книги / Линейная алгебра.-1
.pdf
|
|
|
9. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
|
171 |
|
А налогом |
унитарны х операторов в |
вещ ественном евклидовом |
про |
||||
странстве являю тся ортогональны е операторы . |
|
|
|
||||
|
Определение 1 |
. Л инейны й оператор Р, действую щ ий |
в |
вещ е |
|||
ственном евклидовом пространстве V , назы вается орт огональным, ес |
|||||||
ли д л я лю бы х х и у из У вы полняется равенство |
|
|
|
||||
|
|
|
(Рх, Ру) = |
(х, у). |
|
(5.119) |
|
|
Таким |
образом, |
ортогональны й |
оператор |
сохраняет |
скаляр |
|
ное |
произведение. |
О тсю да непосредственно |
следует, что |
если |
|||
ei, |
в 2 , . . |
еп— ортонорм ированны й базис евклидова п ространства У, |
то Pei, Ре2 , ..., Реп такж е явл яется ортонорм ированны м базисом . В
дальнейш ем условие (5.119) будем н азы вать условием ортогонально сти оператора Р.
С праведливо следую щ ее утверж дение.
Теорема 5.36. Д л я того чтобы линейный оператор Р был ор тогональным, необходимо и достаточно, чтобы сущест вовал опера тор Р - 1 и было выполнено равенство
|
|
|
Р* |
= Р |
1, |
|
|
(5.120) |
|
где Р* —оператор, сопряж енный к |
Р, |
а Р -1 — оператор, обратный |
|||||||
к Р. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р — |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
1) |
Н е о б х о д и м о с т ь . |
П усть |
||||||
ортогональны й оператор, |
т. е. |
вы полняется |
условие |
(5.119). |
П ри |
||||
м еняя сопряж енны й |
оператор |
Р*, |
это |
условие м ож но записать в |
|||||
виде (Р*Рх, у) = (х, у). |
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким |
образом, |
д л я |
лю бы х |
х |
н у |
вы полняется |
равен |
||
ство ((Р*Р |
— 1)х, у) |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
Ф иксируя в этом равенстве лю бой элем ент х, считая у произволь |
|||||||||
ным, получим, что линейны й оператор Р*Р — I действует по прави |
|||||||||
лу (Р*Р - |
1)х = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
С ледовательно, Р*Р = |
I; соверш енно аналогично мож но убедить |
||||||||
ся, что РР* |
= I. Таким образом, операторы Р* и Р взаим но обратны , |
т. е. условие (5.120) выполнено.
2) Д о с т а т о ч н о с т ь . П усть выполнено условие (5.120). Тогда, оче
видно, РР* = |
Р*Р |
= I. |
|
|
|
О бращ аясь |
к определению |
сопряж енного оператора и |
используя |
||
только что написанны е соотнош ения, получим д л я лю бы х |
х н у ра- |
||||
венства (Рх, Ру) = |
(х, Р*Ру) |
= |
(х, 1у) = (х, у). |
|
|
М ы видим, |
что |
условие (5.119) |
вы полнено, следовательно, опера- |
тор Р ортогональны й . Теорема доказана.
Введем теперь понятие ортогональной м атрицы Р .
172 |
|
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|||||||
О п р едел ен и е |
2. М атрица Р |
назы вается о р т о го н а льн о й, если |
|||||||
|
|
|
Р 'Р = |
Р Р ' |
= |
/ , |
|
(5.121) |
|
где Р 1— транспонированная м атрица, а I — единичная м атрица. |
|||||||||
Если ei, е 2, |
..., |
е п — ортонорм ированны й базис в евклидовом про |
|||||||
странстве V , то |
оператор Р явл яется |
ортогональны м тогда и только |
|||||||
тогда, когда его м атри ц а в базисе {е/,} |
ортогональна. |
||||||||
Н епосредственно из |
равенства |
(5.121) |
следует, что если м атри |
||||||
ца Р = (р \) явл яется ортогональной, то |
|
|
|
||||||
|
|
Е |
М |
1 |
при |
к |
= |
I, |
|
|
|
О |
при |
к |
ф |
I. |
|||
|
|
|
|
В комплексном евклидовом пространстве аналогом ортогональной м атрицы явл яется унит арная м атрица. И менно, м атри ц а U н азы ва ется ун ит арной , если вы полняется соотнош ение
U*U = U U * = |
/ , |
(5.122) |
в котором U * — эрм итово сопряж енная |
м атрица, т. е. U* = |
U 1, где |
штрих означает транспонирование, а черта — комплексное сопряж ение.
Нетрудно показать, что в ортонорм ированном базисе м атри ц а ли нейного оператора U явл яется унитарной тогда и только тогда, когда
оператор U явл яется унитарны м .
В заклю чение рассм отрим д л я прим ера ортогональны е преобразо
вания в одномерном и двумерном пространствах.
В одномерном случае каж ды й вектор х имеет вид х = <ле, где а —
вещ ественное число и е — вектор, порож даю щ ий данное пространство.
Тогда Р е |
= Ае, |
и так как (Ре, Ре) = |
А2(е, е) |
= (е, |
е), |
то |
А = |
± 1. |
||||||||
Таким |
образом , в одномерном случае сущ ествую т д в а ортогональ |
|||||||||||||||
ны х преобразования: Рьх |
= х и Р _ х |
= |
—х. |
|
|
|
|
|
||||||||
В двумерном |
случае каж дое ортогональное преобразование опре |
|||||||||||||||
деляется в произвольном ортонорм ированном |
базисе |
ортогональной |
||||||||||||||
м атрицей |
|
порядка |
2, |
т. |
е. |
м атрицей |
Р |
= |
( |
^ |
. |
И з |
усло |
|||
вия Р Р ' |
= |
Р 'Р |
= |
I следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а 2 + |
Ъ2 |
= |
1 , |
а 2 |
= |
d2, |
Ъ2 = с2, |
ас |
+ |
db = |
0 , ab |
+ |
cd |
= 0 . |
|
|
П олагая а |
= |
cos tp, |
b |
= —sin tp, получаем , что к аж д ая ортогональ |
||||||||||||
н ая м атри ц а порядка 2 имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Р± |
|
cos ip |
— |
Sliup |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
± sin (р |
± |
cos (р |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
173 |
причем во второй строке в обоих случаях следует брать либо зн ак + ,
либо зн ак — .
О тметим, что d e ti± = =Ь 1 . О ртогон альн ая м атри ц а Р+ н азы вается
собст вен но й, а ортогон альн ая м атри ц а Р_ — несобст венной.
О ператор Р ь с м атрицей Р+ в ортонорм ированном базисе e i , е 2 осу
щ ествляет поворот в плоскости e i, е 2 на угол (р. |
|
|
||||
Д л я |
того чтобы вы яснить, |
как действует оператор Р_ |
с |
м атри- |
||
цей |
Р_, |
введем м атрицу |
Q |
совпадаю щ ую |
с |
Р_ при |
(р = |
0 |
, и зам етим , что |
Р_ = |
QP+. М атрице Q отвечает отраж ение |
плоскости относительно оси e i, следовательно, действие оператора Р_ заклю чается в повороте на угол ср и последую щ ем отраж ении .
Зам етим , |
что векторы Р _еi, Д_е2 образую т, в силу ортогонально |
|||
сти Д_, ортонорм ированны й базис и в этом базисе м атри ц а операто |
||||
р а Р_ |
совпадает с Q , т. е. явл яется диагональной . |
|||
В |
общем |
случае, |
когда ортогональны й оператор Р действует в |
|
n -мерном |
евклидовом |
пространстве, сущ ествует ортонорм ированны й |
||
базис ei, |
е 2, |
..., е п, в котором м атри ц а оператора Р имеет вид |
||
( |
1 |
|
|
\ |
|
1 |
|
|
|
О
-1
-1
cosipi — s m ^ i
s i n ( p i — c o s ( ^ i
о
V
cos (pk — sm Lpk
sh u p k - cos (pk J
Вэтой м атрице все элементы , кром е вы писанны х, равны нулю . Таким образом , в некотором ортонорм ированном базисе действие
ортогонального оператора сводится к последовательны м поворотам и
отраж ен и ям относительно координатны х осей.
Г Л А В А б
И Т Е Р А Ц И О Н Н Ы Е М Е Т О Д Ы Р Е Ш Е Н И Я Л И Н Е Й Н Ы Х С И С Т Е М И З А Д А Ч Н А С О Б С Т В Е Н Н Ы Е З Н А Ч Е Н И Я
В настоящ ей главе изучаю тся различны е м етоды реш ения системы линейны х уравнений с вещ ественны ми коэф ф ициентам и относительно неизвестны х, такж е принимаю щ их вещ ественны е значения.
Все используемы е на п рактике методы реш ения систем линейны х уравнений мож но раздели ть на две больш ие группы : т очны е методы
иит ерационны е методы .
Под т о ч н ы м методом реш ения поним ается метод, теоретически позволяю щ ий получить точны е значения неизвестны х в результате
проведения конечного |
числа ариф м етических |
операций. П римером |
точного м етода м ож ет |
служ ить излож енны й в |
гл. 3 метод, основан |
ный на применении ф орм ул К р ам ер а *).
И т ерационны е методы позволяю т получить искомое реш ение лиш ь в виде предела последовательности векторов, построение которы х про изводится в помощ ью единообразного процесса, назы ваем ого процес сом итераций (последовательны х приближ ений). И терационны е мето
ды весьм а удобны д л я использования современной вы числительной
техники.
И злож ению наиболее употребительны х итерационны х методов ре
ш ения линейны х систем посвящ ен § 1 настоящ ей главы .
И терационны е методы находят ш ирокое применение и при реш е
нии другой |
важ н ой |
вы числительной задачи |
линейной |
алгебры — так |
назы ваем ой |
полной |
проблем ы собст венны х |
зн а чен и й |
(так назы ваю т |
проблему оты скания всех собственны х значений и отвечаю щ их им соб ственны х векторов заданной м атрицы 12) ). В итерационны х м етодах
1)П рактически метод, основанный на ф ормулах Крамера, обычно не приме няется, ибо он требует проведения очень большого числа арифметических операций
изаписей. Более удобным является точный метод, основанный на последователь ном исключении неизвестных и называемый методом Гаусса (его изложение мож но найти, например, в книге Д .К . Ф аддеева и В.Н. Фаддеевой «Вычислительные методы линейной алгебры», Гостехиздат, 1963, гл. 2).
2)В отличие от этой проблемы, задачу отыскания некоторых (например, наи больших по модулю) собственных значений заданной матрицы называю т частич-
§ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ |
175 |
собственны е значения вы числяю тся как пределы некоторы х числовы х последовательностей без предварительного определения коэф ф и ц и ен тов характеристического м ногочлена.
В § 2 настоящ ей главы разбирается один из самы х важ н ы х (наибо лее употребительны х на ЭВМ ) итерационны х методов реш ений полной проблемы собственны х значений — так назы ваем ы й м ет од вращ ений
(или |
м ет од Я коби). Э тот метод применим ко |
всякой сим м етричной |
(или |
к эрмитовой) м атрице, легко реализуется |
на ЭВМ и всегда схо |
дится. Он устойчив по отнош ению к ош ибкам округления результатов
п ром еж уточны х вы числений и обладает тем зам ечательны м свойст
вом, что наличие кратн ы х и близких друг к другу собственны х значе ний не только не зам едляет его сходимости, а напротив, ускоряет ее.
М етод вращ ений, предлож енны й |
Я коби и известны й еще с середины |
прош лого века, долгое врем я не |
находил практического прим енения |
из-за больш ого объем а вы числений, необходимых д л я его реализации . И лиш ь появление бы стродействую щ их электронны х вы числительны х м аш ин сделало его самы м эф ф екти вн ы м методом реш ения полной про блемы собственны х значений сим м етричны х и эрм итовы х м атриц.
§ 1. И терационны е м етоды р еш ен ия линейны х систем
I. М етод простой |
итерации (метод |
Я коби). Рассм отрим |
к в ад |
|||||||
ратную |
систему линейны х уравнений с вещ ественны ми коэф ф и ц и ен |
|||||||||
тами (3.10) (см. и. 1 § 2 |
гл .З ), которую запиш ем |
в |
м атричном |
виде |
||||||
|
|
А Х |
= |
F, |
|
|
|
|
|
(6.1) |
поним ая под А основную м атрицу системы |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
« п |
« 1 2 |
|
« 1 п |
|
|
|
|
|
|
А = |
« 2 1 |
« 2 2 |
|
« 2 п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« п 1 |
« п 2 |
• • • |
« п п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XI |
|
|
h |
|
|
а под X |
и F векторы -столбцы вида X |
= |
Х2 |
F |
= |
/ 2 |
, первы й |
|||
, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Хп |
|
|
fn |
|
|
из которы х подлеж ит определению , а второй задан .
ной проблемой собственных значений.
176 ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
П редлагая однозначную разреш им ость системы (6.1), зам еним м ат
ричное уравнение |
(6 |
.1 ) |
эквивалентны м |
ему м атричны м |
уравнени |
||
ем X — X — т А Х |
+ |
T F , |
в |
котором через т обозначено вещ ественное |
|||
число, обы чно назы ваем ое ст ационарны м парамет ром . |
|
||||||
С помощ ью этого последнего уравнения составим итерационную |
|||||||
последовательность векторов { Х к}, |
определив ее рекуррентны м соот |
||||||
нош ением |
|
|
|
|
|
|
|
Х к + 1 = |
Х к |
- |
т А Х к |
+ T F |
(к = 0, 1, . .. ) |
(6.3) |
при произвольном вы боре «нулевого» приближ ения X Q.
М етод простой итерации заклю ч ается в замене точного реш ения X
системы |
(6.1) к - й итерацией Х к с достаточно больш им номером к. |
О ценим |
погреш ност ь Z k = Х к — X м етода простой итерации. |
И з соотнош ений (6.3) и (6.1) сразу ж е вы текает следую щ ее м атри ч
ное уравнение д л я погреш ности |
Z k \ |
|
Zk + 1 = |
{Е - r A ) Z k , |
(6.4) |
где Е — единичная м атри ц а порядка п.
Введем в рассм отрение норму вектора в пространстве Е п и опера
торную норму квадратн ой м атрицы порядка п. К а к обы чно, назовем
норм ой вект ора X число ||Х ||, равное корню квад ратн ом у из суммы
квад ратов координат этого вектора. Н азовем операторной нормой про
извольной м атрицы А число ||И ||, равное либо точной верхней грани
отнош ения ||А Х ||/||Х || на множ естве всех ненулевы х векторов X , либо (что то ж е самое) точной верхней грани норм ||И Х || на м нож естве всех векторов X , имею щ их норму, равную единице.
И так, по определению |
|
|
1ДН = SUP |
l “F jr - |
(6 -5) |
Х ф о |
1 1 4 1 |
|
Н апомним, что д л я лю бой сим м етричной м атрицы А 3) |
оператор |
н ая норм а этой м атрицы р авн а наибольш ему по модулю собственному значению этой м атрицы (см. п. 4 § 5 гл. 5), т. е.
|
\\А\\ = |
ш ах |Ав|. |
(6 .6 ) |
|
|
S |
|
И з (6.5) |
вы текает следую щ ее неравенство, справедливое д л я лю бой |
||
м атрицы А |
и лю бого вектора X : |
|
|
|
\\А Х \\ ^ |
\\А\\ ||Ч |. |
(6.7) |
3) М атрица А называется симметричной, если А = А ' .
§ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ |
177 |
И з м атричного уравнения д л я погреш ности (6.4) и из неравенства (6.7) мы получим, что д л я лю бого ном ера к
|
|
\\Zk + i\\ |
< \\Е |
- |
т А \\\\гк \\. |
|
(6 .8 ) |
||
Д окаж ем теперь следую щ ую простую , но важ ную теорему. |
|
||||||||
Т еорем а |
6.1. Д л я |
того |
чтобы |
ит ерационная |
последоват ель |
||||
ност ь (6.3) при лю бом |
выборе нулевого п р и б ли ж ен и я |
X Q и при дан |
|||||||
ном |
зн а чен и и |
парамет ра т сходилась |
к т очном у реш ению X |
сист е |
|||||
м ы |
(6 .1 ), дост ат очно, |
чтобы было вы полнено условие |
|
|
|||||
|
|
|
р = |
\\Е |
- |
тА\\ < 1 . |
|
(6.9) |
|
П ри эт ом последоват ельност ь |
(6.3) сходит ся со скорост ью |
геом ет |
|||||||
рической прогрессии со зн а м ен а т елем |
р. |
|
|
||||||
В случае, |
если м ат рица А |
я в ля е т с я си м м ет р и чн о й , условие я в |
ля е т с я и необходим ы м условием сходим ост и ит ерационной последо
ват ельност и (6.3) при лю бом выборе нулевого приб лиж ения. |
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Д л я |
установления достаточности |
усло |
|
вия (6.9) зам етим , что из |
неравенства (6 .8 ) вы текает следую щ ее со |
|||
отнош ение: |
|
|
|
|
\\z k \\< :\\E |
- |
тА\\к \\г 0\\. |
( е л о ) |
|
И з (6.10) очевидно, что условие |
(6.9) обеспечивает сходимость по |
|||
следовательности погреш ностей |
Z и к нулю со скоростью геом етриче |
|||
ской прогрессии со знам енателем р. |
|
|
В случае, если м атри ц а А явл яется сим метричной, будет сим м ет ричной и м атри ц а Е — т А, а поэтому в силу (6 .6 ) условие (6.9) м ож но
переписать в эквивалентном виде |
|
р = m ax | 1 — r \ s \ < 1 |
(6 .1 1 ) |
S |
|
(здесь через {АД обозначены собственны е значения м атрицы А ). |
|
У бедимся в том, что условие (6.11) явл яется |
необходимым усло |
вием сходимости к нулю последовательности { Д Д |
при лю бом вы боре |
нулевого приближ ения X Q. П редполож им , что условие (6.11) не вы
полнено. Тогда сущ ествует собственное значение As , удовлетворяю щ ее
неравенству | 1 — r \ s \ ^ 1 . О бозначим через X ^ отвечаю щ ий это
му собственному значению собственны й вектор м атрицы А и выберем
нулевое приближ ение X Q так, чтобы |
Z Q совпало с Х ^ 8\ |
Тогда, после |
||||
довательно зап и сы вая |
соотнош ение |
(6.4) |
д л я номеров |
1, 2, ... , |
к , мы |
|
получим, что Zk = (1 |
— тХ8)кZ$. И з последнего соотнош ения в силу |
|||||
неравенства | 1 — тXs \ |
^ 1 вы текает, что |
||Z^\\ не стрем ится к |
нулю |
|||
при к |
оо. Т еорема 6.1 доказана. |
|
|
|
|
12 В.А . И л ьи н, Э.Г. П о зн я к
178 ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
С разу ж е зам етим , что д л я п рактических целей недостаточно уста
новить только ф а к т сходимости последовательности итераций. Ц ен тральной задачей численны х методов явл яется оценка скорости схо
дим ости. О чень важ н о знать, как наилучш им способом распорядиться
стационарны м парам етром т д л я того, чтобы получить наиболее бы
струю сходимость. О становим ся на этом вопросе подробнее.
П усть зад ан а ^-точность, с которой нам требуется получить точное
реш ение системы |
(6.1). Т ребуется |
найти итерацию |
Х/щ |
таким |
номе |
|||||||||
ром |
к , д л я которого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
I I ^ I K |
e n ro ll. |
|
|
|
|
(6.12) |
||
И з |
(6.9) и |
(6 |
.1 |
0 ) |
вы текает, что \\Zk\\ |
^ р к ||^о|| и, |
стало |
бы ть, |
(6 .1 2 ) |
|||||
вы полняется |
при |
р к ^ г, т. е. при к |
^ |
1 п (1 |
/ г ) / 1 п (1 |
/р ). |
|
|
||||||
О тсю да видно, что д л я ум еньш ения числа итераций к , достаточны х |
||||||||||||||
д л я достиж ения |
требуемой ^-точности, следует вы брать |
п арам етр т |
||||||||||||
так, чтобы получить минимум ф ункции р |
= р (т) |
= |
\\Е |
— тА ||. |
|
|||||||||
С читая |
м атрицу |
А сим м етричной |
и полож ительна определенной, |
|||||||||||
мы |
приходим |
к |
следую щ ей |
задаче |
оптимизации: |
найти минимум |
||||||||
ф ункции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m in р (т) = |
m in ||Е |
— тА\\ = m in {m ax | |
1 |
— T As |}. |
|
||||||||
|
|
Т |
|
|
|
Т |
|
|
Т |
S |
|
|
|
|
Реш ение |
этой |
и |
несколько более |
общей задачи, предлож енное |
||||||||||
А .А . С ам арским , |
излагается в следую щ ем |
пункте. Там будет доказа |
||||||||||||
но, что указанны й минимум |
ф ункции р = |
р (т) достигается д л я зн а |
||||||||||||
чения т = |
2 |
/ |
( 7 1 |
+ |
7 2 ), где 7 i и 7 |
2 — соответственно м инимальное и |
м аксим альное собственны е значения м атрицы А, причем минимальное значение ф ункции р (т) равно
i _ |
л |
72 |
- |
71 |
|
7 2 |
|||
1 + |
21 |
7 2 |
+ |
7i ’ |
72
2.Общий неявный метод простой итерации. С нова обратим ся
к реш ению линейной системы (6 .1 ), но на этот раз заменим итераци
онную последовательность (6.3) более общей итерационной последова тельностью , определяемой соотнош ением
B X k +i - Х к + А Х к = |
(бЛ З) |
т |
|
в котором В представляет собой некоторую «легко обратимую » к в ад ратную м атрицу n -го порядка, а т — стационарны й парам етр . Такой
§ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ |
179 |
метод составления итерационной последовательности |
и н азы вается |
неявны м м ет одом прост ой ит ерации. Рассм отренны й в преды дущ ем пункте явны й метод простой итерации получается из неявного метода
в частном случае В = Е , где Е — единичная м атри ц а порядка п.
Д л я того чтобы сф орм улировать в удобной д л я прилож ений ф орм е условие сходимости общ его неявного м етода простой итерации, напо
мним некоторы е понятия, введенны е в преды дущ ей главе.
Н апомним, |
что |
м атри ц а А назы вается полож ит ельно определен |
ной , если ( А Х , |
X ) |
> 0 д л я лю бого ненулевого вектора X . В гл. 5 бы ло |
доказано, что необходимым и достаточны м условием полож ительной
определенности |
сим м етричной м атрицы А |
(или, что то ж е самое, са |
||||||||||
м осопряж енного |
линейного |
оператора А) |
явл яется полож ительность |
|||||||||
всех собственны х значений этой м атрицы |
(этого оператора). |
|
|
|||||||||
Е сли м ат рица А |
я в ля е т с я полож ит ельно |
определенной, |
то м ы |
|||||||||
договоримся писат ь |
неравенст во |
А |
> 0. |
Д а ле е |
договоримся |
писат ь |
||||||
неравенст во В > А |
(и ли |
А |
< В ) |
в случае, если В — А > 0 (т. е. если |
||||||||
м атри ц а В |
— А явл яется полож ительно определенной). |
|
|
|||||||||
Д окаж ем следую щ ую зам ечательную теорем у 4) . |
|
|
|
|||||||||
Теорема 6.2 (теорем а А .А. С ам арского). П уст ь |
м ат рица А |
я в |
||||||||||
ля е т с я си м м ет ричн ой и вы полнены |
условия А |
> 0, |
В > 0 (си м м ет |
|||||||||
ричност ь м ат рицы |
В , вообще говоря, не предполагает ся). |
|
|
|||||||||
Тогда для того чтобы ит ерационная последоват ельност ь, |
опреде |
|||||||||||
ля е м а я соот нош ением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
(6.13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при лю бом |
выборе нулевого |
п р и б ли ж ен и я Х 0 сходилась к т очном у |
||||||||||
реш ению X |
сист ем ы А Х |
= |
F , дост ат очно, чтобы были вы полнены |
|||||||||
условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 В |
> тА, |
тА > |
0 . |
|
|
(6.14) |
||
П ри дополнит ельном предполож ении о т о м , чт о м ат рица В |
я в |
|||||||||||
ля е т с я си м м ет р и чн о й , условия |
(6.14) не |
т олько дост ат очны , |
но и |
необходимы для сходим ост и указанной ит ерационной последоват ель
ност и при лю бом выборе нулевого п р и б ли ж ен и я Х |
0. |
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
1) Д о с т а т о ч н о с т ь . П реж де всего |
оценим |
||
погреш ность Z |
= X |
— X . Т ак как X удовлетвовлетворяет уравне |
||
нию А Х = F , |
а Х ^ соотнош ению (6.13), то д л я Z |
получим |
соотно- |
4)Эта теорема является частным случаем доказанного известным советским
математиком А.А. Самарским значительно более общего утверж дения. (С амар ский А.А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971.)
12*
180 |
|
|
ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ |
|
|
|
||||||||
ш ение |
|
|
B Zk + i------Zk_ + |
A Z k |
= |
Q |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(6.15) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Установим д л я погреш ности Z |
так назы ваем ое основное эн ергет и |
|||||||||||||
ческое соот нош ение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
У м нож ая |
(6.15) скалярно на вектор |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2(Zfe+ 1 - Zk) = 2r Zk + 1 ~ |
Zk. |
|
|
|
|
||||||
получим равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2^_ |
| ^Zk-\-i |
Zk |
Zk-i-i |
Zk |
+ |
2r |
(AZk, |
---X |
| |
= o. |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.16) |
Если |
воспользоваться |
обозначением |
С = |
2 |
В |
— тА и соотнош ением |
||||||||
Zk = |
Z k - \ - 1 |
“I- |
|
+ |
1 |
_ Z k - \ - 1 |
|
|
т |
+ |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
r |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
то равенство |
(6.16) мож но переписать в виде |
|
|
|
|
|
||||||||
Г ( c Zk + 1 ~ |
Z \ |
Zk + 1 ~ |
Z k ^j + |
(A ( Z k + 1 |
+ |
Z k), |
Z k + 1 - |
|
Z k ) |
= 0. |
(6.17) Д алее зам етим , что в силу сим метрии м атрицы А второе слагае мое в (6.17) равно (A Z k + i, Zk + 1 ) — (AZk, Zk). Это приводит нас к
основном у энергет ическом у соот нош ению :
Г ( c Zk + 1 ~ Z k , Zk + 1 ~ Z k ) + (A Z k + 1, Z k + 1) = (A Z k , Z k).
(6.18) Д л я доказательства достаточности условий (6.14) остается с помо
щ ью основного энергетического соотнош ения д оказать |
сходимость к |
||||||||||
нулю последовательности {||Z ^||}. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
И з |
основного |
энергетического |
соотнош ения |
и |
из |
полож и |
|||||
тельной |
определенности |
м атрицы |
С = |
2 В — тА |
вы текает, |
что |
|||||
(A Z k + i, |
Zk + i) ^ |
(AZk, |
Zk), т. е. вы текает |
невозрастание последова |
|||||||
тельности {( AZ k , |
Zk)} . |
И з |
условия |
А > 0 |
вы текает, |
кроме |
того, |
что |
|||
эта последовательность ограничена снизу нулем, |
а поэтом у |
сходится. |
|||||||||
Но тогда из основного энергетического |
соотнош ения |
следует, |
что |
||||||||
|
П т |
( c Zk + 1 ~ Z k , |
Zk + 1 ~ Z k ) |
= |
0. |
|
(6.19) |
||||
|
fc—5>00 \ |
|
Т |
Т |
J |
|
|
|
|
|
Н апомним, что д л я полож ительно определенной м атрицы С всегда найдется 8 > 0 такое, что ( С Х , X ) ^ 8 (X , X ) д л я лю бого вектора X