
+ |
1 |
+ + |
1 |
+ . |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
Теорема 4.1 (интегральный признак Коши). Пусть положительный ряд ∑an |
имеет не- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
прерывную, положительную и убывающую производящую функцию f (x) на луче x ≥1. |
||||||||||||
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|||||
1. |
числовой ряд ∑an = |
∑ f (n) сходится, если сходится несобственный интеграл |
||||||||||
|
n=1 |
n=1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
+∞∫ f (x)dx ; |
(4.1) |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
ряд ∑ f (n) расходится, если расходится несобственный интеграл (4.1). |
|
n=1
▲Рассмотрим ряд
∫2 |
f (x)dx + ∫3 |
f (x)dx + +n∫+1 f (x)dx + . |
|
(4.2) |
||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
его n-й частичной суммой будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn = ∫2 |
f (x)dx + ∫3 |
f (x)dx + +n∫+1 f (x)dx = n∫+1 f (x)dx . |
(4.3) |
|||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
Сходимость ряда (4.2) означает существование предела последовательности его ча- |
||||||||||||
стичных сумм (4.3), т. е. сходимость несобственного интеграла ∞∫ f (x)dx , поскольку |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
lim |
S |
n |
= lim |
∫ |
f (x)dx |
= |
∫ |
f (x)dx . |
|
|
|
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
В силу монотонности функции |
f (x) |
на любом отрезке [n; n +1] |
f (n) ≥ f (x) ≥ f (n +1) |
|||||||||
или, учитывая |
|
|
|
|
f (n) = an , , an ≥ f (x) ≥ an+1 . |
|
(4.4) |
|||||
f (1) = a1, f (2) = a2 , , |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
+1 |
n+1 |
n+1 |
|
Интегрируя (4.4) на отрезке [n; n +1], получим |
∫an dx ≥ ∫ f (x)dx ≥ |
∫an+1dx , откуда |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
an ≥ n∫+1 f (x)dx ≥ an+1 . |
|
(4.5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
∞ |
|
Если ряд ∑an |
сходится, то по признаку сравнения рядов в силу левого неравенства |
n=1 |
|
(4.5) должен сходиться ряд (4.2), а значит и несобственный интеграл ∞∫ f (x)dx . Обратно, если
1
сходится ∞∫ f (x)dx , т. е. ряд (4.2), то согласно тому же признаку сравнения на основании пра-
1
вого неравенства (4.5) будет сходиться ряд
17
∞ |
|
|
|
|
∑an+1 = a2 +a3 + +an +an+1 + , |
||||
n=1 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
а, следовательно, и данный ряд ∑an = a1 +a2 +a3 + +an |
+ |
. ▼ |
||
n=1 |
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
Пример 4.1. Исследовать на сходимость ряд Дирихле |
∑ |
(α > 0) . |
||
α |
||||
|
n=1 |
n |
▲ Чтобы составить производящую функцию, достаточно заменить n в выражении общего члена ряда на x . Получим f (x) = x1α . Ясно, что на промежутке [1; + ∞] эта функция удовле-
творяет всем условиям теоремы (4.1) (Функция f (x) при x > 0 (а значит и при x ≥1) положительная и убывающая). Поэтому сходимость ряда равносильна сходимости несобственно-
го интеграла
Если α =1, то |
∞ dx |
= lim |
b dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
= lim(ln | b |
| |
−ln1)= ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫1 |
x |
|
|
∫1 |
|
x |
|
|
= lim ln | x | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b→∞ |
|
|
|
|
|
b→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
b→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
−α+1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1−α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Если 0 <α <1, то |
∫ |
|
|
|
= lim |
∫ |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim(b |
|
|
−1)= ∞. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
α |
|
|
|
|
b→∞ |
|
x |
α |
|
b→∞ |
−α +1 |
|
|
|
|
|
|
1−α |
b→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, при 0 <α ≤1 ряд Дирихле расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
dx |
|
|
|
|
|
|
b |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
−α+1 |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1−α |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Если α >1, |
то |
∫ |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim(b |
|
−1)= |
|
|
|
|
|
. Следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
α |
|
b→∞ ∫ |
|
x |
α |
|
|
b→∞ |
|
−α +1 |
|
|
|
|
|
|
1−α |
|
|
b→∞ |
|
|
|
|
|
|
α −1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при α >1 ряд Дирихле сходится. ▼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4.2. Исследовать на сходимость ряд ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 + n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
▲ В данном случае производящая функция |
|
f (x) = |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
удовлетворяет условиям теоремы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 + x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.1 на промежутке [1; ∞] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
и можно воспользоваться интегральным признаком Коши. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ 2dx |
|
|
b 2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim(arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)= |
|
|
(π |
− π )= |
2 |
|
π , |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
2 |
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
|
|
b |
−arctg |
1 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫1 3 + x2 |
∫1 3 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b→∞ |
|
b→∞ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
b→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
2 |
6 |
3 3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
т. е. несобственный интеграл сходится, а значит, сходится и ряд. ▼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4.3. Исследовать на сходимость ряд ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
+1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
▲ Так как общий член данного ряда имеет вид a |
n |
|
= f (n) = |
|
|
|
|
, то выбираем производя- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n2 +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
щую функцию f (x) = |
|
|
|
|
|
|
, |
которая |
|
удовлетворяет условиям теоремы 4.1 на промежутке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 +1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
[1; ∞] . Несобственный интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
∞ |
xdx |
= lim b |
|
|
xdx |
|
|
|
= lim |
1 |
ln(x2 +1) |
|
b |
= |
|
1 |
lim(ln(b2 +1) −ln 2)= ∞ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫1 x2 +1 |
|
|
b→∞ |
∫1 x2 +1 |
|
|
b→∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 b→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расходится, следовательно, ряд тоже расходится. ▼
18
Замечание. Нижний предел интегрирования в несобственном интеграле +∞∫ f (x)dx
можно взять |
|
|
произвольным, например, равным a, где a ≥1− любое число. |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4.4. Исследовать на сходимость ряд ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(n − 2) ln |
2 |
(n − 2) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
▲ Так как общий член ряда |
an = |
|
|
|
, |
то в качестве производящей функции |
|||||||||||||||||||||||||
(n − 2) ln2 (n − 2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
возьмем f (x) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
которая |
удовлетворяет условиям теоремы 4.1 |
на проме- |
||||||||||||||||||||
|
(x − 2) ln2 (x − 2) |
||||||||||||||||||||||||||||||
жутке [4; ∞] . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
dx |
|
|
= lim |
b |
d |
(ln(x −2) = lim − |
1 |
|
|
|
b |
= lim 1 |
− |
1 |
= |
1 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
b→∞ |
|
|
|
|
|
|
b→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(x −2) ln |
2 |
(x −2) |
b→∞ |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 |
|
|
4 |
|
(x −2) |
|
ln(x −2) |
|
4 |
|
|
ln 2 |
|
ln(b −2) |
|
|
ln 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т. к. несобственный интеграл ∫ |
|
|
|
|
|
|
сходится, то сходится и исходный ряд. ▼ |
||||||||||||||||||||||||
|
(x − 2) ln2 (x − 2) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае сходимости ряда
∞
∑ f (n)
n=1
метод, примененный при доказательстве интегрального признака сходимости, позволяет получить оценку погрешности, возникающей при замене суммы ряда частичной суммой.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
Пусть функция f (x) удовлетворяет условиям теоремы 4.1, ряд |
∑ f (n) сходится и |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
его сумма равна S. Можно показать, что в этом случае будет сходиться и несобственный ин- |
||||||||||
теграл +∞∫ f (x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пользуясь неравенством |
f (k) ≤ ∫k |
f (x)dx , оценим остаток Rn заданного ряда. Имеем |
||||||||
|
k−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
∞ |
k |
|
|
|
+∞ |
|
|
Rn = S |
− S = ∑ f (k) ≤ ∑ |
∫ f (x)dx = |
∫ f (x)dx . |
|
||||||
|
k=n+1 |
|
k=n+1 k−1 |
|
|
|
n |
|
||
Итак, 0 < Rn ≤ +∞∫ f (x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, погрешность, получаемая |
при замене суммы |
S сходящегося ряда |
||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
∑ f (n) его n-й частичной суммой Sn , не превосходит интеграла ∫ f (x)dx . |
||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
∞ |
n |
|
|
|
|
|
Пример 4.5. Установить сходимость ряда ∑ |
|
|
|
и оценить погрешность при за- |
||||||
|
2 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
n=1 (n |
+1) |
|
|
|
|
||
мене его суммы S частичной суммой S5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
▲ Здесь производящая функция f (x) |
= |
x |
удовлетворяет условиям теоремы 4.1 на |
|||||||
(x2 +1)2 |
промежутке [1; ∞] . Имеем
19