книги / Линейная алгебра.-1
.pdf§ 1. |
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ |
181 |
или, что то ж |
е самое, ||Х || 2 ^ ( 1 / 8 ) ( С Х , X ) . П оследнее |
неравенство |
позволяет заклю чи ть, что из равен ства нулю указанного вы ш е преде
л а (6.19) следует, что |
|
lim \\Zk + 1 - Z k || = 0. |
(6.20) |
к— |
|
Д л я заверш ения доказательства достаточности следует воспользо
ваться соотнош ением |
|
|
В — ------— + A Z k |
= 0, |
|
Т |
|
|
из которого, в силу сущ ествования д л я |
полож ительно определенной |
|
м атрицы А ограниченной обратной м атрицы А ~ 1, вы текает, что |
||
Zk — — А 1 • — {Z k + |
1 |
— Z k). |
т |
|
|
П оследнее равенство и соотнош ение (6.20) даю т право заклю чи ть, что
Нгщ—^оо \\Zk\\ = 0 . Д остаточность доказана.
Д л я |
доказательства необходимости условий (6.14) при дополни |
тельном |
предполож ении о том, что м атри ц а В сим м етрична, привле |
чем следую щ ую лемму. |
Л е м м а . П уст ь С — некот орая си м м ет р и чн а я м а т р и ц а , а В —
сим м ет р и чн а я полож ит ельно определенная м ат рица . Тогда м а т р и
ца С я в ля е т с я полож ит ельно определенной в т ом и т олько в т ом
случае, когда я вля ю т с я п о ло ж и т ельн ы м и все собст венные зн а чен и я задачи С Х = Х В Х .
Д л я доказательства лем м ы зам етим , что так как м атри ц а В |
я в л я |
||
ется |
сим м етричной и полож ительно определенной, то |
(в силу |
теоре |
мы |
5.24 из п. 6 § 5 гл. 5) сущ ествует сам осопряж енны й |
полож ительно |
|
определенны й оператор В 1 / 2 такой, что д л я соответствую щ ей ему м ат |
рицы В 1!2 справедливо равенство В 1!2 х |
В 1! 2. Т ак как м атри |
ц а В 1!2 |
явл яется полож ительно определенной и сим метричной, то д л я |
нее су |
|
щ ествует ограниченная и сим м етричная |
обратн ая м атрица, которую |
|
мы обозначим через В ~ 1//2. |
|
|
Зам етим далее, что |
с помощ ью зам ены X = В 1!2 • Y и ум нож е |
ния слева на м атрицу |
В ~ х!2 зад ач а на собственны е значения С Х — |
— Х В Х |
переходит в эк ви ва лен т ную задачу на собственны е значения |
|
В - 1!2 • С • В ~ 1 / 2 У , так что |
д л я доказательства лем м ы остается убе |
|
ди ться |
в том, что заведом о |
сим м етричная м атри ц а В ~ х!2 • С • В ~ х!2 |
явл яется полож ительно определенной тогда и только тогда, когда я в ляется полож ительно определенной м атри ц а С. Это последнее сразу
182 |
ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ |
|
|
||
вы текает из того, что д л я лю бы х ненулевы х векторов X |
и Y , |
связан |
|||
ны х соотнош ением Y = |
В ~ 1 / / 2 |
• X , справедливо равенство |
|
||
( В ~ |
1 / 2 • С • В ~ 1/2X , |
X ) = |
( С - В ~ 1 / 2 X , В ~ 1 / 2 - X ) = |
(C Y , |
Y ) . |
Л ем м а доказана.
Теперь мы можем перейти к доказательству необходимости усло вий (6.14) теорем ы 6.2 при дополнительном предполож ении о том, что
м атри ц а В явл яется симметричной.
2) Н е о б х о д и м о с т ь . Б удем |
опираться на следую щ ее утверж д е |
ние из доказанной вы ш е леммы : |
если м ат рица В я в ля е т с я си м м ет |
ри чно й и полож ит ельно определенной, а м ат рица С я в ля е т с я си м
м ет ричной и не я в ля е т с я полож ит ельно определенной, то задача на
собст венные зн а чен и я С Х |
= |
Х В Х им еет хо т я |
бы одно неполож и |
||
т ельное собст венное зн ачение |
\ s . |
|
|
|
|
П редполож им , что не выполнено первое из условий |
(6.14), т. е. не |
||||
выполнено требование 2 В |
— г А > 0 . |
|
|
|
|
П олагая в проведенны х вы ш е рассуж ден и ях |
С |
= |
2 В — т А, мы |
||
получим, что зад ач а на собственны е значения ( 2 В |
— т А ) Х = Х В Х |
имеет хотя бы одно неполож ительное собственное значение As . О бозна
чим через м * ) отвечаю щ ий As собственны й вектор и вы берем нулевое |
|||||
приближ ение X Q так, чтобы бы ло выполнено условие Z Q = X ^ s\ |
|||||
Тогда, |
переписав |
уравнение д л я |
погреш ности (6.15) в виде |
||
B Z k + i |
= |
— B Z k |
+ |
(2 В — r A ) Z k , мы |
получим, последовательно по |
лагая к |
равны м 0 |
, 1 , ... , |
|
Zi |
= |
(- 1 + АЩД |
Z 2 = (- 1 + А8)2МУ |
1( -+ |
|
|
||
|
|
|
|
|
z k = |
А Д х Д . . . |
||
П оскольку —1 |
+ А* < |
— 1 , то очевидно, что \\Z^\\ |
не стрем ится к нулю |
|||||
при |
к |
оо. |
|
|
|
|
|
|
А налогично |
рассм атривается случай |
невы полнения |
второго |
усло |
||||
вия |
(6.14), т. е. |
условия тА > 0 . В этом |
случае |
в проведенны х |
вы ш е |
рассуж ден и ях следует полож ить С = тА. М ы получим при этом, что
зад ач а т А Х |
= |
Х В Х имеет хотя бы одно неполож ительное собствен |
|||||||
ное значение As с собственны м вектором |
X ^ s\ В ы бирая нулевое при |
||||||||
ближ ение |
X Q так, |
чтобы бы ло справедливо равенство |
Z Q |
= |
Х ^ |
и |
|||
переписы вая (6.15) в эквивалентном виде B Z ^ + i = B Z k |
~ |
T A Z }*, мы |
|||||||
получим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zi = ( 1 - |
А |
Щ |
Д |
z 2 = (1 - A S ) 2 X A |
. . . , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z k = 1 -(А |
Д |
М |
У |
. . . |
|
§ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ |
|
183 |
||||
Т ак |
как А ^ 0 |
, то очевидно, что \\Z^\\ не стрем ится к |
нулю |
при |
|||
к оо. Т еорема 6 |
. 2 |
полностью доказана. |
|
|
|
|
|
П ерейдем теперь |
к оценке скорости |
сходимости |
общ его |
неявного |
|||
м етода |
простой итерации. С ледуя А .А. |
С ам арском у |
5) , вы ясним |
во |
прос о вы боре такого значения п арам етра т, которое обеспечивает наи
более бы струю сходимость. |
|
|
|
|
П редполож им , что м атри ц а В |
явл яется сим м етричной и полож и |
|||
тельно определенной. С помощ ью |
такой м атрицы естественно ввести |
|||
так назы ваем ое энергет ическое скалярное произведение |
двух произ |
|||
вольны х векторов X и Y , полож ив его равны м (В Х , Y ) |
= |
(X , B Y ) . |
||
Такое скалярное произведение будем обозначать символом |
(X , Y ) B - |
|||
С помощ ью м атрицы |
В 1!2 это скалярное произведение м ож но за |
|||
писать в виде (X , Y ) B = |
( £ 1 / 2 £ 1 |
/ 2 Х , Y ) = ( В ^ Х , B X/ 2Y ) . |
С помо |
щ ью последнего равен ства легко проверяется справедливость д л я вве
денного нами |
скалярного |
произведения четы рех аксиом скалярного |
произведения |
(см. и. 1 § 1 |
гл .4 ). |
Д алее естественно ввести энергет ическую норм у вектора X , поло |
||
ж и в ее равной |
(X , X ) в |
= \ J (В Х , X ). Э ту энергетическую норму |
мы обозначим символом ||Х ||# .
Д ве различны е норм ы одной и той ж е совокупности векторов ||Х ||/
и ||Х ||// назы ваю т эк ви ва ле н т н ы м и , если сущ ествую т такие полож и тельны е постоянны е 7 1 и 7 2 , что справедливы неравенства
7 i i № <
Зам етим , что энергет ическая норм а вект ора X и обычная его нор
м а я вля ю т с я |
эквивален т ны м и . В самом |
деле, |
справедливость |
нера |
венства 7 i 11X11 |
^ ||Х ||В , т. е. неравенства |
д 2 (Х , |
X ) ^ (В Х , X ) |
вы те |
кает из полож ительной определенности м атрицы В , а справедливость неравенства ||Х ||я ^ 7 2 ЦХЦ, т. е. неравенства (£?Х, X ) ^ дЩ ХЦ 2 вы текает из неравенства К ош и -Б ун яковск ого и оценки (6.7) (достаточно
П О ЛО Ж И ТЬ 7 2 = || £ ? ||) .
У становленная эквивалентность обы чной и энергетической норм
позволяет |
утверж д ать, что последоват ельност ь |
ЦХ/.Ц сходит ся к н у |
лю тогда |
и т олько т огда, когда сходит ся к |
нулю последоват ель |
ност ь ||Xfc||£.
Д л я дальнейш их рассуж дений энергетическая норм а явл яется бо лее удобной, чем обы чная норма.
Д окаж ем следую щ ую ф ундам ентальную теорему.
5) Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. — М.: Наука, 1973.
184 |
|
|
|
|
ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Т е о р е м а 6 .3 |
(теорема А .А. С ам арского). П уст ь м ат рицы А и В |
||||||||||||||||||||
сим м ет ричн ы |
и |
полож ит ельно определены , Z к |
обозначает |
погреш |
||||||||||||||||||
ност ь |
общего |
неявного |
мет ода |
прост ой |
ит ерации. |
Тогда |
|
для |
того |
|||||||||||||
чтобы |
при |
р |
< |
1 было |
справедливо |
неравенст во |
| | ^ |
| | б «S |
Рк Ш \ в , |
|||||||||||||
дост ат очно, чтобы было вы полнено условие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
^— |
^ В ^ А |
^ ^ - ^ - В . |
|
|
|
|
|
|
(6.21) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е . |
А .А. С ам арским |
доказано, что |
условие |
|
(6 |
.2 |
1 ) |
не |
|||||||||||||
только |
достаточно, но |
и необходимо д л я |
справедливости |
неравен |
||||||||||||||||||
ства \\Zk \\B |
^ |
р ^ ||^ о||б , но мы на этом останавливаться не будем. |
|
|||||||||||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы |
6.3. Д л я удобства разобьем дока |
|||||||||||||||||||
зательство на д в а ш ага. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 °). С н ачала |
докаж ем , |
что |
если |
сим м етричны е и полож ительно |
|||||||||||||||||
определенны е |
м атрицы |
А |
ж В |
удовлетворяю т |
условиям |
С ам арско |
||||||||||||||||
го |
(6.14), |
то |
( B Z k + 1 , Z k + i) |
^ (B Z k, Z k). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
У м нож ая равенство (6.15) скалярно на 2 r Z k + i |
= r ( Z k + |
1 |
+ Z k) |
+ |
|||||||||||||||||
+ |
r ( Z k + |
1 - |
Z k), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( B ( Z k + i |
— Z k), Z k + 1 |
+ |
Z k) + |
(B ( Z k + i |
— Z k), Z k + 1 |
— Z k) + |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ r ( A Z k + 1 |
, Z/, + 1 |
+ |
Z/,) |
+ |
r ( A Z kj Z k + 1 — Z/,) |
= |
0. |
||||||||||
В последнем равенстве заменим A Z k на разность |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
~ A ( Z k + i + Z k) - - A ( Z k + i - Z k). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Тогда, |
учи ты вая |
вы текаю щ ее |
из |
симм етрии |
|
м атрицы |
|
А |
равен |
||||||||||||
ство ( A ( Z k + 1 |
- |
Z k), |
Z k + i |
+ Z k ) |
= |
(Z fe + i - |
Z k , A ( Z k + |
|
1 |
+ |
Z&)), |
|||||||||||
мы получим тож дество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( ^ ( ^ / г + |
1 |
— |
^ / г ) > |
Z k + i + |
Z k )~\~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
+ ((в —~AJ(Zk+1 —Z*), Z*+1 + z^ |
+ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
-(^ (^ /e + l |
+ Z*), Z* + 1 + |
Zk) |
= |
0. |
||||||||
У чи ты вая, |
что (в силу |
условий |
С ам арского |
(6.14)) операторы |
т А |
и |
||||||||||||||||
В |
— (г /2 ) А |
являю тся полож ительно определенны ми, мы получим из |
||||||||||||||||||||
последнего тож дества следую щ ее неравенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
(B(Zk+1 - Zk), Zk+1 + Zk) ^ 0.
|
§ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ |
185 |
|||||||
Это |
неравенство |
эквивалентно |
доказы ваем ом у |
неравен |
|||||
ству |
( B Z k + 1 , Zk + 1 ) ^ |
(B Z k , Zk) (в силу вы текаю щ его из симм етрии |
|||||||
оператора В |
тож дества (B Z ^ + i , Zk) |
= {Zk +i , |
BZk ) ) - |
|
|||||
2 |
°) П усть теперь при р < 1 |
вы полнены условия С ам арского (6 .2 1 ). |
|||||||
Д окаж ем справедливость неравенства | | ^ | | б ^ |
^ |
| | ^ о||б - |
|
||||||
П олож им |
Zk = pkVk- Тогда, очевидно, |
|
|
|
|||||
z k + l - |
=z pkk+ 1vk + 1 |
- |
p k v k pk+= l{Vk+1 |
- |
Vk) - |
(1 -p)pkvk. |
|||
П одставляя |
эти значения |
Zk |
и Zk + i |
— Zk в равенство |
(6.15) и про |
изводя сокращ ение на рк, получим д л я величин Vk следую щ ее соотно
шение: |
|
|
|
,Vk + 1 — ук |
|
|
|
|
|
|
|
AVk — О, |
( 6.22) |
||
|
|
|
|
В - |
+ |
||
в котором |
В |
= |
р В , Л |
= |
А — -------- В . |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
В силу |
условий (6 |
.2 1 ) |
операторы |
В ж А удовлетворяю т |
услови |
||
ям тА > 0, |
2 |
В |
> тА. И з этих условий и из того, что уравнение (6 .2 2 ) |
д л я Vk соверш енно идентично уравнению (6.15) д л я Z k, в силу первого ш ага д л я Vk вы текает следую щ ая оценка: (BVk + 1 , Vk + i) ^ (B V k , Vk). И з этой оценки в свою очередь, учи ты вая, что В = р В , получим нера
венство (BVk + i, Vfc + i) ^ (£Vfc, Vfc).
П оследовательное применение указанного неравенства д л я номе
ров к = 0 , 1 , . .. приводит нас к соотнош ению (BVk, Vk) ^ ( BV Ь, Vo), а умнож ение последнего соотнош ения на р о Ь. приводит к окончательной
оценке 6) |
( B Z k , Zk) ^ p2k( B Z 0, Z 0). Тем самы м неравенство | | ^ | | б ^ |
^ Р ^ ||^ о||б |
доказано. Д оказательство теорем ы 6.3 заверш ено. |
В заклю чение применим теорему С ам арского 6.3 д л я вы яснения вопроса о вы боре такого значения п арам етра т, при котором скорость сходимости явл яется м аксим альной . И з доказанной в теореме 6.3 оцен
ки \\Zk\\B ^ |
Рк \\2 о\\в |
вы текает, что эта зад ач а сводится к нахож дению |
|||
такого значения т, |
при |
котором |
достигается |
м иним альное значение |
|
ф ункции р |
= р (т ) . |
|
|
|
|
Т ак как |
обе м атрицы |
А и В |
сим м етричны |
и полож ительно опре |
делены , то сущ ествую т полож ительны е постоянны е j i и 7 2 такие, что
справедливы неравенства 7 1 В ^ А ^ 7 2 В . Б удем |
считать, что посто |
янны е 7 i и 7 2 в этих неравенствах нам задан ы 7) . |
С опоставляя только |
6) Мы учитываем, что Zk = pkVk, Z Q = Vo-
7) Постоянные 71 и 72 естественно назвать константами эквивалентности матриц А и В. Д ля коммутирующих матриц А и В постоянные 71 и 72 соответ ственно равны наименьшему и наибольшему собственным значениям задачи А Х =
= хвх.
186 |
ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ |
|
|
|
|
|
||
что написанны е неравенства с условиями |
(6 .2 1 ), мы получим, что ми |
|||||||
ним альное значение р достигается при условии ( 1 — р)/т |
= |
7 |
1 , ( 1 |
+ |
||||
+ р)/т = |
7 2 , откуда получаем оптим альное значение т |
= |
2 / ( |
7 |
1 + |
7 2 ) |
||
и м инимальное значение р, равное ( 7 |
2 — 7 |
1 ) / ( 7 2 + 7 1 ). |
|
|
|
|
|
|
Ч астны м случаем проведенного |
нам и |
рассм отрения |
явл яется |
я в |
ный метод простой итерации, изученны й в п. 1. Д л я этого м етода спра ведливы все полученны е нами результаты .
В следую щ их трех пунктах с помощ ью общ его неявного м етода про
стой итерации и теорем ы С ам арского |
6 . 2 |
мы рассм отрим |
несколько |
||||||
наиболее употребительны х итерационны х |
методов и установим усло |
||||||||
вия их сходимости. |
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
М оди ф и ц ированн ы й |
м етод |
простой итерации . Э тот ме |
||||||
тод получается из общ его неявного м етода простой итерации в |
том |
||||||||
случае, когда стационарны й п арам етр |
т равен единице, а м атри ц а В |
||||||||
представляет |
собой диагональную м атрицу D , состоящ ую |
из элемен |
|||||||
тов м атрицы |
А, леж ащ их на главной диагонали, т. е. В |
= |
D , где |
|
|||||
|
|
|
а ц |
0 |
. .. |
0 |
|
|
|
|
|
D |
0 |
^ 2 2 |
.. |
0 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
о |
. • • |
^пп |
|
|
|
П ри |
этом, конечно, предполагается, что м атри ц а А |
явл яется сим |
|||||||
м етричной и что все ее диагональны е элем енты а ц , <2 2 2 , • • |
аПп я в л я |
||||||||
ю тся полож ительны м и |
(последнее требование необходимо и достаточ |
||||||||
но д л я |
полож ительной |
определенности диагональной |
м атрицы В |
= |
=D).
Из теорем ы 6 . 2 сразу ж е вы текает, что д л я сходимости м одиф и
цированного м етода простой итерации при лю бом вы боре нулевого приближ ения достаточно, чтобы бы ли вы полнены д в а условия: 2D >
> А, А > 0 . |
|
|
|
|
|
Т еорема |
6.1 позволяет вы рази ть |
достаточное |
условие сходимости |
||
м одиф ицированного м етода простой итерации и в другой ф орме: |
|||||
|
\\Е |
- |
D ~ 1A\\ < 1 8) |
(6.24) |
|
(под нормой |
м атрицы , как |
и |
выш е, поним ается |
операторная норм а). |
|
Т ак как \\Е —D ~ 1 А\\ = |
\ \ D ~ 1( D - A ) \ \ = \\D~ г (А - D)\\, то доста |
||||
точное условие сходимости |
(6.24) мож но переписать в эквивалентном |
||||
виде |
\\D~1(A - |
D )|| < 1. |
(6.25) |
||
|
8) Мы учитываем, что в рассматриваемом случае вместо матрицы А следует взять матрицу А, определяемую формулой А = В ~ 1А и положить В = D, т = 1.
|
|
§ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ |
|
|
187 |
||||||||||||
Н еравенство |
(6.25) |
позволяет |
получить |
различны е достаточны е |
|||||||||||||
условия сходимости м одиф ицированного м етода |
простой |
итерации. |
|||||||||||||||
П реж де |
всего |
зам етим , |
что |
если |
н аряду |
с |
операторной |
нор |
|||||||||
мой м атрицы |
(6 |
.2 ) (которую мы, |
как |
и |
выш е, |
будем |
обозначать |
||||||||||
символом |
||П ||) |
ввести |
так |
назы ваем ую |
сф ерическую |
норму |
это |
||||||||||
м атрицы , |
обозначаем ую |
символом |
| | П | | сф |
и |
определяемую равен- |
||||||||||||
ством |
||А ||сф |
= |
[E?=iE"=i |
1 1 /2 |
то, |
как |
доказано |
в |
§ 4 |
гл. 4 |
|||||||
(см. ф орм улу |
(4.28)), д л я |
лю бого |
вектора X п ространства |
Е п будет |
|||||||||||||
справедливо неравенство 9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 1Ш |
1 |
^ |Л ||сф|Ц ||. |
|
|
|
|
(6.26) |
|||||
И з (6.26) и (6.5) сразу ж е вы текает, что операторная и сф ерическая |
|||||||||||||||||
норм ы м атрицы |
связаны соотнош ением |
||П|| ^ ||П ||сф. |
|
|
|
||||||||||||
Таким |
образом, |
в силу |
(6.25) |
достаточное условие |
сходимости |
||||||||||||
м одиф ицированного м етода |
простой |
итерации |
вы раж ается |
неравен |
|||||||||||||
ством |
||D ~ 1( A |
— £ ))||сф < |
1, которое в развернутой записи имеет вид |
E : = I E ; = I 4 / 4 < I -
Зам етим далее, что при определении операторной норм ы (6.5) м ат рицы А мы исходили из обы чной (так назы ваем ой сф ерической) нормы
|
|
|
|
XI |
|
|
|
|
|
|
|
|
в е к т о р а Х |
= |
|
. .. |
, равной ||Х || |
= |
|
|
|
|
|
|
|
Ч асто |
вводят еще две норм ы |
вектора |
X : так |
назы ваем ую |
куби |
|||||||
ческую |
н о р м у , |
определяемую равенством |
| | Х |
| | к у б |
= |
m a x i ^ ^ n |а ц |, |
||||||
и так |
назы ваем ую |
окт аэдрическую |
норм у, |
определяемую |
равен |
|||||||
ством ||Х ||окт |
= |
|
\xi\. Если в определении (6.5) операторной нор |
|||||||||
мы м атрицы |
А |
поним ать под нормой вектора соответственно его ку |
||||||||||
бическую |
или октаэдрическую норму, то соотнош ение (6.5) приведет |
|||||||||||
нас к определению |
соответственно |
кубической |
и окт аэдрической опе |
|||||||||
рат орны х норм м атрицы А . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
М ож но |
доказать, что кубическая |
и октаэдрическая |
операторны е |
|||||||||
норм ы м атрицы (6 .2 |
) следую щ им образом вы раж аю тся через элем енты |
|||||||||||
9) В этом неравенстве под нормой вектора X |
|
XI |
понимается |
так на- |
||||||||
|
|
Х п
зы ваемая сферическая норма \\Х\\ = [J27=i х 1]‘
188 |
|
ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ |
|
||||
этой м атрицы 10) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
п |
|
11^-Цкуб = |
1 |
ШИХ |
11^-Цокт — |
1 |
^ а х |
Z |
1а ^ 1 ‘ |
|
Z ' |
|
< 1<п |
' |
|||
|
|
J = 1 |
|
|
|
г= 1 |
Д ословное повторение проведенны х вы ш е рассуж дений с заменой
сф ерических |
норм соответственно кубическим и и |
октаэдрическим и |
|
приведет нас |
к достаточном у |
условию сходимости |
м одиф ицирован |
ного м етода простой итерации, |
вы раж енном у соотнош ением (6.25), в |
котором под нормой м атрицы следует поним ать соответственно ее ку бическую или октаэдрическую операторны е нормы .
Это приводит нас к следую щ им двум условиям, каж дое из которы х
явл яется |
достаточны м |
д л я |
сходимости |
м одиф ицированного |
метода |
||||||||||
простой итерации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Е |
|
< |
1 |
( д л я |
г = |
1 , 2 , . . . , |
тг); |
|
|
||
|
|
|
j = |
i, j ^ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
|
< |
1 |
(для j |
1 , 2 |
, |
п). |
|
|
||
|
|
|
* = 1 ,гфз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
М е т о д |
З е й д е л я . П редставим |
симм етричную м атрицу |
(6.2) в |
|||||||||||
виде |
суммы |
трех |
м атриц А |
|
= |
D |
+ |
L |
+ £/, |
где |
D — ди агон альн ая |
||||
м атри ц а |
(6.23), a L и U соответственно строго левая и строго п равая |
||||||||||||||
м атрицы , имею щ ие вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
0 |
. .. |
|
0 |
|
|
|
0 |
« 1 2 |
• . . |
QJ\ п |
|
|
L |
= |
а 2 1 |
0 |
. .. |
|
0 |
, |
и |
= |
0 |
0 |
. |
&2п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
&nl |
&п2 |
• .. |
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
. .. |
0 |
|
иудовлетворяю щ ие условию В — U .
Метод Зей деля получается из общ его неявного м етода простой ите рации в том частном случае, когда стационарны й п арам етр т равен единице, а м атри ц а В р авн а сумме D + L . Таким образом, последова
тельны е итерации в методе Зей деля определяю тся соотнош ением
(D + L ) ( X k + 1 - Х к) + А Х к = F.
10) См., например: К рылов В.И ., Бобков В.В. и М онастырный П .И. Вычис лительные методы высшей математики. — Минск: Вышэйшая школа, 1972. Т. 1. С. 111-112.
§ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ |
189 |
Д окаж ем , что м ет од Зейделя сходит ся для лю бой си м м ет ричн ой
и полож ит ельно определенной м ат рицы А .
В силу теорем ы 6.2 достаточно доказать, что д л я лю бой такой м ат
рицы А выполнено условие |
|
|
|
|
|
2 (D |
+ |
L) |
> А . |
|
(6.27) |
Д л я доказательства (6.27) зам етим , что д л я лю бого вектора X |
|||||
(2 (D + L )X , X ) = ( D X , X ) + ( D X , X ) + (L X , X ) + (L X , X ) = |
|||||
= (D X , X ) + ( D X , |
X ) |
+ |
(L X , X ) + |
(X , E/X) |
= |
|
|
|
= |
(£>X, X ) |
+ (A X , X ). |
Таким образом , д л я доказательства неравенства (6.27) достаточно
убедиться в полож ительной определенности м атрицы D , но она сразу вы текает из того, что у полож ительно определенной и сим метричной
м атрицы А все элементы , леж ащ ие на главной диагонали, являю тся полож ительны м и п ) . Сходимость м етода Зей деля доказана.
5. М е т о д в е р х н е й р е л а к с а ц и и . Э тот метод получается из об
щ его неявного м етода простой итерации в том частном случае, когда
г = CJ, В |
= |
D + UJL , а п арам етр UJ вы бран так, чтобы являлось наи |
|
меньш им |
наибольш ее по модулю собственное значение м атрицы |
Е — |
|
u ( D + u L ) ~ 1 |
А, осущ ествляю щ ей переход от к -й итерации к (к + |
1)-й. |
|
Д окаж ем , |
что если м ат рица А я в ля е т с я си м м ет ричн ой и |
поло |
ж и т ельн о определенной, то для сходим ост и мет ода верхней р ела к
сации дост ат очно, |
чтобы было вы полнено условие 0 < и < 2 . |
||
В |
силу теорем ы |
6.2 д л я сходимости достаточно |
выполнение усло |
вий и |
> 0 , 2 (D + uoL) > соА . |
|
|
В торое из этих условий д л я лю бого вектора X приводит к неравен |
|||
ству |
|
|
|
|
|
(2 (D + u L ) X , X ) > Д ;А Х , X ). |
(6.28) |
П оследнее неравенство эквивалентно каж дом у из неравенств в следу ющей цепочке:
( 2 D X , X ) + (<x L X , X ) + (UJL X , X ) > (CJA X , X ),
( 2 - CJ)(£>X, X ) + (UJD X , X ) |
+ |
(CJL X , X ) |
+ (X , w [/X ) > (CJA X , X ), |
|
|
|
( 2 - CJ)(£>X, X ) > 0. |
n ) Достаточно заметить, что если у вектора X |
к-я координата равна единице, |
||
а все остальные нулю, то (AX, X ) |
= а |
> 0. |
|
190 |
ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ |
И з последнего неравенства и из полож ительной определенности D за |
|
клю чаем , что |
(6.28) справедливо при 2 — и > 0, т. е. при и < 2 . И так, |
доказано, что |
условия 0 < UJ < 2 обеспечиваю т сходимость метода |
верхней релаксации . |
6 . С лучай н есим м етричной матрицы А . В случае несиммет
ричной м атрицы |
А |
мы |
можем |
ум нож ить м атричное уравнение (6 |
.1 ) |
||||||
слева |
на |
м атрицу |
А 1 и |
зам енить |
уравнение |
(6.1) уравнением А Х |
= |
||||
= F , |
в |
котором |
F |
= |
A 'F , |
А |
= |
А 'А , |
так |
что м атри ц а А является |
|
сим м етричной и |
(как легко |
убедиться) |
полож ительно определенной. |
7. И терационны й м етод П .Л . Ч ебы ш ев а 12) . Всю ду вы ш е при рассм отрении общ его неявного м етода простой итерации мы предпо лагали, что итерационны й п арам етр т приним ает одно и то ж е посто янное значение. Естественно возникает идея рассм отреть более общ ий
случай, когда в указанном методе значения итерационного п арам ет
р а зависят от ном ера к итерации. В таком случае последовательность итераций будет определяться не соотнош ением
BXk+i - хк + Ах^ = |
(бЛЗ) |
Т |
|
аболее общ им соотнош ением
вХ к +1 - хк + Ах^ = р
|
|
Tk + 1 |
|
|
|
П ри этом, как и выш е, |
В — некоторая легко |
обратим ая к вад р атн ая |
|||
м атри ц а порядка п. |
П ри |
таком |
вы боре итерационной последователь |
||
ности д л я погреш ности Zj* = |
Х к |
— X итерационной схемы получится |
|||
соотнош ение |
|
|
|
|
|
p |
Zk + 1 |
- |
Z k |
+ A z ^ = |
(6.15*) |
|
Тк + 1 |
|
|
|
П редполож им , что обе м атрицы Аж В сим м етричны и п олож итель но определенны . Тогда, как уж е отм ечалось выш е, найдутся полож и
тельны е постоянны е 7 1 и 7 2 |
такие, |
что 7 1 I? ^ Л ^ 7 2 В . Будем счи |
|
тать, что эти постоянны е 7 1 |
и 7 2 нам задан ы и еще раз напомним, что |
||
эти постоянны е равны соответственно |
наим еньш ем у и наибольш ему |
||
собственны м значениям задачи А Х |
= |
Х В Х . О ценим энергетическую |
|
норму погреш ности ||Z ^ ||^ . |
|
|
|
Н апомним еще раз, что д л я сим м етричной и полож ительно опреде ленной м атрицы В сущ ествует сим м етричная и полож ительно опреде
12) П афнутий Львович Чебышев (1821-1894)—великий русский м атематик и механик.