книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
..pdf6Ф6.5
А13
УДК 62-50
Матричные и асимптотические методы в теории ли нейных систем. А б г а р я н К. А., Главная ре дакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1973, 432 стр.
Книга посвящена применениям аппарата мат ричного исчисления и идей асимптотического ин тегрирования дифференциальных уравнений в тео рии управляемых и неуправляемых процессов.
Наряду с изложением в матричной форме об щих вопросов теории линейных систем в книге ши роко представлены методы асимптотического рас щепления, канонического преобразования и прибли женного интегрирования различного типа систем уравнений, которые обычно встречаются в линейной механике, технике и различных приложениях. При ведены алгоритмы для построения динамических характеристик линейных нестационарных систем и преобразования уравнений нестационарного объек та управления к виду, удобному для моделирования. Заключительная часть книги посвящена теории устойчивости процессов.
Книга рассчитана на специалистов в области ма тематики, механики и автоматического управления.
Илл. 9. Библ. 84 назв.
( g ) Издательство «Наука», 1973.
д 3314-1798 |
161-73 |
|
042 (02) -73 |
||
|
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
||
Г л а в а |
I. |
Матрицы |
|
|
|
|
|
11 |
||
§ 1. Исходные определения и обозначения.................... |
|
|
11 |
|||||||
§ 2. |
Сложение матриц и умножение матрицы на число |
|
13 |
|||||||
§ 3. |
|
Умножение прямоугольных |
матриц |
|
|
14 |
||||
§ 4. |
Определитель произведения матриц |
|
|
|
18 |
|||||
§ 5. |
Присоединенная |
матрица |
|
|
|
|
19 |
|||
§ 6. |
Обратная м а т р и ц а ................................................................... |
и переход |
|
|
20 |
|||||
§ 7. |
Транспонирование матрицы |
к сопряженной |
||||||||
§ 8. |
|
матрице |
. . . |
|
|
|
. |
2 |
1 |
|
|
Блочные м а т р и ц ы ................................ |
матрицы |
|
|
22 |
|||||
§ 9. Линейные |
преобразования и |
|
|
27 |
||||||
Г л а в а |
II. Векторы, векторные пространства, |
линейные |
опера- |
|||||||
торы и матрицы |
|
|
|
|
|
30 |
||||
§ 1. Векторы н векторное пространство |
|
|
|
30 |
||||||
§ 2. Линейная зависимость векторов........................ |
|
|
|
32 |
||||||
§ 3. |
Размерность и базис векторного пространства |
|
34 |
|||||||
§ 4. |
Изоморфизм л-мериых пространств . . |
|
37 |
|||||||
§ 5. |
Подпространства |
векторного |
пространства . . |
|
38 |
|||||
§ 6. |
Линейные |
операторы в векторных |
пространствах . . . |
39 |
||||||
§ 7. |
Матрица как линейный оператор в численных простран |
|||||||||
§ 8. |
ствах |
|
.................... |
|
|
|
|
|
41 |
|
Неравенства С и л ьвестр а ................................................ |
|
|
|
|
45 |
|||||
§ 9. |
Разложение матрицы на прямоугольные множители |
48 |
||||||||
Г л а в а |
|
III. |
Линейные |
операторы |
в rt-мерном |
векторном про |
||||
странстве |
|
|
|
|
|
|
|
50 |
||
§ 1. Кольцо линейных операторов............................ |
|
|
|
50 |
||||||
§ 2. |
Матрицы линейного оператора в разных базисах |
|
51 |
|||||||
§ 3. |
Обратный |
оператор ............................................................... |
|
|
|
|
52 |
|||
§ 4. |
Собственные векторы н собственные значения линейного |
|||||||||
§ 5. |
оператора и квадратной матрицы |
. |
|
|
53 |
|||||
Линейные операторы н матрицы простой структуры |
56 |
|||||||||
§ 6. |
Расщепление n-мерного пространства |
. . . |
|
58 |
||||||
§ 7. Проекционные операторы и матрицы |
|
|
59 |
Г л а в а |
IV. Расщепление пространства на инвариантные подпро |
67 |
|||||
странства. Нормальные формы матрицы |
|
|
|||||
§ 1. |
Минимальные многочлены |
вектора, векторного простран |
67 |
||||
§ 2. |
ства, м а т р и ц ы .................... |
|
|
векторного |
пространства |
||
Инвариантные подпространства |
71 |
||||||
§ 3. |
Расщепление |
векторного |
пространства на |
инвариантные |
|
||
|
подпространства с взаимно простыми минимальными мно |
74 |
|||||
§ 4. |
гочленами .................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
Сравнения. Пространство классов сравнимых векторов |
77 |
||||||
§ 5. |
Циклические |
подпространства |
векторного |
пространства |
82 |
||
§ 6. |
Нормальные |
формы |
м атрицы |
|
.... |
87 |
|
§ 7. |
Инвариантные многочлены. Единственность нормальных |
92 |
|||||
|
форм линейного оператора |
|
|
||||
Г л а в а |
V. Преобразование матрицы к кваэидиагональному виду |
97 |
|||||
и разложение ее на составляющие |
|
|
|||||
§ U Дефект матричного многочлена |
|
|
97 |
||||
§ 2 . Теорема Гамильтона — К э л и |
квадратную матри |
99 |
|||||
§ 3. Построение матрицы, преобразующей |
100 |
||||||
§ 4. |
цу к кваэидиагональному |
в и д у ................................................. |
преобразованной |
||||
Собственные |
значения |
субматрицы |
103 |
||||
§ 5. |
квазидиагоналыюй |
матрицы |
|
|
|||
Общий вид |
преобразующей матрицы . |
|
104 |
||||
§ 6. |
Построение жордановой формы матрицы |
|
107 |
||||
§ 7. |
Случай матрицы простой структуры ................... |
|
|
I ll |
|||
§ 8. |
Разложение квадратной матрицы на составляющие |
115 |
|||||
§ 9. Матрицы ортогонального проектирования ......................... |
|
122 |
|||||
§ 10. |
О приведении к кваэидиагональному |
виду и разложении |
127 |
||||
|
на составляющие одной матрицы специального вида |
Г л а в а VI. Матрицы и линейные дифференциальные уравнения. |
131 |
Общие ‘свойства уравнений |
|
§ 1/ Производная и интеграл м а т р и ц ы ........................... |
131 |
§2. Векторно-матричная запись линейных дифференциаль
§ |
ных |
уравнений |
|
|
|
|
132 |
|||
3. |
Норма матрицы |
|
|
|
|
140 |
||||
§ |
4. Матричные |
ряды ................................... |
|
|
|
|
141 |
|||
§ |
5. |
Теорема существования и единственности |
|
|
141 |
|||||
§ |
6. |
Фундаментальная матрица системы |
|
|
|
146 |
||||
§ |
7. |
Матрицант |
|
. . . |
|
|
|
|
149 |
|
§ |
8. |
Сопряженное |
уравнение |
|
|
|
|
151 |
||
§ |
9. |
Неоднородное |
уравнение |
................... |
|
|
|
152 |
||
§ |
10. |
Решение одного матричного уравнения |
|
|
|
154 |
||||
Г л а в а |
VII. Системы линейных дифференциальных уравнений |
156 |
||||||||
первого порядка с постоянными коэффициентами |
|
|
||||||||
§ 1. |
Экспоненциал |
матрицы |
. |
. . . |
экспонен |
156 |
||||
§ 2. Решение дифференциальной |
системы в |
форме |
158 |
|||||||
§ 3. |
циала . . . . |
|
. . . . |
|
. . |
. |
. 1 |
|||
Метод |
Эйлера |
|
|
5 8 |
||||||
§ 4. |
Преобразование |
Л апласа......................................................... |
|
|
. . . . . |
160 |
||||
| 5. |
Интегрирование |
путем замены переменных . |
164 |
§ 6. |
Расщепление системы на |
независимые |
подсистемы мень |
||||
§ 7. |
шего порядка . . . |
|
|
. |
|
167 |
|
Теория |
возмущений |
|
|
|
|
172 |
|
Г л а в а |
VIII. |
Асимптотическое |
расщепление |
нестационарной |
|||
системы уравнений |
|
. |
|
|
180 |
||
§ 1. Дифференцируемость |
матрицы, |
преобразующей |
квадрат |
||||
§ 2. |
ную матрицу к квазидиагональномув и д у .............................. |
|
181 |
||||
Построение формального процесса для |
расщепления |
си |
|||||
|
стемы дифференциальных уравнений на независимые под |
||||||
|
системы |
меньшего порядка |
. |
|
|
185 |
|
§ 3. |
Общий |
вид матриц |
|
Инвариантность |
матриц |
||
Q!*1 |
|
|
|
|
|
195 |
|
§ 4. |
Рекуррентные соотношения вчастныхслучаях . . . . |
201 |
|||||
§ 5. |
Условие сохранения нормы решений уравнений |
при |
за |
||||
мене п е р ем е н н ы х |
|
|
|
|
202 |
||
§ 6. |
Случай полного расщепления си стем ы |
.................... |
|
206 |
|||
§ 7. Система уравнений с постоянными коэффициентами |
206 |
||||||
§ 8. |
Расщепление сопряженной системы |
|
|
208 |
|||
§ 9. Приближенное решение системы |
|
|
220 |
||||
Г л а в а |
IX. Асимптотическое расщепление нестационарной |
си |
|||||
стемы уравнений (второй метод) |
|
|
|
223 |
|||
§ 1. |
Две леммы ................................................................................... |
|
|
|
|
223 |
§2. Преобразование однородной линейной дифференциальной системы с постоянными коэффициентами к системе не
§ 3 |
зависимых дифференциальных |
у р ав н ен и й ............................ |
системы |
226 |
|||||
Преобразование |
однородной |
нестационарной |
232 |
||||||
§ 4. |
дифференциальных уравнений к расщепленной системе |
||||||||
Расщепление |
неоднородной |
системы |
|
|
245 |
||||
§ 5. Приближенное решение системы |
|
|
253 |
||||||
Г л а в а |
X. Динамические характеристики линейных систем |
255 |
|||||||
§ |
1. |
Единичная ступенчатая функция и дельта-функция . . |
255 |
||||||
§ |
2. |
Реакция системы на входной сигнал в виде дельта-функ |
258 |
||||||
§ |
3. |
ции. Импульсная |
переходная |
ф у н к ц и я ............................ |
посред |
||||
Связь между входными и выходными |
сигналами |
261 |
|||||||
§ |
|
ством импульсной переходной ф у н к ц и и ................................ |
|
||||||
4: Реакции системы |
на входной сигнал |
в виде производной |
263 |
||||||
§ |
5. |
и интеграла |
от дельта-функции............................................ |
|
|
||||
Преобразование начальных условий на выходе системы |
265 |
||||||||
§ |
6. |
в эквивалентный входной с и г н а л ............................................ |
|
|
|||||
Определение дифференциального уравнения по импульс |
266 |
||||||||
§ |
7; |
ной переходной функции |
................................ |
|
функции |
. . . |
|||
Построение |
импульсной переходной |
268 |
|||||||
§ |
8; |
Реакция системы на показательное возмущение. Пере |
282 |
||||||
§ |
9. |
даточная функция .................................................................... |
|
|
|
|
|||
Связь между входными и выходными сигналами системы |
-284 |
||||||||
i |
|
посредством |
передаточной |
функции |
. .- . » . . .. |
||||
10: Построение |
передаточной |
функции |
285 |
Г л а в а |
XI. Приближенное интегрирование уравнений управляе |
290 |
|
мого |
процесса |
. |
|
§ 1. Интегро-днфференцнальная система уравнений |
управляе |
|
|
|
мого п р о ц е с с а ............................................................................ |
290 |
§2. Приведение уравнений управляемого процесса к расщеп ленной дифференциальной системе (метод последователь
ных |
приближений) |
. |
. |
. |
............................ 294 |
|
§ 3. Приближенное интегрирование уравнений управляемого |
||||||
процесса при |
малом |
|
воздействии |
регулятора на про |
||
цесс |
(случай А |
) ............................................................................. |
|
|
|
298 |
§ 4. |
Приближенное интегрирование уравнений управляемо- |
303 |
||||||||||
|
мого процесса (случай Б) |
|
|
|
|
|
|
|||||
Г л а в а |
XII. Некоторые канонические формы |
уравнений |
линей |
308 |
||||||||
ных процессов |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
§ 1. Преобразование системы уравнений с постоянными коэф |
309 |
|||||||||||
§ 2. |
фициентами к расщепленному |
в и д у ............................ |
|
|
|
|||||||
Формальные преобразования нестационарной системы . . |
312 |
|||||||||||
§ 3. |
Уравнения управляемого |
процесса в канонической форме |
320 |
|||||||||
Г л а в а |
X III. |
Квадратичные и эрмитовы формы |
|
|
323 |
|||||||
§ 1. |
Метризация векторного п ростран ства.................................... |
евклидовом |
323 |
|||||||||
§ 2. |
Ортонормированные базисы в унитарном и |
327 |
||||||||||
§ 3. |
пространствах |
. . |
|
. . . |
|
. . . |
|
|
||||
Линейные операторы в унитарномпространстве |
|
329 |
||||||||||
§ 4. |
Линейные операторы в евклидовом |
пространстве |
338 |
|||||||||
§ 5. |
Квадратичные формы |
|
|
|
|
|
|
|
343 |
|||
§ 6. |
Эрмитовы формы |
|
|
|
|
|
|
|
350 |
|||
Г л а в а |
XIV. |
Постановка |
задачи об устойчивости процессов |
353 |
||||||||
на заданном промежутке времени |
|
|
|
|
|
|||||||
§ 1. |
Предварительные |
замечания |
|
об........................................ |
устойчивости дви |
353 |
||||||
§ 2. |
О |
некоторых постановках |
задачи |
354 |
||||||||
§ 3. |
жения |
................................ |
|
|
|
|
............................................ |
|||||
Понятие устойчивости процесса на заданном |
промежут |
364 |
||||||||||
§ 4. |
ке |
времени ................................................ |
|
понятия |
|
|
.................... |
|||||
Геометрический смысл |
устойчивости на |
задан |
365 |
|||||||||
§ 5. |
ном промежутке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Функция |
Ляпунова |
|
|
|
|
|
|
|
367 |
|||
Г л а в а |
XV. Некоторые условия устойчивости процессов на задан |
|
||||||||||
ном промежутке времени |
|
|
|
|
|
|
|
370 |
||||
§ I. Оценка нормы решения линейной системы |
|
|
370 |
|||||||||
§ 2. |
О диагонализации линейной системы |
|
|
|
376 |
|||||||
§ 3. |
Пучок решений |
линейной |
системы . . . . |
|
|
378 |
||||||
§ 4. |
Теоремы об устойчивости линейной системы |
|
|
380 |
||||||||
§ 5. |
Случай стационарной |
с и с т е м ы ............................................ |
|
|
|
382 |
||||||
§ 6. |
Об устойчивости |
на конечном |
промежутке нелинейного |
|
||||||||
|
процесса |
по линейному приближению |
„ |
, |
.• .• . • |
384 |
Г л а в а |
XVI. Устойчивость |
процессов относительно заданной |
396 |
|||
области |
предельных отклонений |
. |
||||
§ 1. |
Понятие устойчивости |
относительно заданнойобласти |
396 |
|||
§ 2. |
Устойчивость процесса относительно области, определяе |
398 |
||||
§ 3. |
мой |
каноническим преобразованием уравнений |
||||
Критерии |
устойчивости |
|
407 |
|||
П р и л о ж е н и е . |
Асимптотический характер |
приближенных |
412 |
|||
решений |
|
|
|
|
||
Литература |
|
|
|
|
423 |
|
Предметный |
указатель |
|
|
428 |
ПРЕДИСЛОВИЕ
Многие прикладные задачи, с которыми приходится иметь Дело на практике; связаны с ’рассмотрением систем дифференциальных или интегро-дифференциальных урав нений, обычно нестационарных и имеющих нередко высокий порядок. Точное решение таких систем, даже линейных, удается получить лишь в исключительных случаях, по этому приходится прибегать к приближенным методам ин тегрирования. Развитие теории в этой части идет по различ ным направлениям. Для линейных нестационарных систем очень многообещающим и плодотворным представляется применение методов асимптотического интегрирования и преобразования уравнений в сочетании с методом матрич ной алгебры.
В последние годы методы матричной алгебры, вслед за методами операционного исчисления, все в большей и большей мере внедряются в прикладные науки. Это объяс няется, во-первых, тем, что в матричной записи громоздкие выражения и сложные преобразования принимают компакт ный и ясный вид, что способствует экономному и наглядному изложению; во-вторых, аппарат матричной алгебры хоро шо приспособлен для расчетов на ЭВМ. Эти преимущества особенно заметны в случае линейных систем уравнений высокого порядка. В принципе все те задачи, которые ре шаются методами матричной алгебры, могут быть решены
и |
без использования аппарата матричного исчисления, но |
во |
втором случае более вероятна такая ситуация, когда |
из-за громоздкости и сложности получающихся выражений, необходимости проведения утомительных вычислений труд ности решения задачи становятся непреодолимыми.
Сейчас имеется немало монографий по теории матриц, и все же потребность в таких книгах, где методы матричной алгебры были бы представлены в действии, в приложениях, все еще велика.
Предлагаемая книга посвящена описанию основанных на идеях асимптотического интегрирования уравнений матричных методов изучения систем, в основном линейных. Объектом внимания являются те типы уравнений, которые обычно встречаются в механике, теории управления и в других прикладных науках. Затрагиваются далеко не все разделы теории линейных систем (выбор материала в зна чительной мере определен научными интересами автора), тем не менее охватывается довольно широкий круг вопросов теории, в котором применение матричных и асимптотиче ских методов целесообразно и эффективно и с которым свя заны другие, более частные вопросы.
Книга состоит из шестнадцати глав и Приложения, ко торые можно было бы разбить на три части.
Первая часть (главы I—V) посвящена основам матрич ной алгебры. Здесь представлены те разделы матричного исчисления, которые в рассматриваемых областях теории линейных систем скорее всего могут быть использованы. Некоторые дополнительные сведения специального харак тера по мере надобности приводятся и в последующих гла вах. Изложение построено так, что от читателя не требу ется первоначального знакомства в какой бы то ни было мере с теорией матриц.
Вторая часть (главы VI—XII и Приложение) посвящена применениям асимптотических методов и методов матрич ной алгебры в теории линейных систем. Наряду с общей теорией, применительно к различным образом представлен ным уравнениям рассмотрены разные преобразования, при водящие к упрощению исходной системы уравнений путем расщепления ее на независимые подсистемы, а также рас четные схемы построения приближенных решений уравне ний. Главное внимание уделяется нестационарным системам. Построение алгоритмов, как правило, проводится по сле дующей схеме. Вместо исходной системы дифференциаль ных или интегро-дифференциальных уравнений с пере менными коэффициентами вводится система, которая полу чается из данной путем замены аргумента коэффициентов — времени / так называемым медленным временем т = stt где е — параметр. Затем проводится формальное разложе ние решения второй системы в ряд по степеням параметра е. Поскольку при е = 1 эти две системы совпадают, то по строенный формальный ряд при е = 1 представляет собой
формальное решение исходной системы, сумма же конечного числа первых членов ряда может рассматриваться как приближенное решение системы. Таким образом, в этой час ти нашли свое отражение идеи Н. М. Крылова и Н. Н. Бо голюбова по асимптотическому интегрированию дифферен циальных уравнений с введением медленного времени.
Третья часть книги посвящена теории устойчивости про цессов. Предлагается одна постановка задачи об устойчи вости процессов на заданном промежутке времени и ука зываются пути построения критериев устойчивости реше ния линейной системы и, допуская некоторое отклонение от темы, решения нелинейной дифференциальной системы по линейному приближению.
В конце книги представлена весьма краткая библиогра фия. Пришлось отказаться от мысли приведения скольконибудь полного перечня работ, посвященного тем довольно разнообразным по характеру вопросам, которые затронуты в книге, и ограничиться перечислением некоторых моногра фий, а также небольшого числа журнальных статей, имею щих непосредственное отношение к излагаемому материалу.
Автор