книги / Линейная алгебра.-1
.pdf§ 6. ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
221 |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Т ак как ф о р м а A (xi, Х2, ..., х п) явл яется ко сосимметричной, то д л я произвольной перестановки (Д , Д , . . j n ) ин дексов (1, 2, . . п ) имеем
A ( e h |
, e j2 , . . . , e jn ) = ( - l ) jv(-'1’-72’ |
(еь |
е 2, . |
. е„) = |
|
|
= |
|
(740) |
где |
N (Д , Д , . . j n) — число беспорядков |
в |
перестановке (Д , |
Д? ' ' *5 jn)-
В силу кососим м етричности ф орм ы д л я двух одинаковы х индексов
Зк и Д (Д |
= |
Д) |
значение A (е д , |
. . e ifc, . |
. e iz, . |
. |
ej n ) равно нулю . |
||
О тсю да и |
из |
соотнош ения (7.40) |
следует, |
что д л я |
рассм атриваем ого |
||||
случая соотнош ение (7.38) прим ет вид |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
А ( х и х 2, |
|
х„) = a |
Y |
|
( - l )N ( n ' n ’ " " 3n4 i h b h - - - t n j n - |
||||
|
|
|
|
3 1 , J2 , . . j n = 1 |
|
|
(7.41) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С равн и вая ф орм улу |
(7.41) |
с ф орм улой |
(1.28) |
гл. 1 д л я определи |
|||||
теля порядка |
п, |
мы убедимся |
в |
справедливости |
соотнош ения (7.39). |
Теорема доказана.
§6. Б илинейны е и квадратичны е ф ор м ы в евклидовом
пространстве
В преды дущ их п ар агр аф ах мы изучали билинейны е и к вад р ати ч
ные ф орм ы |
в произвольном |
(не обязательно евклидовом ) вещ ествен |
|
ном линейном пространстве |
L. В этом п ар агр аф е |
мы получим р яд |
|
сведений о |
билинейны х и к вад рати чн ы х ф орм ах, |
задан н ы х в вещ е |
ственном евклидовом пространстве. П ри этом мы будем ш ироко поль
зоваться результатам и |
§ 9 гл. 5, посвящ енного линейны м |
операторам . |
В и. 3 настоящ его |
п ар а гр аф а будет показано, каким |
образом тео |
рия евклидовы х пространств м ож ет бы ть прим енена д л я получения со держ ательн ы х результатов в произвольны х линейны х пространствах. В частности, нами будет получено независимое доказательство теоре мы о том, что к аж д ая к вад р ати ч н ая ф о р м а в линейном пространстве м ож ет бы ть приведена к каноническом у виду.
1. П редвари тельны е зам ечан и я . В этом пункте мы напомним некоторы е понятия теории линейны х операторов.
П усть V — n -мерное вещ ественное евклидово пространство и А —
линейны й оператор, действую щ ий из V в V . О ператор А* н азы вается
222 ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
сопряж енны м к А, если д л я всех х Е V и у Е V вы полняется равенство
(А х, |
у) |
= |
(х, А *у). |
(7.42) |
О ператор А назы вается сам осопряж енны м , если А = |
А*, т. е. дл я |
|||
всех х е V и у G V |
|
|
|
|
(А х, |
у) |
= |
(х, А у). |
(7.43) |
Рассм отрим билинейную ф орм у В (х, у), заданную в евклидовом пространстве V . В гл. 5 бы ло установлено, что каж дой такой ф о р ме В (х, у) однозначно соответствует линейны й оператор такой, что справедливо равенство
|
В (х, у) = |
(А х, у). |
(7.44) |
К ром е |
того, в теореме 5.33 бы ло |
доказано, что |
билинейная ф о р |
м а В (х, у) |
явл яется сим м етричной тогда и только тогда, когда опера |
тор А, ф игурирую щ ий в (7.44), явл яется самосопряж енны м .
Н апомним такж е, что в теорем е 5.35 д л я лю бого сам осопряж енного оператора А бы ло доказано сущ ествование ортонорм ированного бази са из собственны х векторов. Это означает, что сущ ествую т ортонор- м ированная система e i, в 2 , ..., е п и вещ ественны е числа Ai, А2 , ..., Ап
такие, что |
|
А е к = Хке к . |
(7.45) |
О тметим, что в базисе {е/Д м атри ц а оператора А имеет ди агон аль
ный вид. |
|
|
|
|
2. П р и веден и е |
квадратичной ф ор м ы к |
сум м е квадратов |
||
в ортогональном |
бази се. П усть В (х, у) — сим м етричная билиней |
|||
н ая ф орм а, |
задан н ая в вещ ественном евклидовом пространстве |
V , а |
||
В (х, х) — определяем ая ею квад р ати ч н ая ф орм а. |
|
|
||
Д окаж ем |
следую щ ую теорему о приведении |
квад рати чн ой |
ф о р |
|
мы В (х, х) |
к сумме квадратов. |
|
|
Т е о р е м а 7.8. П уст ь В (х, у) — сим м ет р и чн а я б и линейн ая ф орма,
заданная в евклидовом прост ранст ве V . Тогда в прост ранст ве V су
щ ест вует т акой ортонор м ир о |
ванны й базис {е/Д |
и |
м ож но указат ь |
т акие вещ ест венны е числа Хк , |
чт о для любого х |
Е |
V квадрат ичная |
форма В (х, х) м ож ет быть предст авлена в виде следую щ ей сум м ы
квадрат ов координат £к вект ора х в базисе |
{е/Д: |
п |
|
В ( х , х ) = £ Х к й - |
(7.46) |
к = 1
§ 6. ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
223 |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Т ак как В (х, у) — сим м етричная билинейная
ф орм а, то сущ ествует сам осопряж енны й оператор А |
такой, что |
||
В (х, у) = |
(А х , |
у ). |
(7.47) |
По теореме 5.35 д л я оператора А |
м ож |
но указать ортонорм ирован - |
ный базис {е/Д из собственны х векторов этого оператора; пусть А/, —
собственны е значения, отвечаю щ ие щ . |
|
|
П усть вектор х имеет в базисе щ |
координаты Д . |
|
п |
|
|
х = |
£ке к. |
(7.48) |
к = 1 |
|
|
Тогда, очевидно, поскольку щ — собственны е векторы оператора А :
п
А х = УУ А |
(7.49) |
к= 1
Из соотнош ений (7.48) и (7.49) вследствие ортонорм ированности базиса {е/Д получаем следую щ ее вы раж ение д л я скалярного произве
дения А (х, х):
п
А ( х , х) = УУ Afeffe. |
(7.50) |
к= 1
Отсю да и из соотнош ения (7.47) получаем (7.46). Т еорема доказана.
3.О дн оврем ен н ое п р и ведени е д в у х квадратичны х ф ор м к
сум м е квадратов в линейном пространстве.
Д окаж ем теперь важ ную теорему об одновременном приведении
двух квад рати чн ы х ф орм к сумме квад ратов в произвольном (не обя зательно евклидовом) вещ ественном линейном пространстве.
Т еорем а 7.9. П уст ь |
А (х, у) |
и В (х, у) — сим м ет ричны е б и ли |
|||||||
нейны е формы , |
определенны е в |
вещ ест венном ли н ей н о м |
прост ран |
||||||
ст ве V . Д о п ус т и м |
далее, |
чт о |
для |
всех х G У , х |
/ 0, |
справедливо |
|||
неравенст во В (х, |
х) > |
0 (га. |
е. |
квадрат ичная |
форма |
В (х, |
х) — |
||
полож ит ельно |
определенная). Тогда в прост ранст ве V |
м ож но |
ука |
||||||
зат ь базис {е/Д |
т акой , чт о квадрат ичны е формы А (х, |
х) |
и В (х, х) |
||||||
м о гут быть предст авлены в виде |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
А ( х , х) |
= |
УУ Х Щ , |
|
|
(7.51) |
||
|
|
|
|
|
k = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
в |
(х, х) |
= |
УУ |
|
|
(7.52) |
к = 1
224 ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
где — координат ы вект ора х в базисе {е/Д.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно зам ечанию в конце § 2 этой главы
скалярное произведение в конечном ерном вещ ественном пространстве м ож ет бы ть задано с помощ ью билинейной ф орм ы В (х, у), полярной
к полож ительно определенной квадрати чн ой ф орм е В (х, х).
П оэтому мы можем ввести в линейном пространстве V скалярное
произведение (х, у) векторов х н у , |
полагая |
|
(х, у) = |
В (х , у). |
(7.53) |
Таким образом , V представляет собой евклидово пространство со скалярны м произведением (7.53). По теореме 7.11 м ож но указать такой ортонорм ированны й базис {е/Д и такие вещ ественны е числа А/., что в этом базисе квад р ати ч н ая ф о р м а А (х, х) представляется в виде (7.51).
С другой стороны , в лю бом ортонорм ированном базисе скалярное произведение (х, х), равное, согласно (7.53), В (х, х), представляется в виде суммы квад ратов координат вектора х. Таким образом, представ
ление В (х, х) в виде (7.52) в базисе {е/Д такж е обоснованно. Теорема доказана.
З а м е ч а н и е . И з доказанной нами теорем ы непосредственно сле
дует, что лю бую квадрати чн ую ф орм у в произвольном вещ ественном линейном пространстве мож но привести к каноническому виду. О дна ко способ такого приведения является, вообщ е говоря, более слож ны м ,
чем |
способы, излож енны е вы ш е в § 3, поскольку он требует нахож де |
|||||||||
ния |
всех собственны х векторов некоторого самосопряж енного опера |
|||||||||
тора (см. по этому поводу гл. 6). |
|
|
|
|||||||
|
4. |
|
Э кстрем альны е свойства квадратичной ф ор м ы . Р ассм от |
|||||||
рим произвольную диф ф еренцируем ую ф ункцию / , определенную на |
||||||||||
некоторой |
гладкой |
поверхности S (см. определение гладкой поверх |
||||||||
ности в |
гл. 5 части |
2 |
«Основ м атем атического |
ан али за»). Будем |
го |
|||||
ворить, |
что точка |
хо |
поверхности S явл яется |
ст ационарной т очкой |
||||||
ф ункции / , если в точке XQ производная ф ункции / |
по лю бому н ап рав |
|||||||||
лению на поверхности S р авн а нулю . В частности, точки экстрем ум а |
||||||||||
ф ункции / являю тся ее стационарны ми точками. |
|
|
||||||||
|
Значение / (хо) |
ф ункции / в стационарной точке XQ н азы вается |
||||||||
ст ационарны м значением . И ногда стационарную точку XQ ф ункции / |
||||||||||
назы ваю т |
ее |
крит ической |
т очкой , а величину |
/ |
(х0) — крит ическим |
|||||
зн а чен и ем . В |
этом |
пункте |
мы исследуем вопрос |
о стационарны х |
и, |
|||||
в частности, экстрем альны х значениях квад рати чн ой ф орм ы В (х, |
х) |
на сф ере единичного радиуса в евклидовом пространстве У и о связи этих значений с собственны ми значениям и сам осопряж енного операто р а А, с помощ ью которого сим м етричная билинейная ф о р м а В (х, у),
§ 6. ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
225 |
полярн ая квадрати чн ой ф орм е В (х, х), представляется в виде
В (х, у) = (А х, у). |
(7.54) |
П ри этом единичной сферой в V мы будем н азы вать множ ество тех векторов х G V , которы е удовлетворяю т уравнению
(х, х) = 1 или ||х || = 1. |
(7.55) |
Д л я упрощ ения рассуж дений мы воспользуемся вы водам и преды
дущ его пункта о приведении квад рати чн ой ф орм ы к сумме квадратов. И так, пусть В (х, х) — квад р ати ч н ая ф орм а, В (х, у) — п олярн ая этой ф орм е билинейная ф орм а, А — сам осопряж енны й оператор, свя
занны й с В (х, у) соотнош ением (7.54).
По теореме 7.8 в ортонорм ированном базисе {е/Д, состоящ ем из соб
ственны х векторов оператора А , |
к вад р ати чн ая ф о р м а В (х, х) |
имеет |
вид |
п |
|
|
|
|
В ( х , х) |
= Е |
(7.56) |
|
к = 1 |
|
где — координаты вектора х |
в базисе {е/Д, А/, — собственны е значе |
|
ния оператора А . М ы договорим ся нум еровать эти |
собственны е зн а |
|
чения в порядке убы вания: |
|
|
Ai ^ |
А2 ^ ... ^ Ап . |
(7.57) |
Зам етим , что в вы бранном базисе единичная сф ера, определяем ая уравнением (7.55), в координатах вектора х задается уравнением
п
|
|
|
Е |
- |
1 = °- |
|
|
|
Е 58) |
|
|
|
к = 1 |
|
|
|
|
|
|
Д окаж ем следую щ ую теорему. |
|
|
|
|
|
||||
Т е о р е м а |
7 .10. С т ационарны е |
зн а чен и я |
квадрат ичной |
фор |
|||||
м ы В (х, |
х) |
на единичной |
сфере (7.55) равны |
собст венны м |
зн а че |
||||
н и я м Xk |
оператора А . |
Э т и ст ационарны е |
зн а чен и я |
дост игаю т ся, |
|||||
в част ност и , на единичны х собст венны х вект орах е* |
оператора А. |
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Т ак |
как речь идет |
о |
ст ационарны х |
зн а че |
||||
н и я х ф ункции В (х, х) |
при |
условии |
(х, х) |
= |
1, т. е. об условном |
||||
экст рем ум е |
этой ф ункции, |
то мы |
можем воспользоваться методом |
неопределенны х м нож ителей Л агр а н ж а (см. «О сновы м атем атическо го анализа» часть I, п. 2 § 5 гл. 15). Составим д л я ф ункции В (х, х), ис пользуя ее вы раж ение (7.56) в данном базисе {е/Д, ф ункцию Л агр ан ж а Ф (£i, ^2 1 • • £п) 5 учи ты вая при этом, что уравнение связи имеет
15 В.А . И л ьи н, Э.Г. П о зн я к
226 ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
вид (7.58). П олучим
* = Е Х^ 1 - АЕ $ - 1Ь |
(7.59) |
\к = 1 |
|
где Л — неопределенны й м нож итель Л агр ан ж а .
Н апомним, что если Л в (7.59) вы брано так, что при условии (7.58)
вы полняю тся соотнош ения
|
|
_ |
= |
о , к = |
1, 2, . . |
(7.60) |
|
|
3 6 |
|
|
|
|
то |
в точках |
сф еры (7.58), |
отвечаю щ их этим |
значениям Л, ф у н к |
||
ция |
В (х, х) |
(квадр ати ч н ая |
ф о р м а |
В (х, х)) |
имеет стационарное |
|
значение. |
|
|
|
|
|
Таким образом , вопрос о стационарны х значениях В (х, х) на сф е
ре (х, х) = 1 редуцируется к исследованию системы уравнений отно
сительно неизвестны х Л и координат £i, £2 , • • •, £п вектора х. О тметим,
что при этом £1 , £2 |
, • • |
£п будут координатам и того вектора х, на ко |
|||||
тором В (х, х) будет иметь стационарное значение. |
|
|
|||||
Т ак как |
- |
= |
2 (А/, |
— А)£^, то |
интересую щ ая |
нас систем а |
(7.58), |
|
о^к |
|
|
|
|
|
|
(7.60) прим ет вид |
|
|
|
|
|
||
|
п |
& |
|
|
= 0, к = 1, 2, |
|
|
|
У |
= Г (А* - А)6 |
... , п . |
(7.61) |
|||
|
к = 1 |
|
|
|
|
|
|
П усть система (7.61) имеет реш ение
А = А, х = ( 6 , 6 , . .. , 6 ) .
|
У м нож ая каж дое из |
соотнош ений |
(А& — А)£& |
= 0 на |
£&, сумми |
||||||
руя |
затем |
полученны е |
соотнош ения |
и |
учи ты вая, |
что |
= |
= 1? |
|||
получим, согласно |
(7.56), следую щ ее значение д л я |
А: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
= |
У |
А *|| |
= |
В ( х , х). |
|
|
|
|
|
|
|
|
к = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, |
есл-и |
А и |
х = |
(£1 , £2 , ... , £п) — реш ение |
сист е |
||||
м ы |
(7.61), |
то А равно значению квадрат ичной формы В (х, х) |
на век |
||||||||
торе х = |
(£1 , £2 , ... , £п), |
па кот ором эт а форма им еет |
ст ационар |
ное значение.
|
§ 7. ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
|
227 |
|||||||
Л егко |
видеть, |
что |
реш ениям и системы |
(7.61) |
служ ат |
следую щ ие |
||||
значения неизвестны х Л и |
|
|
|
|
|
|
|
|||
А = А^ |
£i — |
0, |
£*-1 |
= 0, ^ |
= |
1, |
^ + i |
= 0, •••> |
= |
О, |
|
|
|
к = |
1, 2, . |
. |
п. |
|
|
|
|
О чевидно, эти |
реш ения являю тся |
собственны ми значениям и |
А/, и |
координатам и соответствую щ их собственны х векторов е/,. Т еорема до
казана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е . |
М ы |
только |
что |
вы яснили, |
что |
собственны е |
|||||||||
значения |
А& |
являю тся |
стационарны ми |
значениям и |
квадратичной |
||||||||||
ф орм ы В (х, |
х) на сф ере (х, |
х) |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
О казы вается, |
числа |
Ai |
и |
Ап |
(при |
условии (7.57)) |
являю тся |
соот |
|||||||
ветственно |
наибольш им |
и |
наим еньш им |
значениям и |
В (х, х) |
на |
сф е |
||||||||
ре (х, х) = |
1 (то, что эти |
значения достигаю тся, установлено |
вы ш е). |
||||||||||||
Ч тобы |
убедиться |
в |
справедливости зам ечания, |
достаточно |
зам е |
||||||||||
нить в (7.56) |
все |
Xk |
сн ачала |
на |
Ап , а |
затем на Ai и |
воспользоваться |
||||||||
соотнош ениями (7.57) и (7.58). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
О чевидно, получим неравенства Ап ^ |
В (х, х) ^ |
Аь |
|
|
|
||||||||||
|
§ 7. Г и п е р п о в е р х н о с т и в то р о го п о р я д к а |
|
|
||||||||||||
В этом |
п ар агр аф е мы познаком им ся с понятием |
и основными ти |
пами гиперповерхностей второго порядка. К ром е того, будут указаны способы исследования таких поверхностей.
1. П о н я т и е ги п е р п о в е р х н о с ти в т о р о го п о р я д к а . П усть V —
n -мерное вещ ественное евклидово пространство.
Р ади геом етрической наглядности будем н азы вать векторы х этого
п ространства т очкам и. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г иперповерхност ью |
S |
второго порядка |
будем назы ват ь |
геом ет |
||||
рическое м ест о т очек х, |
удовлет воряю щ их уравнению вида |
|
||||||
Л (х , |
х) + |
2 В (х) + |
с |
= |
0, |
(7.62) |
||
где А (х, х) — не р ав н ая |
тож дественно |
нулю |
к вад р ати ч н ая |
ф орм а, |
||||
В (х ) — линейная ф орм а, а с — вещ ественное число. |
|
|||||||
У равнение (7.62) будем н азы вать общ им |
уравнением гиперповерх |
|||||||
ност и второго порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
В ы делим в пространстве V |
какой-либо |
ортонорм ированны й ба |
||||||
зис {щ } . К оординаты |
вектора |
х |
(точки |
х) |
в этом базисе обозначим |
|||
через (xi, Ж2 , . .. , х п ). |
Тогда (см. |
п. 2 § 1 этой главы ) к в ад р ати чн ая |
15:
228 ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
ф о р м а А (х, х) м ож ет бы ть представлена в виде
|
п |
|
|
А ( х , х) = |
£ |
a j k X j X k , |
(7.63) |
|
j,k = l |
|
|
где |
|
|
|
ajk |
A (GJ , |
е Д |
(7.64) |
и A (ej, еД — значение на векторах ej и е/, сим м етричной билинейной
ф орм ы А (х, |
у), полярной квадрати чн ой ф орм е А (х, х). |
|
Л инейная |
ф о р м а В (х) в указанном базисе {еД |
представляется в |
виде 8) |
п |
|
|
|
|
|
В ( х ) = ^ 2 ь кх к. |
(7.65) |
|
к = 1 |
|
Таким образом, общее уравнение гиперповерхност и второго поряд
ка в евклидовом прост ранст ве V |
с вы деленны м базисом {е/Д м ож ет |
||||||||||
быть предст авлено в следую щ ей ф орм е: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
п |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
cijkXjXk + 2 У |
Ькх к |
+ с = |
0. |
|
(7.66) |
|||
|
|
j,k = 1 |
|
fc= 1 |
|
|
|
|
|
||
Д оговорим ся о следую щ ей терминологии. |
|
|
|
||||||||
С лагаемое |
А (х, х) |
= |
k = i aj k x j x k |
будем |
н азы вать группой |
||||||
ст арш их членов уравнения |
(7.62) |
или |
(7.66). |
|
|
|
|||||
Группу слагаем ы х |
В (х) |
+ с |
= |
|
|
+ |
с будем |
н азы вать |
|||
ли н ей н о й част ью уравнения (7.62) или |
(7.66). |
|
|
|
|||||||
М ы будем рассм атри вать в дальнейш ем м атрицы |
|
|
|||||||||
д |
а ц |
CL\r |
в |
= |
/ |
а ц |
|
air, |
bi |
\ |
|
|
|
|
|
|
(7.67) |
||||||
&п1 |
|
|
|
tinl |
|
&пп |
ап |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
h |
|
Ъг |
^ |
7 |
||
|
|
|
|
|
|
|
и определители det А и det В этих м атриц.
8) |
Согласно лемме |
п. 1 § 4 гл. 5 линейная форм а В (х) может |
быть представ |
||
лена в виде |
В (х) = |
(х, Ь), |
где Ь —постоянный вектор. Обозначая |
bi, |
62, • • bn |
координаты вектора b и учиты вая ортонормированность базиса { е Д , |
мы получим |
||||
представление В (х) |
в виде (7.65). |
|
|
§ 7. ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА |
229 |
И сследование гиперповерхностей второго порядка мы будем прово дить с помощ ью метода, сходного с методом, прим еняем ы м в ан али тической геом етрии при исследовании кривы х и поверхностей второго
порядка, задан н ы х общ ими уравнениям и .
И дея этого м етода заклю чается в том, что путем вы бора специаль ной декартовой системы координат на плоскости (для кривы х второго порядка) или в пространстве (для поверхностей второго порядка) до
стигается |
м аксим альное упрощ ение уравнения кривой или поверхно |
сти. Затем |
путем исследования этого уравнения вы ясняю тся геом ет |
рические свойства кривой или поверхности. К ром е того, перечисление всех возм ож ны х типов простейш их (канонических) уравнений кривы х или поверхностей второго порядка позволяет д ать их классиф икацию .
Чтобы использовать этот метод в м ногомерном случае, мы снача
ла долж н ы изучить такие преобразования (отображ ения) п -мерного евклидова пространства, которы е представляю т собой аналоги преоб разований декартовы х прям оугольны х координат в случае двух и трех измерений.
Т акими преобразованиям и в n -мерном случае будут параллельны е переносы и такие преобразования базисов, при которы х ортонормированны й базис переходит в новы й ортонорм ированы й базис. Точны е
определения этих преобразований |
будут |
дан ы в следую щ ем пункте. |
О чевидно, гиперповерхность |
второго |
порядка, рассм атри ваем ая |
как геом етрический объект п ространства V , не изм еняется, если про
изводится преобразование указанного вы ш е вида. Н иж е мы убедимся, что д л я каж дого уравнения вида (7.62) (или (7.66)) м ож но вы брать такое начало координат и вы брать такой ортонорм ированны й базис в V , что это уравнение, записанное в координатах относительно ново го базиса, будет м аксим ально простого вида, и поэтому, как и в случае двух и трех измерений, мож но будет указать геом етрические х аракте ристики таких поверхностей и д ать им классиф икацию .
2. П араллельны е переносы в евклидовом пространстве. П р еобр азов ани я ортонорм ированны х базисов в ортонорм иро-
ванны е. П араллельн ы м переносом в евклидовом пространстве мы бу дем н азы вать преобразование, задаваем ое ф орм улам и
х = х' + х, |
(7.68) |
где х — ф икси рован н ая точка, н азы ваем ая новым началом координат.
П усть точки |
х, х' и х |
имею т координаты , соответственно равны е |
(х 1} х 2, . . х п ), |
( ж ! , х'2, . |
. х'п ) и (а*1 , х 2, ■■; Хп ). |
Тогда в координатах параллельн ы й перенос определяется ф орм у-
230 |
ГЛ. 7. |
БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ |
|
||
лам и |
|
|
|
|
|
|
|
Хк |
= х'к + х к , к |
= 1 , 2 , . . п. |
(7.69) |
|
О тметим, что |
при |
п араллельном |
переносе лю бой ф иксированны й |
базис не изм еняется.
П ерейдем теперь к вы яснению характеристики преобразования ор-
тонорм ированного базиса в ортонорм ированны й .
Д опустим, что ортонорм ированны й базис { е Д преобразуется в но
вы й ортонорм ированны й базис {е'Д . Р азлож и м каж ды й вектор |
по |
|||||
векторам {е/Д. П олучим |
|
|
|
|
|
|
e i |
= |
P n e i + |
p 2i e 2 |
+ |
■■■ + P ni^n, |
|
e2 |
= |
P12&1 + |
P22&2 |
+ |
■ ■ ■ + Pn2^n, |
(7.70) |
^n |
~ |
P ln e l |
P2n^2 |
"b |
- - - "b Pnn^ri' |
|
О бозначим буквой Р м атрицу преобразования (7.70):
|
/ Р п |
Р21 |
••• |
Рп1 |
Р = |
Р12 |
Р22 |
••• |
Рп2 |
|
|
|
|
|
|
\ P i n |
Р 2 п |
• |
Р п п |
\
(7.71)
)
Т ак как базисы {е&} и {e'fe} ортонорм ированны е, то из (7.70) путем скалярного ум нож ения е) на е), получим
|
|
|
|
П |
|
|
|
1 |
при j |
= |
к , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( e j5 е к ) |
— |
У |
у |
P r n jP m k |
— |
3jk |
— |
при j |
ф |
(7.72) |
|
|
|
|
т |
= 1 |
|
|
|
0 |
к. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассм отрим |
теперь транспонированную м атрицу Р ', т. е. матрицу, |
||||||||||
полученную из Р |
перестановкой строк и столбцов. |
|
|
||||||||
О чевидно, согласно |
(7.72), |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Р Р ' |
= |
р ' р |
= / , |
|
|
(7.73) |
где / — единичная м атрица. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Р авен ства |
(7.73) |
показы ваю т, |
что |
м атри ц а Р 1 |
явл яется обратной |
||||||
д л я м атрицы |
Р , |
т. е. |
|
|
= |
Р '. |
|
|
(7.74) |
||
|
|
|
|
|
Р - 1 |
|
|
Д опустим теперь, что мы рассм атриваем преобразование ортонор- м ированного базиса {е/Д по ф орм улам (7.70), причем м атри ц а Р этого преобразования удовлетворяет условию (7.73) (или, что то ж е, (7.74)).