![](/user_photo/_userpic.png)
- •В. Н. Веретенников
- •ТЕОРИЯ РЯДОВ
- •Учебное пособие
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1. Основные понятия и свойства
- •1.1. Числовой ряд. Сумма ряда
- •1.2. Свойства сходящихся рядов
- •1.3. Критерий Коши сходимости ряда
- •2. Положительные ряды
- •2.1. Признаки сравнения
- •2.2. Признак Даламбера
- •2.3. Признак Коши
- •2.4. Интегральный признак сходимости ряда
- •3. Знакопеременные ряды.
- •Абсолютно и условно (неабсолютно) сходящиеся ряды
- •4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
- •1. Основные определения
- •СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
- •Биография
- •Научная деятельность
- •Память
- •1. Теорема Абеля
- •1.1. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
- •2. Свойства степенных рядов
- •2.1. Равномерная сходимость степенного ряда
- •и непрерывность его суммы
- •2.2. Интегрирование степенных рядов
- •2.3. Дифференцирование степенных рядов
- •3. Ряд Тейлора
- •3.1. Условия разложимости функции в ряд Тейлора
- •3.2. Ряды Тейлора элементарных функций
- •Таблица разложений в степенной ряд (ряд Маклорена) основных элементарных функций.
- •3.3. Приложения рядов
- •3.3.1. Вычисление значений функции
- •3.3.2. Вычисление интегралов
- •3.3.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений
- •ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
- •СОДЕРЖАНИЕ
- •Нильс Хенрик Абель
- •ТЕОРИЯ РЯДОВ
- •Учебное пособие
![](/html/70375/227/html_fgGrQaBgu2.iCJz/htmlconvd-Qkgnvw10x1.jpg)
an + an+1 + an+2 + + a2n =
=1n + n 1+1 + n +1 2 + + 21n > n 1+1 + n +1 2 + + 21n > n +1 n + n +1 n + + 21n =
=21n + 21n + + 21n = n 21n = 12 .
Полученное неравенство выполняется для любого как угодно большого n. Отсюда следует, что для ε < 12 и p = n неравенство (3.1) не выполняется. Тем самым, в силу критерия
Коши гармонический ряд расходится.
Важное замечание. В известном смысле ряд является обобщением конечной суммы. Однако в отличие от конечной суммы, слагаемые в которой можно совершенно произвольно группировать и переставлять местами, отчего сумма, как известно, не меняется, действия с членами произвольного ряда нужно производить осмотрительно – последствия могут быть не всегда предсказуемыми.
Если в расходящемся ряде 1−1+1−1+1−1+ (не выполнен необходимый признак сходимости) попарно сгруппировать соседние группы (1−1) +(1−1) +(1−1) + ,
то получится сходящийся ряд 0 +0 +0 + .
2. Положительные ряды
При решении вопроса о сходимости непосредственное применение определения, как правило, затруднительно. Неудобным для практического применения является и сформулированное в теореме 3.1 (критерий Коши) необходимое и достаточное условие сходимости ряда. При его применении мы снова сталкиваемся с необходимостью вычислять суммы произвольного числа членов ряда. Простым и удобным для применения является условие
lim an = 0 . Однако это условие только необходимое, и, основываясь на нем, можно лишь
n→∞
установить расходимость тех рядов, для которых оно выполнено.
В дальнейшем мы рассмотрим несколько достаточных признаков сходимости рядов. С помощью этих признаков сходимость или расходимость ряда может быть установлена лишь на основании поведения его общего члена.
Наиболее простыми для изучения оказываются такие ряды, все члены которых имеют один и тот же знак.
|
∞ |
|
Определение. Ряд |
a1 +a2 + +an + = ∑an |
называется положительным, если по- |
|
n=1 |
|
ложительны все его члены, т. е. an > 0 при всех n .
2.1. Признаки сравнения
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых достаточных условий сходимости рядов с положительными членами. Предварительно докажем теорему, которая будет использована в последующих рассуждениях.
∞
Теорема 1.1. Для того чтобы ряд ∑an с положительными членами сходился, необходимо и
n=1
достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.
∞ |
|
▲ Необходимость. Пусть ряд ∑an |
сходится. Это значит, что последовательность его |
n=1 |
|
частичных сумм имеет предел. При этом предел lim Sn будет конечным тогда и только тогда,
n→∞
10
когда сумма Sn ограничена сверху, т. е. когда существует такое постоянное число M , что при всех n оказывается Sn < M .
∞
Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда ∑an ограничена. Из
n=1
равенства Sn = Sn−1 +an (n = 2, 3, ; an > 0) следует, что его частичные суммы образуют возрастающую последовательность. Поэтому на основании теоремы о пределе монотонной
ограниченной последовательности всегда существует lim Sn , т. е. последовательность ча-
n→∞
|
|
∞ |
|
стичных сумм сходится, а, значит, сходится ряд ∑an . ▼ |
|
||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
Определение. Пусть даны два положительных ряда ∑an , ∑bn . Если при всех n будет |
||
|
|
n=1 |
n=1 |
|
∞ |
|
∞ |
|
an ≤ bn , то говорят, что ряд ∑bn |
является мажорантным по отношению к ряду ∑an , |
|
|
n=1 |
|
n=1 |
|
∞ |
|
∞ |
|
а ряд ∑an является минорантным по отношению к ряду ∑bn . |
||
|
n=1 |
|
n=1 |
Иначе говоря, каждый член минорантного ряда меньше (точнее не больше) соответствующего (т. е. имеющего тот же номер) члена мажорантного ряда.
Теорема 1.2 (первый признак сравнения). Пусть даны два ряда
|
∞ |
|
|
|
a1 +a2 + +an + = ∑an |
, |
(1.1) |
|
n=1 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
b1 +b2 + +bn + = ∑bn . |
|
(1.2) |
|
n=1 |
|
|
Члены an и bn положительны. Если для всех номеров n выполняется неравенство |
|||
|
an ≤ bn , |
|
(1.3) |
|
∞ |
∞ |
|
то из сходимости ряда ∑bn следует сходимость ряда |
∑an , |
а из расходимости ряда |
|
|
n=1 |
n=1 |
|
∞ |
∞ |
|
|
∑an |
следует расходимость ряда ∑bn . |
|
|
n=1 |
n=1 |
|
|
Теорему 1.2 можно сформулировать так: из сходимости мажорантного ряда следует |
|||
сходимость минорантного; расходимость минорантного ряда влечет расходимость |
|||
мажорантного. |
|
|
|
▲ Составим частичные суммы рядов (1.1) и (1.2) |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
Sn = a1 +a2 + +an , Sn = b1 +b2 + +bn . |
|
|
|
Из условия (1.3) следует, что |
|
|
|
~ |
|
(1.4) |
|
Sn ≤ Sn для всех n =1, 2, . |
Если ряд (1.2) сходится, то по теореме 1.1 (необходимость) последовательность его ча-
стичных сумм ограничена, т. е. для любого n |
~ |
Sn ≤ M , где M – некоторое число. Но тогда по |
формуле (1.4) и Sn ≤ M , откуда по той же теореме 1.1 (достаточность) следует, что ряд (1.1) сходится.
11
![](/html/70375/227/html_fgGrQaBgu2.iCJz/htmlconvd-Qkgnvw12x1.jpg)
Если же ряд (1.1) расходится, то ряд (1.2) также расходится, так как, допустив сходимость ряда (1.2) получим по только что доказанному сходимость ряда (1.1), а это противоречит условию теоремы. ▼
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 1.1. Доказать сходимость ряда ∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
▲ Для установления сходимости данного ряда воспользуемся неравенством |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
n |
= |
|
1 |
|
< |
|
1 |
|
|
(n ≥ 2) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
n 3n |
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
1 <1. Согласно признаку срав- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
и сравним данный ряд с рядом, который сходится ∑ |
, q = |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||||
нения (теорема 1.2), исходный ряд сходится. ▼ |
|
|
|
|
|
n=1 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 1.2. Исследовать на сходимость ряд ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
> 1 для любого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
n2 −1 |
|
|
|
|
|
|||||||
▲ Так как |
|
|
n ≥ 2 , то члены данного ряда больше соответствующих |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n2 −1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
членов расходящегося гармонического ряда. Значит, исходный ряд расходится. ▼ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
Пример 1.3. Исследовать на сходимость ряд ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 (n +1) |
|
1 |
|
1 |
|
||||||||||
▲ Для установления сходимости данного ряда воспользуемся неравенством |
≤ |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
(n +1)n+1 |
2n+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и сравним исходный ряд с сходящимся рядом из членов геометрической прогрессии |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
q |
= |
|
|
<1 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
n+1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Согласно признаку (теорема 1.2) сравнения данный ряд сходится. ▼ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Теорема 1.3 (второй признак сравнения). Пусть даны два ряда |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
a1 +a2 + +an |
|
+ = ∑an , |
|
|
(1.1) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
b1 +b2 + +bn |
+ = ∑bn . |
|
|
(1.2) |
|
n=1
Члены an и bn положительны. Если существует конечный и отличный от нуля предел от-
ношения одинаковых по номеру членов рядов (1.1) и (1.2) c = lim an (0 < c < +∞) , то эти ряды
n→∞ bn
одновременно сходятся или расходятся.
▲ Из существования указанного выше предела вытекает, что для любого числа ε > 0 , найдется номер N такой, что для всех n > N будет выполняться неравенство
|
|
an |
|
|
<ε , или c −ε < |
an |
< c +ε . |
|
|
−c |
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
bn |
|
|
bn |
|
|
Взяв ε < c и обозначив m = c −ε |
(m > 0), M = c +ε |
(M > 0) , получим |
m < an < M , или mbn < an < Mbn , n > N . bn
∞
Если ряд (1.2) сходится, то сходится и ряд ∑Mbn .
n=1
Но т. к. an < Mbn , n > N , то в силу теоремы 1.2 будет сходиться и ряд (1.1).
12
Если ряд (1.1) сходится, то из неравенства mbn < an и теоремы 1.2 следует, что сходит-
∞
ся ряд ∑mbn , тогда, очевидно, сходится и ряд (1.2).
n=1
Доказано, что из сходимости ряда (1.2) следует сходимость ряда (1.1) и обратно. Утверждение теоремы о расходимости рядов доказывается методом от противного. ▼
С помощью доказанных теорем сходимость или расходимость ряда можно установить путем сравнения c известным «эталонным » рядом.
Чаще всего в качестве эталонного ряда употребляются
∞ |
|
|
|
|
|
геометрический ряд ∑aqn−1 , |
|
|
|||
n=1 |
|
|
|
||
∞ |
1 |
и |
|
|
|
гармонический ряд ∑ |
|
|
|||
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле) ∑ |
(α > 0) . |
||||
α |
|||||
|
|
n=1 |
n |
Мы будем называть такие ряды гармоническими, хотя чаще это название относят лишь к ряду ∑∞ 1 .
n=1 n
В дальнейшем будет весьма просто доказано, что гармонические ряды сходятся
при α >1и расходятся при 0 <α ≤1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 1.4. Исследовать на сходимость ряд ∑ln(1+ |
1 |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
▲ Сравним этот ряд с гармоническим рядом ∑ |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Имеем a |
|
|
= ln(1+ |
1 |
), b |
= |
1 |
, lim |
an |
= lim ln(1+ |
1 |
|
) |
=1. Так как предел конечен и отличен |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
n |
n→∞ b |
n→∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
от нуля, а гармонический ряд расходится, то и исследуемый ряд тоже расходится. ▼ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n2 +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример 1.5. Исследовать на сходимость ряд ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3n |
4 |
−2n |
2 |
|
+ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
▲ Ясно, что a |
n |
= |
|
n2 |
+5 |
|
|
→ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3n4 −2n2 + n n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Выясним порядок малости величины an : an |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n~→∞ |
|
, следовательно, в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
3n2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
3 − |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
качестве эталонного ряда выберем гармонический ряд |
∑ |
|
|
. Это значит, что |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n2 +5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
1 ≠ 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n4 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a |
|
= |
|
, b = |
|
, lim |
= lim |
3n4 − |
2n2 |
+n |
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
3n4 −2n2 |
+n |
|
|
n |
n2 |
|
|
n→∞ bn |
n→∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
n |
4 |
|
3 |
− |
|
2 |
|
|
+ |
1 |
|
|
3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
n3 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13