книги / Синтез транзисторных усилителей и фильтров
..pdfИзложенная методика получения максимально-плоской аппрок симации функции времени задержки является прямой, однако ис пользование ее для передаточных функций высоких порядков за труднительно.
Существует методика косвенного решения проблемы макси мально-плоской аппроксимации функции задержки на основе по
линомов |
Бесселя [5]. Порядок п по |
|
линома |
Бесселя |
выбирается исходя |
из требований, |
обеспечивающих ма |
ксимально-плоскую функцию времени задержки t0 = 1/со0; частоту, до кото рой поддерживается в определенных пределах заданное время задержки (ширина полосы задержки); частоту, до которой поддерживается в опреде ленных пределах' заданное значение модуля (ширина полосы модуля).
На рис. 2-12 и 2-13 даны универ сальные кривые отклонения времени
задержки в процентах и затухания в децибелах в функции норми рованной частоты, где п рассматривается как постоянный пара метр. Коэффициенты и нули полиномов Бесселя сведены в таблицы, представленные в [5, 8 и др. ].
Упомянем о существовании еще двух видов аппроксимаций ли нейно-фазовых характеристик. При расположении полюсов пере даточной функции параллельно оси /со на равных расстояниях друг от друга (рис. 2-14) фазовая характеристика функции будет с из менением частоты колебаться относительно соответствующей ли нейной зависимости [2]. Если число полюсов достаточно велико и расстояния между ними jДсо много больше расстояния а между ними и осью j со, то средний наклон фазовой характеристики почти
3* 51
не зависит от величины а и примерно равен я/Дсо. Таким образом, колебания характеристики могут задаваться выбором о. Увеличе ние значения о приводит к уменьшению колебаний и при конечном числе полюсов п суживает диапазон частот с данным отклонением фазы.
Рассмотрим пример аппроксимации с линейным |
расположением полюсов. |
Пусть п = 3. Примем а = — 1 (то же значение, |
что и при аппроксимации |
по Баттерворту) и рассчитаем положение комплексной пары полюсов из ус
ловия |
затухания амплитудной характеристики, равного 3 |
дб на |
частоте, |
||
( о = 1, |
тогда |
значения |
полюсов будут: рг = — 1; р23 = |
— 1 ± / |
1,239. |
Передаточная |
функция |
с постоянным множителем, определяющим плоское |
|||
затухание, равное 6 дб, |
может быть представлена в виде |
|
|
F(p) = __________U268_________
p3-f3p2 -f- 4,535/7 -}- 2,535'
Рис. 2-14.
Известны полиномы, обеспечивающие равномерно-колебатель ное приближение времени задержки. Коэффициенты полиномов передаточных функций были найдены методом решения нелиней
ных уравнений для |
разных значений колебаний (от 0,1 до 10%) |
и порядков функции |
вплоть до п = 10 [11 ]. |
К недостаткам перечисленных линейно-фазовых аппроксимаций следует отнести неравномерность амплитудно-частотной характе ристики в пределах линейной части фазовой характеристики (или соответственно плоской части времени задержки). Этот недостаток можно устранить, используя передаточную функцию постоянного
модуля (см. § 1-2) |
|
Fa (р) = Р (~ р) . |
(2-40) |
Р (р) |
|
Чтобы получить линейную зависимость фазовой характеристики, полином Р (р) следует выбрать из числа полиномов, обеспечиваю щих линейность фазы.
Фазовый сдвиг
м = 2? |
(2-41) |
52
и время задержки
Dп. м = 2 0 |
(2-42) |
функций постоянного модуля в два раза превосходят значения фа зового сдвига и времени задержки соответствующих функций, со ставленных только из конечных полюсов. Это можно показать с по мощью уравнений (1-17), (1-18), (2-34) и (2-40).
2-5. Сравнение различных аппроксимаций передаточных функций
Сравним некоторые аппроксимации, которые приводят к пере даточным функциям, не имеющим конечных нулей.
На рис. 2-15 и 2-16 показаны соответственно амплитудные и фа зовые характеристики пяти аппроксимирующих функций третьего
порядка |
(/ — по Бесселю, 2 — линейно-фазовая |
аппроксимация, |
3 — по |
Баттерворту, 4 — по Папулису, 5 — по |
Чебышеву). Рас |
положения полюсов этих функций приведены на рис. 2-17. (X — аппроксимация по Баттерворту, Д — по Чебышеву, О — по Па пулису, □ — по Бесселю, V — линейно-фазовая аппроксимация). Эти рисунки дают возможность судить о влиянии расположения полюсов на характеристики фильтров нижних частот.
53
Сравним сначала амплитудные характеристики. Из рис. 2-15 видно, что увеличение затухания в полосе заграждения много больше для тех функций, которые аппроксимированы по модулю, чем для тех, которые аппроксимированы по аргументу. Это оче видный результат. Затухание в полосе заграждения увеличивается тем сильнее, чем ближе расположены полюсы к оси /ю (рис. 2-17). Это понятно, так как полюсы, близкие к оси /со, сильнее изменяют в зависимости от частоты длину и фазовый угол вектора от полюса до оси /со. Величина, характеризующая относительное положение полюса на плоскости р, называется добротностью Q. Добротность
|
|
|
полюса Q = 2 со/а показывает его вли |
||||||||||
|
|
|
яние на скорость затухания в полосе |
||||||||||
|
|
|
заграждения |
при частотах, близких |
|||||||||
|
|
|
к частоте среза со0. Для больших |
зна |
|||||||||
|
|
|
чений |
частот |
полосы |
заграждения |
|||||||
|
|
|
(а |
со0) |
затухание |
возрастает |
со |
||||||
|
|
|
скоростью 18 дб на октаву, как и |
||||||||||
|
|
|
следовало ожидать от любой функции |
||||||||||
|
|
|
с тремя |
полюсами. |
Напомним, |
что |
|||||||
|
|
|
постоянный |
множитель |
в |
числителе |
|||||||
|
|
|
каждой |
|
из |
передаточных |
функций |
||||||
|
|
|
вносит |
добавочный |
член |
в выраже |
|||||||
|
|
|
ние затухания (см. § 1-4). Различие |
||||||||||
|
|
|
величин постоянных множителей ска |
||||||||||
|
|
|
зывается на расстояниях между кри |
||||||||||
|
|
|
выми при одной частоте. Так, если |
||||||||||
|
|
|
бы постоянные множители |
передаточ |
|||||||||
|
|
|
ных функций Баттерворта и Чебышева |
||||||||||
|
|
|
были |
равны |
1, то расстояние |
между |
|||||||
амплитудными характеристиками для со = |
4 |
составило |
бы |
только |
|||||||||
б дб вместо |
12 дб, |
как |
показано |
на |
рис. |
2-15. |
|
|
|
|
|
||
Очевидно, |
что |
если |
требуется |
амплитудная |
характеристика |
с наибольшим затуханием в полосе заграждения и допускаются колебания в полосе пропускания, то наиболее подходящей яв ляется аппроксимация по Чебышеву. При этом увеличение ампли туды колебаний приводит к возрастанию затухания и наоборот. Заметим, что для функции Чебышева полюсы расположены ближе к оси /со, чем для других функций (рис. 2-17). Небольшие различия между расчетным и действительным расположениями полюсов ока зывают более сильное влияние на характеристики цепи, когда по люс расположен ближе к оси /со (т. е. имеет ббльшую добротность). Следовательно, если важно реализовать требуемые амплитудную и фазовую характеристики возможно точнее, то нужно найти зна чения параметров элементов для фильтра Чебышева гораздо бо лее точно, чем для других.
Из всех известных характеристик, не имеющих колебаний в по лосе пропускания/ наибольшее затухание в полосе заграждения дает аппроксимация по Папулису.
54
В ряде других случаев целесообразно использовать аппрокси мации по аргументу. Так, если передаточную функцию предпола гается реализовать цепью, на которую будут подаваться прямо угольные импульсы, и выходная форма импульса будет контроли роваться, то более важной становится фазовая характеристика. Переходная характеристика цепи с линейной фазой имеет меньший выброс выходного напряжения, чем соответствующие характери-
о) |
6) |
«» с)
] — Л _ |
V |
|
Рис. 2-18. |
стики цепей, реализующих функции, аппроксимированные по мо дулю. Это видно из рассмотрения осциллограмм прохождения прямоугольного импульса через электрические цепи, соответствую щие функциям третьего порядка с различными видами приближе ния. Осциллограммы рис. 2-18 {а — входной сигнал, б — фильтр Ваттерворта, в — фильтр Чебышева, г — фильтр класса L, д — линия задержки Бесселя, е — линия задержки с линейно-фазовой чарактеристикой) заимствованы из работы [12].
Амплитудные характеристики максимально-плоской аппрокси мации времени задержки и функции с .линейным расположением полюсов при /г = 3 настолько совпадают, что их можно рассматри вать вместе. Обе они.изменяются монотонно и в полосе заграждения имеют значительно меньшее затухание, чем кривые, соответствую щие аппроксимациям по модулю. Так, на частоте а) = 4 их зату хание на 20 дб ниже, чем у кривых, аппроксимированных по
65
Чебышеву с неравномерностью Аа — 1 дб. |
Зато, |
как |
следует |
||||
из рис. |
2-16, |
эти две аппроксимации дают лучшие |
фазовые |
||||
характеристики, чем любая из остальных. |
Полюсы |
передаточ |
|||||
ных функций, |
аппроксимированных по аргументу, |
расположены |
|||||
дальше |
от оси |
/со, |
чем полюсы, соответствующие |
аппроксима |
|||
циям по |
модулю. Из |
рис. 2-16 и 2-17 видно, |
что чем |
ближе по |
|||
люсы к оси /со, тем больше отклонение от линейности, |
пока, нако |
нец, у чебышевской характеристики оно не достигает значительной величины в полосе пропускания. При возрастании частоты все
фазовые характеристики стремятся к предельному значению---- — я,
2
или для трехполюсной функции к —270°. Из сказанного видно, что передаточные функции, полученные на основе аппрокси мации по модулю, имеют фазовые харак теристики, значительно отличающиеся от идеальных. Аналогично амплитудно-частот- II ные характеристики передаточных функ ций, аппроксимированных по аргументу, далеки от ступенчатой формы. Наиболее простой способ одновременной аппрокси мации функции по модулю и аргументу состоит в использовании некоторого усред ненного расположения полюсов и нулей, получающегося из аппроксимации функции по модулю и аппроксимации функции по
аргументу. Например, объединить преимущества максимально плоской и линейно-фазовой функций можно, расположив полюсы по окружности с центром в начале координат на равных расстоя ниях по вертикали (а не с равными углами между полюсами). Ди аграмма расположения полюсов для этого случая показана на рис. 2-19.
Для сравнения различных аппроксимаций удобно также ис пользовать импульсные переходные характеристики фильтров [131.
2-6. Преобразование частоты
В предыдущих параграфах данной главы показаны методы решения задач аппроксимации по модулю и аргументу передаточ ной функции в полосе низких частот. При синтезе высокочастотных, полосовых и заградительных фильтров, а также различных усили телей можно использовать т.е же аппроксимирующие функции, применив к ним некоторые преобразования переменной со (или р).
Пусть, например, требуется аппроксимировать амплитудночастотную характеристику высокочастотной функции, которая в нормированном виде представлена на рис. 2-20. Очевидно, такую характеристику можно рассматривать как отображение низкочас-
56
тотнои характеристики на область частот 1 < w < оо. Отображение получается при замене переменной
Ю= |
(2-43) |
в функции F (со), что соответствует частотному |
преобразованию |
р = 1/s в аппроксимирующей функции цепи. Такое преобразование
позволяет найти высокочастотную |
функцию F (s), |
если известна |
|||
низкочастотная функция F (р). |
|
|
|
||
Применим частотное преобразование р — 1/s к простому мно |
|||||
жителю низкочастотной |
функции: |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
_1_ |
9 |
|
Р - Р к |
|
Рк |
S |
|
|
|
Т ~ ' * |
|
|||
|
|
Рк |
|
||
|
|
|
|
|
|
Из этой формулы видно, что при переходе к высокочастотной |
|||||
характеристике каждый |
корень pk |
преобразуется |
в sk = \/pk, а |
||
в числителе появляется множитель—s/pk. |
А |
|
|||
Во всей функции этот |
множитель |
даст |
|
||
/г-кратный нуль в начале координат и |
|
|
|||
постоянный множитель |
в |
знаменателе, |
|
ф |
|
равный произведению всех |
корней зиа- |
|
|||
менателя, т. е. свободному члену а0. |
----------- !---------------- *• |
||||
Таким образом, высокочастотная функ |
|
|
|||
ция выразится через корни и коэффици- |
Рис. 2-20. |
||||
еиты низкочастотной функции: |
|
|
|
f(s ) =
При аппроксимации по Баттерворту корни знаменателя только поменяются местами со своими сопряженными величинами, так как при модуле, равном 1, обратные комплексы равны своим сопряжен ным. Поскольку корни знаменателя находятся в сопряженных па рах (или имеется корень рг = — 1), то полином знаменателя со всем не изменится. Кроме того, в полиномах Баттерворта а0 = 1, поэтому высокочастотная функция Баттерворта отличается от низ кочастотной только числителем, в котором появляется л-кратный нуль. Следует отметить, что при синтезе jRCL-цепей преобразова ние частоты выполняется не на этапе аппроксимации, а после реа лизации низкочастотной функции. Так, если функция модуля за дана на произвольном высокочастотном интервале s, то с помощью преобразования
S = ^ , |
(2-44) |
где р — нормированная низкочастотная переменная, она преобра зуется в нормированную низкочастотную функцию. Задача ре
57
шается в низкочастотном интервале, и полученная функция реали зуется низкочастотной цепью. Искомая цепь получается измене нием элементов низкочастотной цепи таким образом, чтобы сопро тивление каждого элемента (или группы элементов) на какой-то частоте высокочастотного интервала было таким же, как и сопро тивление соответствующего элемента на соответствующей частоте низкочастотного интервала.
Пусть LH и Си обозначают индуктивность и емкость низкоча стотной цепи. При преобразовании р — co0/s требуется, чтобы
LH— |
_1_. |
н S |
с У |
1 СнР СцО)о
где индекс «в» относятся к элементам высокочастотной цепи. Сле довательно,
(2-45)
т. е. если при реализации нормированной низкочастотной функции заменить каждую индуктивность емкостью, а каждую емкость — индуктивностью согласно формулам (2-45) (сопротивления R при этом не изменяются), то получится цепь, реализующая заданную высокочастотную функцию.
Такая методика значительно сокращает вычислительную ра боту, однако она не всегда применима при синтезе активных RC-це пей. В тех случаях, когда такая процедура возможна, емкости заменяются сопротивлениями и наоборот. Формы связи между высо кочастотными и низкочастотными элементами активных цепей бу дут приведены при синтезе соответствующих цепей.
Рассмотрим преобразование низкочастотной характеристики- в полосовую. Для выполнения такого преобразования частотная переменная со низкочастотной функции заменяется новой перемен ной:
Ш= |
/ (О |
(2-46) |
(!)0 -------- |
||
|
и I <»п |
О) |
Тогда точка со = 0 в низкочастотной |
функции соответствует точке |
|
со'=со0 в полосовой; точка |
оо в низкочастотной функции соот |
ветствует двум точкам со'= 0 и со —►оо в полосовой, и, наконец, точ кам со = 1 и со = — 1 соответствует две частоты среза сох и со 2 по лосовой функции (рис. 2-21).
При рассмотрении полосовых функций целесообразно ввести понятие ширины полосы В. Заметим, что для низкочастотной функ ции ширина полосы В совпадает с частотой среза (для высокоча-
58
стотной функции это понятие лишено смысла). Ширина полосы в низкочастотной функции со — ± В соответствует ширине полосы
0) ^а>'4 = + £
в полосовой. Решив это уравнение, найдем
(2-47)
Изложенное становится более ясным после анализа амплитуд ных характеристик, представленных на рис. 2-22, где / — низко частотная характеристика, 2 — полосовая. Для полосовой функции
при положительных частотах имеются две частоты, соответствую щие © = ± В. Эти частоты определяются уравнениями:
Если взять среднегеометрическое этих частот, получим
0)0 = ] / шхш2. |
(2-48) |
Следовательно, полосовая функция имеет геометрическую, а не арифметическую симметрию относительно средней частоты ©0, т- е* половина полосы пропускания, лежащая ниже ©0, более сжата, чем половина, лежащая выше ©0; это значит, что ©0 — ©х < ©2 — ©0. Разность между ©j и ©2 равна ширине полосы пропускания:
а)2 — ©! = В. |
(2-49) |
Заметим, что если преобразование частоты, определяемое со отношением (2-46), применить к линейно-фазовым аппроксимациям, то фазовая характеристика преобразованной функции перестанет быть линейной. Для получения неискаженной фазовой характери стики применяют другие виды преобразований (см., например, [14]). Правда, в этих случаях искажается амплитудная характе ристика.
59
При переходе к функциям комплексной частоты р = /со преоб разование низкочастотной функции в полосовую принимает вид:
S2 - f
(2-50)
Аналогично можно получить преобразование частоты, соответст вующее переходу от низкочастотной функции к заграждающей (рис. 2-23). В этом случае
Р = |
(2-51) |
|
+ шо |
||
|
||
|
а) |
|
|
'Ш |
■W
шг ш0 |
ш |
|
|
1 |
|
Рис. 2-23. |
Рис. 2-24. |
Приведенные преобразования позволяют заменить аппрокси мацию полосовых и заграждающих характеристик низкочастотной аппроксимацией с последующим их применением.
Функции цепи удобнее иметь в виде произведения простых мно жителей, чтобы избавиться от вычисления корней полиномов. Поэтому формулы (2-50) и (2-51) следует применять непосредст венно для отыскания полюсов и нулей нужной функции по извест ным полюсам низкочастотной.
Каждый простой множитель низкочастотной функции преобра зуется согласно формуле (2-50) следующим образом:
1 e 1
р - рк .*+-г
Это выражение можно представить в виде:
1
(2-52)
Р —Рк
Из формулы (2-52) видно, что каждый полюс pk низкочастотной функции преобразуется в два полюса полосовой функции, которые
60