книги / Линейная алгебра.-1
.pdf
|
|
2. ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ |
81 |
|||||||||
записав их в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0*11X1 |
+ |
0-12^2 |
+ . . . |
+ |
CLir Xr |
= |
hi |
— Ш (г + l)Xr + 1 |
— |
— |
0 \ n Xn , |
|
02lX\ |
+ |
Ci22%2 |
+ . .. |
+ |
CL2rXr |
= |
&2 |
— а 2(г+1)жг+1 |
— |
— &2ПЖП, |
||
a r i X l |
| |
C i r 2 X 2 |
I . . . |
| |
C L y y X у |
--- |
Ь у |
C l y ^ y |_ i ^ |
|_ i |
|
. . . |
C L y y ^ X y ^. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.19) |
Если мы придадим неизвестны м |
жг + 1 , . . . , |
х п |
соверш енно про |
|||||||||
извольны е |
значения |
cr + i, ... , |
сп , то система |
(3.19) |
превратится в |
|||||||
квадратн ую систему |
г |
линейны х |
уравнений |
д л я |
|
г неизвестны х |
ад, Х2 , • •., Ху, причем определителем основной м атрицы этой системы явл яется отличны й от нуля базисны й минор м атрицы (3.2). В силу ре зультатов преды дущ его пункта, эта система (3.19) имеет единственное реш ение, определяемое ф орм улам и К рам ера, т. е. д л я произвольно вы
бранны х |
cr + i, ... , |
сп |
сущ ествует единственная совокупность г |
чисел |
||
ci, С2 , ... , |
Су, обращ аю щ их в тож дества все уравнения системы |
(3.19) |
||||
и определяю щ ихся ф орм улам и К рам ера. |
|
|||||
Ч тобы записать |
это |
единственное реш ение, договорим ся обозна |
||||
ч ать символом Mj ( di ) |
определитель, получаю щ ийся из базисного ми |
|||||
нора М |
м атрицы |
(3.2) |
заменой его j - |
го столбца столбцом |
из чи |
|
сел d i, б?2 |
, . .. , Ф, ... , |
dr |
(с сохранением |
без изм енения всех остальны х |
||
столбцов |
М ) . Тогда, |
зап и сы вая реш ение системы (3.19) с помощ ью |
ф орм ул К р ам ер а и пользуясь линейны м |
свойством определителя, мы |
|||
получим |
|
|
|
|
Cj = |
^г(г + 1)^г + 1 |
••• |
Oin Cn ) |
= |
= |
~ cr + l M j {ai^r + 1)) - . .. |
- cn M j { a in)\{3.20) |
(j = 1, 2, . .. , г).
Ф орм улы (3.20) вы раж аю т значения неизвестны х xj — cj (j —
— 1, 2, ... , г) через коэф ф и ц и ен ты при неизвестны х, свободные члены
и произвольно заданны е п арам етры cr + 1 |
, ... , сп . |
||
Д окаж ем , что ф ормулы |
(3.20) |
содерж ат любое реш ение сист ем ы |
|
(3.1). В самом деле, пусть |
cj, с®, |
... , с£, |
с£ + 1, ... , — произвольное |
реш ение указанной системы . Тогда оно явл яется реш ением и системы
(3.19) . Но из системы (3.19) величины cj, rf!, ... , |
с°г определяю тся через |
||||
величины с° + 1, ... , с°п однозначно |
и именно |
по |
ф орм улам К р ам ер а |
||
(3.20) . Таким образом, при cr + i = |
с£ + 1, ... , |
сп |
= |
ф орм улы (3.20) |
|
даю т нам как раз рассм атриваем ое реш ение с?, с®, ... , |
с$!, |
+ ±, ... , . |
|||
З а м е ч а н и е . Если ранг г основной и расш иренной м атриц систе |
|||||
мы (3.1) равен числу неизвестны х |
п, то в этом |
случае |
соотнош ения6 |
6 В .А . И л ьи н , Э .Г. П о зн я к
82 |
|
ГЛ. 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
|
|||||||||||
(3.20) |
переходят в ф орм улы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
M j {к ) |
|
|
= 1, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
м |
|
|
(j |
2, |
|
гг), |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
определяю щ ие |
е д и н с т в е н н о е |
реш ение |
системы |
(3.1). Таким об |
||||||||||
разом , |
сист ем а (3.1) им еет |
единст венное реш ение |
(т . е. я в ля е т с я |
|||||||||||
определенной) |
при усло ви и , |
чт о |
ранг |
г |
основной и |
расш иренной |
ее |
|||||||
м а т р и ц равен |
ч и слу н еизвест н ы х п |
(и |
меньш е числа уравнений |
т |
||||||||||
или равен ему). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
П ри м ер . Н айдем все реш ения линейной системы |
|
|
||||||||||||
|
|
|
Х\ |
- |
Х‘2 |
+ Х3 |
~ |
Х4 |
= |
4, |
|
|
||
|
|
Х\ Т |
Х 2 Т |
|
2 ж з + |
3 ^ 4 |
= |
8 , |
/ о |
|
||||
|
|
2 х 1 + |
4 х 2 |
+ |
5х3 |
+ |
10х4 = |
20, |
[ |
} |
||||
|
|
2xi |
— 4x2 |
+ |
хз |
— 6x4 |
= |
4. |
|
|
Н етрудно убедиться в том, что ранг как основной, так и расш иренной
м атрицы этой системы равен двум (т. е. эта система совместна), при
чем мож но считать, что базисны й минор М стоит в левом верхнем углу
1 |
- 1 |
основной м атрицы , т. е. М = |
= 2 . Но тогда, отбрасы вая |
1 |
1 |
д в а последних уравнения и зад а в ая произвольно сз и С4 , мы получим систему
|
Xl |
- |
х 2 |
= |
4 - |
с3 |
+ |
с4, |
|
|
|
|
|
x i |
+ |
х 2 |
= 8 |
- |
2 с3 |
— Зс4, |
|
|
|||
из которой в силу ф орм ул К р ам ер а получаем значения |
|
|
||||||||||
xi = ci = 6 - |
3 |
- |
с4, |
х 2 |
= |
с2 |
= |
2 - |
1 |
2с4. |
(3.22) |
|
- с 3 |
- с 3 - |
|||||||||||
Таким образом , четы ре числа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 - |
3 |
- |
с4, |
2 - |
1 |
|
- |
2с4, |
с 3 , с 4 |
|
(3.23) |
|
- С 3 |
- с 3 |
|
||||||||||
при произвольно задан н ы х значениях с3 |
и С4 |
образую т реш ение систе |
||||||||||
мы (3.21), причем строка (3.23) содерж ит все |
реш ения |
этой |
системы . |
3 . С войства совокупности реш ений одн ор одн ой систем ы .
Рассм отрим теперь однородную систему т линейны х уравнений с п неизвестны м и (3.7), предполагая, как и выш е, что м атри ц а (3.2) имеет ранг, равны й г, и что базисны й минор М располож ен в левом верхнем углу этой м атрицы .
|
2. ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ |
83 |
||||||
П оскольку на этот раз все hi |
равны нулю, вместо ф орм ул (3.20) мы |
|||||||
получим следую щ ие ф орм улы : |
|
|
|
|
|
|
||
C j = |
— ~^\.Сг + 1 ^ 0 ( а г(г + 1)) + |
• • • + |
C n M j (din)] |
(j |
= 1, 2, . . |
г), |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.24) |
вы раж аю щ ие значения |
неизвестны х |
Xj |
= Cj (j |
= |
1, 2, ... , |
г) че |
||
рез коэф ф и ц и ен ты при |
неизвестны х |
и |
произвольно |
заданны е |
значе |
|||
ния cr |_ 1 , ... , сп . В силу доказанного в преды дущ ем |
пункте ф ормулы |
|||||||
(3.24) |
содерж ат любое реш ение однородной сист ем ы (3.7). |
|
У бедимся теперь в том, что совокупност ь всех реш ений однородной
сист ем ы |
(3.7) |
образует лин ейное прост ранст во. |
||
П усть |
Х \ |
— ( х ^ \ ... , Хп^) |
и I 2 = |
(х ^ \ . . Х п ^ ) ~ д в а произ |
вольны х реш ения однородной |
системы |
(3.7), а Л — лю бое вещ ествен |
ное число. В силу того, что каж дое реш ение однородной системы (3.7) явл яется элементом линейного п ространства А п всех упорядоченны х
совокупностей п чисел, достаточно доказать, что |
к аж д ая |
из двух со |
|||
вокупностей |
|
|
|
|
|
Х г + х 2 = |
( а Д + |
4 2), . . . , а Д |
+ |
Д 2)) |
|
и |
|
|
|
|
|
A M = |
(Л а Д , |
АагД) |
|
|
|
такж е явл яется реш ением однородной системы |
(3.7). |
|
|||
Рассм отрим любое уравнение |
системы (3.7), наприм ер |
г-е уравне |
ние, и подставим в это уравнение на место неизвестны х элем енты ука
занны х совокупностей. У чи ты вая, что Х \ |
и Х ^ ~ р е ш е н и я однородной |
|||
системы, будем иметь |
|
|
|
|
± «у [*<‘> + г ? ] |
= ± |
« у * ™ |
+ ± |
««*< » = 0, |
3 = 1 |
3 = 1 |
3 = 1 |
||
п |
|
п |
|
|
У a ij [Л4 1)] = |
Л У аХ Р |
= |
||
з = 1 |
|
з = 1 |
|
|
а это и означает, что совокупности X i + Х 2 и AXi являю тся реш ениям и однородной системы (3.7).
И так, совокупность всех реш ений однородной системы (3.7) обра зует линейное пространство, которое мы обозначим символом R .
Н айдем разм ерность этого п ространства R и построим в нем базис. Д окаж ем , что в предполож ении о том, что ранг м атрицы однород
ной системы (3.7) равен г, лин ейное прост ранст во R всех реш ений б
б:
84 |
|
|
|
ГЛ. 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
однородной сист ем ы |
(3.7) |
изоморф но ли н е й н о м у прост ранст ву А п ~ г |
|||||||||||||||||||||||
всех упорядоченны х совокупност ей |
(п —г) |
чисел 14) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
П оставим |
в |
|
соответствие |
|
каж дом у |
реш ению |
(щ , ... , сг , |
||||||||||||||||||
cr + i , . . . , |
сп ) |
однородной |
системы |
|
(3.7) |
элем ент |
|
(cr + i, |
... , сп ) |
||||||||||||||||
п ространства |
Д(п |
г)' |
П оскольку |
числа |
cr |_ 1 , ... , |
сп |
м огут |
|
бы ть |
||||||||||||||||
вы браны |
произвольно |
и |
при |
каж дом |
вы боре |
|
с |
помощ ью |
ф орм ул |
||||||||||||||||
(3.24) |
однозначно |
определяю т |
|
реш ение системы |
(3.7), |
то |
установ |
||||||||||||||||||
ленное |
нами |
соответствие |
явл яется |
взаим но |
|
однозначны м . |
Д алее |
||||||||||||||||||
зам етим , |
что |
если |
элем енты |
(су |
|
|
cyn |
) и |
( |
с |
у |
с |
™ |
|
) |
про |
|||||||||
стран ства |
А п ~ г |
отвечаю т |
элементам |
( с ^ , . . . , |
с ^ \ |
|
с ^ + 1? . .. , |
Сп^) |
|||||||||||||||||
и ( c f \ |
... , |
с^г \ |
с ^ ! , |
. .. , |
ci2)) |
п ространства Л, |
то |
из |
ф орм ул |
(3.24) |
|||||||||||||||
сразу ж е следует, что элементу |
/ |
(1) |
|
. |
(2) |
|
|
|
(!) |
, |
|
(2)\ |
|
|
|
||||||||||
(су у. г + |
су у.1, |
|
Сп |
+ Сп ) отвечает |
|||||||||||||||||||||
элемент |
/ |
(1) |
. |
(2) |
, |
|
с С |
+ |
с Д |
J1) |
, |
Д2) |
|
|
|
(1) |
+ |
с Д ) , |
|||||||
(су ' |
+ |
с\ |
|
|
СГ + 1 |
"Г |
|
+ 1 5 ' ' ' 5 |
|
||||||||||||||||
а элементу |
(Лс^1^ , |
|
. .. , |
Xcffl) |
при |
лю бом |
вещ ественном |
Л |
отвечает |
||||||||||||||||
элем ент |
(А сД , |
|
|
Ас!-11. А с Д 1; |
|
АсД *). Тем |
сам ы м |
доказано, |
что |
||||||||||||||||
установленное нами соответствие явл яется изом орф изм ом . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
И так, |
|
лин ейное |
прост ранст во |
R |
всех |
реш ений |
однородной |
||||||||||||||||||
сист ем ы |
(3.7) |
с п |
н еизвест н ы м и и рангом основной |
м ат рицы , |
рав |
||||||||||||||||||||
ны м г, |
изоморф но прост ранст ву А п ~ г и , ст ало бы т ь, |
им еет разм ер |
|||||||||||||||||||||||
ност ь |
п |
— г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л ю бая |
совокупност ь |
из |
(п |
|
— г ) |
ли н ей н о |
н езависим ы х |
реш ений |
|||||||||||||||||
однородной сист ем ы |
(3.7) |
образует |
(в силу теорем ы 2.5) |
базис в про |
|||||||||||||||||||||
ст ранст ве R всех реш ений и назы вает ся ф ундам ент альной совокуп |
|||||||||||||||||||||||||
ност ью реш ений однородной сист ем ы |
(3.7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Д л я |
построения |
ф ундам ентальной |
совокупности |
реш ений |
м ож но |
о тп равляться от лю бого базиса п ространства А п ~ г . О твечаю щ ая это му базису совокупность реш ений системы (3.7), в силу изом орф изм а, будет линейно независимой и поэтом у будет явл яться ф ун дам ен таль
ной совокупностью реш ений. |
|
|
|
|
Особо вы деляю т ф ундам ентальную совокупность реш ений |
систе |
|
мы |
(3.7), отвечаю щ ую простейш ему |
базису e i = (1, 0, 0, ... , 0), |
в 2 = |
= |
(0, 1 , 0 , . . . , 0), ... , е п _ г = (0, 0, |
0, ... , 1) п ространства А п ~ г и н а |
зы ваем ую норм альной ф ундам ент альной совокупност ью реш ений од нородной системы (3.7).
П ри сделанны х вы ш е предполож ениях о ранге и располож ении ба зисного минора, в силу ф орм ул (3.24), н орм альн ая ф ун дам ен тальн ая
14) П ространство А ш введено в примере 3 п. 1 § 1 гл. 2.
2. ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
совокупность реш ений однородной системы (3.7) имеет вид:
Х г = [ - |
М |
\ |
(н^(г -f 1 )) |
M |
r i f l i ^ r + 1)) |
|
|
|
|
|
м |
’ |
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Х 2 = |
М |
\ |
{cLi(r -|- 2 )) |
M |
r ( d i ( r -)- 2 )) |
, о, 1, |
0 J , |
|
|
|
м |
’ |
|
м |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
( |
M i i c L i n ) |
|
M r { d i n ) |
|
l V |
|
г ~ 1 |
м '■ |
|
м , 0 , 0 , . . . , |
85
(3.25)
По определению базиса лю бое реш ение X однородной системы (3.7) представим о в виде
|
X |
— |
С \Х \ |
+ С 2Х 2 + |
. .. |
+ C n —rX n —rj |
(3.26) |
||||
где |
Ci, С 2, ... , |
С п - Г — некоторы е |
постоянны е. П оскольку |
в ф о р |
|||||||
муле (3.26) содерж ится лю бое реш ение однородной системы |
(3.7), то |
||||||||||
эта |
ф орм ула дает |
о б щ е е |
р е ш е н и е |
рассм атриваем ой однородной |
|||||||
системы . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Рассм отрим однородную систему уравнений |
|
|||||||||
|
|
|
Xl - |
х2 + х3 |
- |
Х4 |
= |
О, |
|
||
|
|
|
Х\ Т х2 Т 2жз |
|
+ |
3^4 |
= |
0, |
/о 2 7 ) |
||
|
|
|
2xi Т |
4:Х2 |
5жз |
-|- 10ж4 = |
О, |
|
|||
|
|
|
2xi |
— 4 х 2 + х з |
|
— |
6x 4 = |
О, |
|
соответствую щ ую неоднородной системе (3.21), разобранной в примере в конце преды дущ его пункта. Там мы вы яснили, что ранг г м атрицы этой системы равен двум, и взяли в качестве базисного минор, стоящ ий в левом верхнем углу указанной м атрицы .
П овторяя рассуж дения, проведенны е в конце преды дущ его пункта,
мы получим вместо ф орм ул |
(3.22) соотнош ения |
|
|
||
Cl |
3 |
— С4, |
1 |
2С4, |
|
— —- С о |
С2 — — - С о — |
|
|||
справедливы е при произвольно вы бранны х сз и С4 . С помощ ью |
этих |
||||
соотнош ений (полагая сн ачала С3 |
= 1 , С4 = 0 , а затем сз = О, |
С4 = |
|||
= 1 ) мы получим |
норм альную ф ундам ентальную |
совокупность двух |
|||
реш ений системы |
(3.27): |
|
|
|
|
м = ( 4 - 1 л 4 |
* 2 = ( - 1 , - 2 , о, 1) . |
86 |
|
ГЛ. 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
|
||||
Общее реш ение однородной системы |
(3.27) имеет вид |
|
|||||
|
х |
= С 1 ( - | |
1, о ) |
+ С 2 ( - |
1, - |
2, 0, 1), |
(3.28) |
где С \ |
и С*2 — произвольны е постоянные. |
|
|
|
|||
В |
заклю чение этого пункта |
установим связь |
м еж ду реш ениям и |
||||
неоднородной линейной системы |
(3.1) и соответствую щ ей ей однород |
||||||
ной системы |
(3.7) 15) . Д окаж ем следую щ ие |
д в а |
у т в е р ж д е н и я . |
||||
1°) |
С ум м а любого р еш ения неоднородной |
сист ем ы (3.1) |
с лю бы м |
реш ением соот вет ст вую щ ей однородной сист ем ы (3.7) предст авля
ет собой реш ение сист ем ы |
(3.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
В |
самом |
деле, |
если |
щ , ... , сп — реш ение |
системы |
(3.1), а |
||||||||||||
d i, |
... , |
dn — реш ение |
соответствую щ ей ей однородной |
системы |
(3.7), |
||||||||||||||
то, |
подставив |
в лю бое |
(например, в г - е) уравнение системы (3.1) на |
||||||||||||||||
место неизвестны х числа с\ |
+ |
... , |
сп + dn , получим |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
п |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 3 |
|
|
|
4?) |
~ |
5 3 |
а*3С3 |
5 3 |
~ |
|
+ 0 = |
bi, |
|
||||
|
|
3 = 1 |
|
|
|
|
|
|
3 = 1 |
3 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
что и требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2°) |
Р азност ь |
двух |
произвольны х |
реш ений неоднородной |
сист е |
|||||||||||||
м ы |
(3.1) я в ля е т с я |
реш ением |
соот вет ст вую щ ей |
однородной сист е |
|||||||||||||||
м ы (3.7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В самом деле, если Д , |
... , |
|
и с'/, . .. , |
с" — д в а произвольны х реш е |
||||||||||||||
ния системы (3.1), то, подставив в любое |
(наприм ер, |
в г-е) уравнение |
|||||||||||||||||
системы (3.7) на место неизвестны х числа с[ —с" , . .. , |
с'п |
—с " , получим |
|||||||||||||||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
п |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 3 а^ У |
- |
с") |
= |
Y 1 аи с'з — 5 3 |
ctijC" |
= |
hi |
— |
hi = |
0, |
|
||||||
|
|
3 = 1 |
|
|
|
|
|
|
3 = 1 |
3 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
что и требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
И з |
доказанны х |
утверж дений вы текает, что, |
найдя |
одно реш ение |
||||||||||||||
неоднородной сист ем ы |
(3.1) |
и склады вая его с каж ды м реш ением со |
|||||||||||||||||
от вет ст вую щ ей однородной сист ем ы |
(3.7), м ы п о луч и м все реш ения |
||||||||||||||||||
неоднородной сист ем ы |
(3.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Д ругим и |
словами, |
сум м а |
част ного р еш ения |
неоднородной |
сист е |
|||||||||||||
м ы |
(3.1) и |
общего р еш ения |
соот вет ст вую щ ей |
однородной |
сист ем ы |
||||||||||||||
(3.7) дает общее реш ение неоднородной сист ем ы |
(3.1). |
|
|
|
15) С теми же самыми коэффициентами при неизвестных.
2. ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ |
87 |
|||
В качестве частного реш ения |
неоднородной системы (3.1) |
есте |
||
ственно взять то его реш ение 16) |
|
|
|
|
М 1 (bj) |
M r (bi) |
, 0 , 0 , . . . , о |
(3.29) |
|
м |
м |
|||
|
|
|||
которое получится, если в ф орм улах (3.20) полож ить равны м и |
нулю |
все числа cr + 1 , ... , сп . С к л ад ы вая это частное реш ение с общ им реш е нием (3.26) соответствую щ ей однородной системы, мы получим следу
ющее вы раж ение д л я общ его реш ения неоднородной |
системы (3.1): |
|||||||||||||
|
|
|
X |
= |
X Q + |
С \Х \ |
+ |
С 2 Х 2 + . .. |
+ |
С п —гХ п —г . |
|
(3.30) |
||
В |
этом вы раж ении X Q обозначает частное реш ение (3.29), C i, С 2 , |
|||||||||||||
... , |
С п - г — произвольны е |
постоянны е, |
а |
Х \ , Х 2 , ... , |
Х п _ г — |
|||||||||
элем енты |
норм альной |
ф ундам ентальной |
совокупности |
|
реш ений |
|||||||||
(3.25) |
соответствую щ ей однородной системы . |
|
|
|
|
|||||||||
|
Т ак, д л я рассм отренной в конце преды дущ его пункта неоднородной |
|||||||||||||
системы (3.21) |
частное |
реш ение |
вида (3.29) равно Х 0 |
= |
(6, 2, 0, 0). |
|||||||||
С к л ад ы вая |
это |
частное реш ение |
с общ им |
реш ением |
(3.28) |
соответ |
||||||||
ствую щ ей однородной системы |
(3.27), мы получим следую щ ее общее |
|||||||||||||
реш ение неоднородной системы |
(3.21): |
|
|
|
|
|
||||||||
|
X |
= |
(6, |
2 , 0 , 0 ) + |
|
|
|
1 , 0 ) |
+ |
С 2(— 1, |
— 2 , 0 |
, 1 ). |
||
(Здесь С \ и С 2 — произвольны е постоянны е.) |
|
|
|
|
||||||||||
|
4 . |
Заклю чительны е |
зам ечан и я |
о |
реш ении линейны х си |
|||||||||
стем . |
Р азви ты е в преды дущ их |
пунктах м етоды реш ения |
линейны х |
систем упираю тся в необходимость вы числения ранга м атрицы и нахо ж д ен и я ее базисного минора. П осле того, как базисны й минор найден, реш ение сводится к технике вы числения определителей и к использо
ванию ф орм ул К рам ера.
Д л я вы числения ранга м атрицы м ож но использовать следую щ ее
правило: при вы числении ранга м ат рицы следует переходит ь от м и норов м е н ь ш и х порядков к м инорам б ольш их порядков; при эт ом , ес
л и уж е найден от личн ы й от н у л я м инор М |
порядка к , то т ребую т |
вы числения ли ш ь м иноры порядка (k + 1), |
окайм ляю щ ие 17) эт от |
16)При этом предполагается, как и выше, что ранги основной и расширенной матриц системы (3.1) равны г и что базисный минор находится в левом верхнем углу этих матриц.
17)То есть содержащие внутри себя минор М.
88 |
|
ГЛ. 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
|
|
||||
м и н о р М ; |
в |
случае равенст ва |
нулю всех |
о ка й м ляю щ и х м иноров по |
||||
рядка (k + |
1) ранг м ат рицы равен к 18) . |
|
|
|
|
|||
У каж ем |
|
и другое правило |
вы числения |
ранга м атрицы . Зам етим , |
||||
что со строками (столбцами) |
м атрицы |
м ож но производить |
т ри эле |
|||||
м ент арны е |
|
операции, не изм еняю щ ие |
ранга |
этой м атрицы : |
1) |
пере |
||
становку двух строк (или двух столбцов), |
2) |
ум нож ение строки |
(или |
|||||
столбца) на |
лю бой отличны й |
от нуля |
м нож итель, 3) прибавление к |
одной строке (столбцу) произвольной линейной комбинации других
строк (столбцов) 19) .
Будем говорить, что м атри ц а ||а^-||, содерж ащ ая т строк и п столб
цов, имеет |
диагональны й вид, если |
равны нулю все ее элементы , от |
|||||
личны е от |
а ц , а 2 2 , . . |
а гг, где |
r = m in { m , п } . Р ан г такой |
м атрицы , |
|||
очевидно, равен г. |
|
|
|
|
|
|
|
У бедимся в том, что посредством |
т рех элем ент арны х |
операций |
|||||
лю бую м а т р и ц у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
ц |
. . |
|
a i n |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.31) |
|
|
a |
m i |
• |
• |
®>тп |
|
м ож но привест и к диагональном у виду |
(что и позволяет вы числить |
||||||
ее ранг). |
|
|
|
|
|
|
|
В самом |
деле, если |
все элем енты м атрицы (3.31) равны |
нулю, то |
эта м атри ц а уж е приведена к диагональном у виду. Если ж е у м атри цы (3.31) есть отличны е от нуля элементы , то путем перестановки двух строк и двух столбцов мож но добиться того, чтобы бы л отличен от ну л я элем ент а ц . У м нож ая после этого первую строку м атрицы на а ^ 1,
мы превратим |
элемент а ц в единицу. В ы читая далее из j -го столбца |
|||||
м атрицы |
(при |
j |
= 2, 3, ... , п) |
первы й |
столбец, ум нож енны й на ai j, |
|
а затем |
вы читая |
из г-й строки |
(при г |
= |
2, 3, ... , п) первую строку, |
|
ум нож енную на а ц , мы получим вместо |
(3.31) м атрицу следую щ его |
|||||
18) В самом |
деле, в указанном случае все строки (столбцы) матрицы принад |
|||||
леж ат линейной |
оболочке ее к строк |
(столбцов), на пересечении которых стоит |
минор М , а размерность указанной линейной оболочки равна к.
19) Эти три операции не изменяю т ранга матрицы вследствие того, что опера ции 1 ) и 2) не изменяю т максимального числа линейно независимых строк (столб цов) матрицы, а операция 3) обладает тем свойством, что линейная оболочка всех строк (столбцов), имевшихся до проведения этой операции, совпадает с линейной оболочкой всех строк (столбцов), полученных после проведения этой операции.
2. ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ |
89 |
|||
вида: |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
0 |
|
0 |
а 2 2 |
• • |
а 2п |
|
0 |
< 2 |
• . . |
^OLт п |
|
С оверш ая уж е описанны е нами операции с м атрицей, взятой в рамку, и продолж ая действовать аналогичны м способом, мы после конечного числа ш агов получим м атрицу диагонального вида.
И злож енны е в преды дущ их пунктах м етоды реш ения линейны х си стем, использую щ ие, в конечном итоге, ап п арат ф орм ул К рам ера, мо гут привести к больш им погреш ностям в случае, когда значения ко эф ф ициентов уравнений и свободных членов задан ы приближ енно или когда производится округление этих значений в процессе вычислений.
В первую очередь это относится к случаю , когда м атрица, отвечаю
щ ая основному определителю |
(или базисному м инору), явл яется п л о |
хо обусловленной (т. е. когда |
«малы м» изм енениям элементов этой |
м атрицы отвечаю т «больш ие» |
изм енения элементов обратной м атри |
цы). Естественно, что в этом случае реш ение линейной системы будет
неуст ойчивы м (т. е. «малы м» изм енениям значений коэф ф ициентов уравнений и свободных членов будут отвечать «больш ие» изм енения р еш ен и я). О тм еченны е обстоятельства приводят к необходимости р аз
работки как других (отличны х от ф орм ул К рам ера) теоретических алгоритм ов оты скания реш ения, так и численны х методов реш ения
линейны х систем.
В § 4 гл. 4 мы познаком им ся с м ет одом р егуляр и за ц и и А .Н . Т и хо нова оты скания так назы ваем ого норм ального (т. е. наиболее близкого к началу координат) реш ения линейной системы .
В гл. 6 будут излож ены основные сведения о так назы ваем ы х и т е рационны х м ет одах реш ения линейны х систем, позволяю щ их реш ать эти системы при помощ и последовательны х приближ ений неизвест ных.
Г Л А В А 4
Е В К Л И Д О В Ы П Р О С Т Р А Н С Т В А
И з курса |
аналитической |
геом етрии читатель знаком с поняти |
ем скалярного |
произведения |
двух свободных векторов и с четы рьм я |
основными свойствам и указанного скалярного произведения. В насто
ящ ей главе изучаю тся линейны е п ространства лю бой природы , дл я
элементов которы х каким -либо способом (причем безразлично каким)
определено правило, ставящ ее в соответствие лю бы м двум элемен
там число, назы ваем ое скалярны м произведением этих элементов. П ри
этом важ н о только, чтобы это правило обладало теми ж е четы рьм я
свойствами, что и правило составления скалярного произведения двух
свободных векторов. Л инейны е пространства, в которы х определено указанное правило, назы ваю тся евклидовы м и прост ранст вам и. В н а
стоящ ей главе вы ясняю тся основные свойства произвольны х евклидо вы х пространств.
§ 1. В ещ ествен н ое евклидово пространство и его п ростейш ие
свойства |
|
1. О п р едел ен и е вещ ественного |
евк ли дова пространства. |
В ещ ественное линейное пространство R назы вается вещ ест венны м ев |
|
клидовы м прост ранст вом (или просто |
евклидовы м прост ранст вом ), |
если вы полнены следую щ ие д в а требования. |
I. И меется правило, посредством которого лю бы м двум элементам этого п ространства х н у ставится в соответствие вещ ественное число,
назы ваем ое скалярны м произведением этих элементов и обозначаемое
символом (х, |
у). |
|
|
|
|
|
|
||
II. У казанное |
правило |
подчинено следую щ им четы рем аксиомам: |
|||||||
1°) |
(х, |
у) |
= |
(у, |
х) |
(переместительное свойство или |
сим м етрия); |
||
2°) (xi |
+ х 2, у) |
= |
(xi, |
у) + (х2, у) (распределительное свойство); |
|||||
3°) |
(Ах, у) |
= |
А(х, у) |
д л я лю бого вещ ественного А; |
|
||||
4°) |
(х, х) |
> |
0, |
если |
х — ненулевой элемент; (х, х) = |
0, если х — |
|||
нулевой элемент. |
|
|
|
|
|
||||
П одчеркнем , |
что при |
введении понятия евклидова |
пространства |
мы абстрагируем ся не только от природы изучаем ы х объектов, но и