Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

..pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
19.11.2023
Размер:
26.59 Mб
Скачать

6Ф6.5

А13

УДК 62-50

Матричные и асимптотические методы в теории ли­ нейных систем. А б г а р я н К. А., Главная ре­ дакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1973, 432 стр.

Книга посвящена применениям аппарата мат­ ричного исчисления и идей асимптотического ин­ тегрирования дифференциальных уравнений в тео­ рии управляемых и неуправляемых процессов.

Наряду с изложением в матричной форме об­ щих вопросов теории линейных систем в книге ши­ роко представлены методы асимптотического рас­ щепления, канонического преобразования и прибли­ женного интегрирования различного типа систем уравнений, которые обычно встречаются в линейной механике, технике и различных приложениях. При­ ведены алгоритмы для построения динамических характеристик линейных нестационарных систем и преобразования уравнений нестационарного объек­ та управления к виду, удобному для моделирования. Заключительная часть книги посвящена теории устойчивости процессов.

Книга рассчитана на специалистов в области ма­ тематики, механики и автоматического управления.

Илл. 9. Библ. 84 назв.

( g ) Издательство «Наука», 1973.

д 3314-1798

161-73

042 (02) -73

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

 

 

 

 

 

 

 

8

Г л а в а

I.

Матрицы

 

 

 

 

 

11

§ 1. Исходные определения и обозначения....................

 

 

11

§ 2.

Сложение матриц и умножение матрицы на число

 

13

§ 3.

 

Умножение прямоугольных

матриц

 

 

14

§ 4.

Определитель произведения матриц

 

 

 

18

§ 5.

Присоединенная

матрица

 

 

 

 

19

§ 6.

Обратная м а т р и ц а ...................................................................

и переход

 

 

20

§ 7.

Транспонирование матрицы

к сопряженной

§ 8.

 

матрице

. . .

 

 

 

.

2

1

 

Блочные м а т р и ц ы ................................

матрицы

 

 

22

§ 9. Линейные

преобразования и

 

 

27

Г л а в а

II. Векторы, векторные пространства,

линейные

опера-

торы и матрицы

 

 

 

 

 

30

§ 1. Векторы н векторное пространство

 

 

 

30

§ 2. Линейная зависимость векторов........................

 

 

 

32

§ 3.

Размерность и базис векторного пространства

 

34

§ 4.

Изоморфизм л-мериых пространств . .

 

37

§ 5.

Подпространства

векторного

пространства . .

 

38

§ 6.

Линейные

операторы в векторных

пространствах . . .

39

§ 7.

Матрица как линейный оператор в численных простран­

§ 8.

ствах

 

....................

 

 

 

 

 

41

Неравенства С и л ьвестр а ................................................

 

 

 

 

45

§ 9.

Разложение матрицы на прямоугольные множители

48

Г л а в а

 

III.

Линейные

операторы

в rt-мерном

векторном про­

странстве

 

 

 

 

 

 

 

50

§ 1. Кольцо линейных операторов............................

 

 

 

50

§ 2.

Матрицы линейного оператора в разных базисах

 

51

§ 3.

Обратный

оператор ...............................................................

 

 

 

 

52

§ 4.

Собственные векторы н собственные значения линейного

§ 5.

оператора и квадратной матрицы

.

 

 

53

Линейные операторы н матрицы простой структуры

56

§ 6.

Расщепление n-мерного пространства

. . .

 

58

§ 7. Проекционные операторы и матрицы

 

 

59

Г л а в а

IV. Расщепление пространства на инвариантные подпро­

67

странства. Нормальные формы матрицы

 

 

§ 1.

Минимальные многочлены

вектора, векторного простран­

67

§ 2.

ства, м а т р и ц ы ....................

 

 

векторного

пространства

Инвариантные подпространства

71

§ 3.

Расщепление

векторного

пространства на

инвариантные

 

 

подпространства с взаимно простыми минимальными мно­

74

§ 4.

гочленами ....................................................................................

 

 

 

 

 

Сравнения. Пространство классов сравнимых векторов

77

§ 5.

Циклические

подпространства

векторного

пространства

82

§ 6.

Нормальные

формы

м атрицы

 

....

87

§ 7.

Инвариантные многочлены. Единственность нормальных

92

 

форм линейного оператора

 

 

Г л а в а

V. Преобразование матрицы к кваэидиагональному виду

97

и разложение ее на составляющие

 

 

§ U Дефект матричного многочлена

 

 

97

§ 2 . Теорема Гамильтона — К э л и

квадратную матри­

99

§ 3. Построение матрицы, преобразующей

100

§ 4.

цу к кваэидиагональному

в и д у .................................................

преобразованной

Собственные

значения

субматрицы

103

§ 5.

квазидиагоналыюй

матрицы

 

 

Общий вид

преобразующей матрицы .

 

104

§ 6.

Построение жордановой формы матрицы

 

107

§ 7.

Случай матрицы простой структуры ...................

 

 

I ll

§ 8.

Разложение квадратной матрицы на составляющие

115

§ 9. Матрицы ортогонального проектирования .........................

 

122

§ 10.

О приведении к кваэидиагональному

виду и разложении

127

 

на составляющие одной матрицы специального вида

Г л а в а VI. Матрицы и линейные дифференциальные уравнения.

131

Общие ‘свойства уравнений

§ 1/ Производная и интеграл м а т р и ц ы ...........................

131

§2. Векторно-матричная запись линейных дифференциаль­

§

ных

уравнений

 

 

 

 

132

3.

Норма матрицы

 

 

 

 

140

§

4. Матричные

ряды ...................................

 

 

 

 

141

§

5.

Теорема существования и единственности

 

 

141

§

6.

Фундаментальная матрица системы

 

 

 

146

§

7.

Матрицант

 

. . .

 

 

 

 

149

§

8.

Сопряженное

уравнение

 

 

 

 

151

§

9.

Неоднородное

уравнение

...................

 

 

 

152

§

10.

Решение одного матричного уравнения

 

 

 

154

Г л а в а

VII. Системы линейных дифференциальных уравнений

156

первого порядка с постоянными коэффициентами

 

 

§ 1.

Экспоненциал

матрицы

.

. . .

экспонен­

156

§ 2. Решение дифференциальной

системы в

форме

158

§ 3.

циала . . . .

 

. . . .

 

. .

.

. 1

Метод

Эйлера

 

 

5 8

§ 4.

Преобразование

Л апласа.........................................................

 

 

. . . . .

160

| 5.

Интегрирование

путем замены переменных .

164

§ 6.

Расщепление системы на

независимые

подсистемы мень­

§ 7.

шего порядка . . .

 

 

.

 

167

Теория

возмущений

 

 

 

 

172

Г л а в а

VIII.

Асимптотическое

расщепление

нестационарной

системы уравнений

 

.

 

 

180

§ 1. Дифференцируемость

матрицы,

преобразующей

квадрат­

§ 2.

ную матрицу к квазидиагональномув и д у ..............................

 

181

Построение формального процесса для

расщепления

си­

 

стемы дифференциальных уравнений на независимые под­

 

системы

меньшего порядка

.

 

 

185

§ 3.

Общий

вид матриц

 

Инвариантность

матриц

Q!*1

 

 

 

 

 

195

§ 4.

Рекуррентные соотношения вчастныхслучаях . . . .

201

§ 5.

Условие сохранения нормы решений уравнений

при

за­

мене п е р ем е н н ы х

 

 

 

 

202

§ 6.

Случай полного расщепления си стем ы

....................

 

206

§ 7. Система уравнений с постоянными коэффициентами

206

§ 8.

Расщепление сопряженной системы

 

 

208

§ 9. Приближенное решение системы

 

 

220

Г л а в а

IX. Асимптотическое расщепление нестационарной

си­

стемы уравнений (второй метод)

 

 

 

223

§ 1.

Две леммы ...................................................................................

 

 

 

 

223

§2. Преобразование однородной линейной дифференциальной системы с постоянными коэффициентами к системе не­

§ 3

зависимых дифференциальных

у р ав н ен и й ............................

системы

226

Преобразование

однородной

нестационарной

232

§ 4.

дифференциальных уравнений к расщепленной системе

Расщепление

неоднородной

системы

 

 

245

§ 5. Приближенное решение системы

 

 

253

Г л а в а

X. Динамические характеристики линейных систем

255

§

1.

Единичная ступенчатая функция и дельта-функция . .

255

§

2.

Реакция системы на входной сигнал в виде дельта-функ­

258

§

3.

ции. Импульсная

переходная

ф у н к ц и я ............................

посред­

Связь между входными и выходными

сигналами

261

§

 

ством импульсной переходной ф у н к ц и и ................................

 

4: Реакции системы

на входной сигнал

в виде производной

263

§

5.

и интеграла

от дельта-функции............................................

 

 

Преобразование начальных условий на выходе системы

265

§

6.

в эквивалентный входной с и г н а л ............................................

 

 

Определение дифференциального уравнения по импульс­

266

§

7;

ной переходной функции

................................

 

функции

. . .

Построение

импульсной переходной

268

§

8;

Реакция системы на показательное возмущение. Пере­

282

§

9.

даточная функция ....................................................................

 

 

 

 

Связь между входными и выходными сигналами системы

-284

i

 

посредством

передаточной

функции

. .- . » . . ..

10: Построение

передаточной

функции

285

Г л а в а

XI. Приближенное интегрирование уравнений управляе­

290

мого

процесса

.

§ 1. Интегро-днфференцнальная система уравнений

управляе­

 

 

мого п р о ц е с с а ............................................................................

290

§2. Приведение уравнений управляемого процесса к расщеп­ ленной дифференциальной системе (метод последователь­

ных

приближений)

.

.

.

............................ 294

§ 3. Приближенное интегрирование уравнений управляемого

процесса при

малом

 

воздействии

регулятора на про­

цесс

(случай А

) .............................................................................

 

 

 

298

§ 4.

Приближенное интегрирование уравнений управляемо-

303

 

мого процесса (случай Б)

 

 

 

 

 

 

Г л а в а

XII. Некоторые канонические формы

уравнений

линей­

308

ных процессов

 

 

 

 

 

.

 

 

§ 1. Преобразование системы уравнений с постоянными коэф­

309

§ 2.

фициентами к расщепленному

в и д у ............................

 

 

 

Формальные преобразования нестационарной системы . .

312

§ 3.

Уравнения управляемого

процесса в канонической форме

320

Г л а в а

X III.

Квадратичные и эрмитовы формы

 

 

323

§ 1.

Метризация векторного п ростран ства....................................

евклидовом

323

§ 2.

Ортонормированные базисы в унитарном и

327

§ 3.

пространствах

. .

 

. . .

 

. . .

 

 

Линейные операторы в унитарномпространстве

 

329

§ 4.

Линейные операторы в евклидовом

пространстве

338

§ 5.

Квадратичные формы

 

 

 

 

 

 

 

343

§ 6.

Эрмитовы формы

 

 

 

 

 

 

 

350

Г л а в а

XIV.

Постановка

задачи об устойчивости процессов

353

на заданном промежутке времени

 

 

 

 

 

§ 1.

Предварительные

замечания

 

об........................................

устойчивости дви­

353

§ 2.

О

некоторых постановках

задачи

354

§ 3.

жения

................................

 

 

 

 

............................................

Понятие устойчивости процесса на заданном

промежут­

364

§ 4.

ке

времени ................................................

 

понятия

 

 

....................

Геометрический смысл

устойчивости на

задан­

365

§ 5.

ном промежутке

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция

Ляпунова

 

 

 

 

 

 

 

367

Г л а в а

XV. Некоторые условия устойчивости процессов на задан­

 

ном промежутке времени

 

 

 

 

 

 

 

370

§ I. Оценка нормы решения линейной системы

 

 

370

§ 2.

О диагонализации линейной системы

 

 

 

376

§ 3.

Пучок решений

линейной

системы . . . .

 

 

378

§ 4.

Теоремы об устойчивости линейной системы

 

 

380

§ 5.

Случай стационарной

с и с т е м ы ............................................

 

 

 

382

§ 6.

Об устойчивости

на конечном

промежутке нелинейного

 

 

процесса

по линейному приближению

,

.• .• . •

384

Г л а в а

XVI. Устойчивость

процессов относительно заданной

396

области

предельных отклонений

.

§ 1.

Понятие устойчивости

относительно заданнойобласти

396

§ 2.

Устойчивость процесса относительно области, определяе­

398

§ 3.

мой

каноническим преобразованием уравнений

Критерии

устойчивости

 

407

П р и л о ж е н и е .

Асимптотический характер

приближенных

412

решений

 

 

 

 

Литература

 

 

 

 

423

Предметный

указатель

 

 

428

ПРЕДИСЛОВИЕ

Многие прикладные задачи, с которыми приходится иметь Дело на практике; связаны с ’рассмотрением систем дифференциальных или интегро-дифференциальных урав­ нений, обычно нестационарных и имеющих нередко высокий порядок. Точное решение таких систем, даже линейных, удается получить лишь в исключительных случаях, по­ этому приходится прибегать к приближенным методам ин­ тегрирования. Развитие теории в этой части идет по различ­ ным направлениям. Для линейных нестационарных систем очень многообещающим и плодотворным представляется применение методов асимптотического интегрирования и преобразования уравнений в сочетании с методом матрич­ ной алгебры.

В последние годы методы матричной алгебры, вслед за методами операционного исчисления, все в большей и большей мере внедряются в прикладные науки. Это объяс­ няется, во-первых, тем, что в матричной записи громоздкие выражения и сложные преобразования принимают компакт­ ный и ясный вид, что способствует экономному и наглядному изложению; во-вторых, аппарат матричной алгебры хоро­ шо приспособлен для расчетов на ЭВМ. Эти преимущества особенно заметны в случае линейных систем уравнений высокого порядка. В принципе все те задачи, которые ре­ шаются методами матричной алгебры, могут быть решены

и

без использования аппарата матричного исчисления, но

во

втором случае более вероятна такая ситуация, когда

из-за громоздкости и сложности получающихся выражений, необходимости проведения утомительных вычислений труд­ ности решения задачи становятся непреодолимыми.

Сейчас имеется немало монографий по теории матриц, и все же потребность в таких книгах, где методы матричной алгебры были бы представлены в действии, в приложениях, все еще велика.

Предлагаемая книга посвящена описанию основанных на идеях асимптотического интегрирования уравнений матричных методов изучения систем, в основном линейных. Объектом внимания являются те типы уравнений, которые обычно встречаются в механике, теории управления и в других прикладных науках. Затрагиваются далеко не все разделы теории линейных систем (выбор материала в зна­ чительной мере определен научными интересами автора), тем не менее охватывается довольно широкий круг вопросов теории, в котором применение матричных и асимптотиче­ ских методов целесообразно и эффективно и с которым свя­ заны другие, более частные вопросы.

Книга состоит из шестнадцати глав и Приложения, ко­ торые можно было бы разбить на три части.

Первая часть (главы I—V) посвящена основам матрич­ ной алгебры. Здесь представлены те разделы матричного исчисления, которые в рассматриваемых областях теории линейных систем скорее всего могут быть использованы. Некоторые дополнительные сведения специального харак­ тера по мере надобности приводятся и в последующих гла­ вах. Изложение построено так, что от читателя не требу­ ется первоначального знакомства в какой бы то ни было мере с теорией матриц.

Вторая часть (главы VI—XII и Приложение) посвящена применениям асимптотических методов и методов матрич­ ной алгебры в теории линейных систем. Наряду с общей теорией, применительно к различным образом представлен­ ным уравнениям рассмотрены разные преобразования, при­ водящие к упрощению исходной системы уравнений путем расщепления ее на независимые подсистемы, а также рас­ четные схемы построения приближенных решений уравне­ ний. Главное внимание уделяется нестационарным системам. Построение алгоритмов, как правило, проводится по сле­ дующей схеме. Вместо исходной системы дифференциаль­ ных или интегро-дифференциальных уравнений с пере­ менными коэффициентами вводится система, которая полу­ чается из данной путем замены аргумента коэффициентов — времени / так называемым медленным временем т = stt где е — параметр. Затем проводится формальное разложе­ ние решения второй системы в ряд по степеням параметра е. Поскольку при е = 1 эти две системы совпадают, то по­ строенный формальный ряд при е = 1 представляет собой

формальное решение исходной системы, сумма же конечного числа первых членов ряда может рассматриваться как приближенное решение системы. Таким образом, в этой час­ ти нашли свое отражение идеи Н. М. Крылова и Н. Н. Бо­ голюбова по асимптотическому интегрированию дифферен­ циальных уравнений с введением медленного времени.

Третья часть книги посвящена теории устойчивости про­ цессов. Предлагается одна постановка задачи об устойчи­ вости процессов на заданном промежутке времени и ука­ зываются пути построения критериев устойчивости реше­ ния линейной системы и, допуская некоторое отклонение от темы, решения нелинейной дифференциальной системы по линейному приближению.

В конце книги представлена весьма краткая библиогра­ фия. Пришлось отказаться от мысли приведения скольконибудь полного перечня работ, посвященного тем довольно разнообразным по характеру вопросам, которые затронуты в книге, и ограничиться перечислением некоторых моногра­ фий, а также небольшого числа журнальных статей, имею­ щих непосредственное отношение к излагаемому материалу.

Автор

Соседние файлы в папке книги