книги / Синтез транзисторных усилителей и фильтров
..pdfностыо ее полюсов и нулей. Однако практически знать величину К необходимо, так как она определяет модуль функции (например, значения входных полных сопротивления и проводимости, коэффи циент усиления и т. п.) на данной частоте.
На рис. 1-1 представлена диаграмма расположения полюсов (крестики) и нулей (кружки) в плоскости р. Следует отметить, что их положение на плоскости р полностью отображает рациональную функцию F (р). Вследствие сопряженной симметрии полюсы и нули функции цепи либо действительны, либо являются сопряжен ными комплексными парами. Если полюс и нуль находятся в од ной точке плоскости /?, то они компенсируются. Когда переменная находится вблизи полюса, модуль функции велик; когда же эта переменная находится вблизи нуля, модуль функции мал. Между полюсами и нулями происходит непрерывное изменение модуля
J 10
|
X |
|
|
о |
:: |
<Т |
|
-----т |
|||
о |
о ■ ч |
||
;с |
|
||
|
|
||
|
х |
|
|
|
Рис. |
1-1. |
функции. Положение полюса рг обозначается рх = аг + /©х и ха рактеризуется двухмерным вектором. Переменная р = а + /© также может быть представлена вектором (рис. 1-2).
Из рассмотрения выражения (1-5) видно, что модуль функции в данной точке равен отношению произведения всех длин векторов, расположенных между всеми нулями и данной точкой, к произве дению всех длин векторов, расположенных между всеми полюсами и данной точкой. Все векторы заканчиваются в точке р, для кото рой вычисляется модуль функции. Аргумент функции определяется суммой углов всех векторов, связанных с нулями, за вычетом суммы углов всех векторов, связанных с полюсами. Обычно расчеты, от носящиеся к функции F (р), производятся не на всей плоскости р, а только вдоль одной из ее осей. При этом полагают р = /ю или р = о. В первом случае получают установившуюся реакцию цепи, во втором — ее переходную характеристику.
Вид переходной характеристики определяет устойчивость цепи.
Поскольку по Лапласу |
|
‘-й |
( 1-6) |
= a- kik |
СP — PqУ
функция устойчивости цепи не может иметь полюсов в правой по луплоскости, а ее полюсы на оси /© должны быть простыми.
11
В противном случае свободная реакция цепи не является ограни ченной и цепь неустойчива. Кроме того, число нулей передаточ ной функции не должно превышать числа полюсов. Это иллюст рируется диаграммами р—z, приведенными на рис. 1-3, где а — допустимое и б — недопустимое расположение р—г устойчивых передаточных функций.
Нули функции являются корнями уравнения, поэтому число ну лей равно степени полинома. Нуль на отрицательной вещественной оси Zi = — б в полиноме, разложенном на сомножители, представля ется множителем р -f б. Пара комплексно-сопряженных нулей в ле вой полуплоскости (z2, 2* = — а + /р) представляется множителем
р2 + 2ар + (а2 + р2) (рис. 1-4). Таким образом, когда все нули полинома лежат в левой полуплоскости, то полином, получающийся
')
б)
*
|
1jiO |
> |
) > |
|
|
|
1> |
|
|
|
|
|
|||
X |
СГ |
X |
|
|
|
|
о |
(Г |
* : |
, |
. |
|
|||
|
|
<7 |
|||||
ж |
|
X |
Ж |
|
X |
О |
|
|
:: |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1ju) |
j w |
1 |
3 |
|
|
> |
|
|
|
|
|
|||
О |
<г |
2© |
|
* |
|
О |
|
(Г |
|
ь |
( X |
<г |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
О |
|
: © |
|
X |
X |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1-3.
после перемножения всех множителей и относящийся к положе нию нулей, должен содержать все степени р, а все коэффициенты должны быть положительны и вещественны. Такой полином на зывается полиномом Гурвица. Примером полинома Гурвица яв ляется полином знаменателя передаточной функции любой устой чивой электрической цепи, активной или пассивной.
Рассмотрим полином, имеющий нули только на оси /со. Каждая пара сопряженных нулей характеризуется множителем (р + /© i) X X (р — /©j) = р2 + со2. Нуль в начале координат характери
зуется множителем (р — 0). Таким образом, полином, имеющий нули только на мнимой оси p-плоскости, будет иметь только чет ные или только нечетные показатели степени р, а все коэффициенты будут положительны. Если сгруппировать четные и нечетные сте пени р некоторого полинома Гурвица, то получатся два полинома:
F (р) = р5+ а,р4+ о3р3+ а2рг + я,р + а0 = Чет. |
Р (р) + |
|
+ Нечет. F (р) = (а4р4+ а2р2 + о„) + |
р (р4 + |
аьр2 + at), |
12
где операторы Чет. и Нечет, означают соответственно суммы чле нов только четных и только нечетных степеней.
Полином, который содержит только четные степени р с поло жительными и отрицательными коэффициентами, обладает квад рантной симметрией. Так, пара комплексно-сопряженных нулей в левой полуплоскости и вещественных нулей на отрицательной вещественной оси будет зеркально отображаться относительно оси /со на правой полуплоскости. Нуль на оси /со имеет зеркальное отображение в той же точке. Все нули расположены на плоскости р симметрично относительно мнимой оси. Пример квадрантной сим метрии показан на рис. 1-5. Из этого рисунка можно заметить, что
функция, обладающая квадрантной симметрией, имеет аргумент, рав ный нулю или 180° вдоль всей оси /со плоскости р.
ju>
Рис. 1-5.
Так как любая пара нулей представляется одним из аналогич ных множителей в выражении функции, то выводы, относящиеся к одной паре нулей, можно будет распространить на любое число нулей. Предположим, что пара нулей существует в левой полу плоскости (zp г\ = — а + /р), тогда множитель, соответствую щий этим нулям, F (р) — р2 -f 2ар -f- (а2+ (З2).
Зеркальное отображение нулей в правой полуплоскости будет в точках z2, г\ = а + /р. Единственное различие в положениях
Zj, z\ и z2, z2 состоит в том, что их вещественные части имеют про тивоположные знаки. Полином, относящийся к нулям z2, z2, имеет
вид: |
|
^ 8ерк (Р) = р2- 2ар + (а2+ Р2) = F ( - р). |
(1-7) |
Если группа нулей определяется функцией F (р), то нули, зер кальные относительно этой группы, будут описываться функцией F (— р). Произведение функций
F (р) F ( - р) = |
(р2 + 2ар + а2 + р2) (р2 - 2ар + а» + р2) « |
|
= р4 + [2 (а* + р2) — 4а2] р2 + (а2 + р2)2 |
имеет только |
четные степени р. |
13
При р = /©, т. е. при изменении функции вдоль мнимой оси плоскости р,
F (/«) = — ш2+ 2а/ш + а2+ р2;
F (— /ш) = — а)2— 2а/ш + а2+ р2.
Так как Е* (/со) = F (— /со), то
[f (Р) F ( -Р )]р. ; ш= f (/о.) F* (/«) = I Р ( « р.
Отсюда можно сделать заключение, что вдоль оси /со квадрат мо дуля функции F (/со) выражается функцией, содержащей р—z функции F (р), а также их зеркальные отображения.
1-2. Полюсы и нули передаточных и входных функций
Обычно передаточные функции реальных электрических цепей имеют степень числителя ниже, чем степень знаменателя, что опре деляется наличием паразитных емкостей. Если этими емкостями пренебречь, то числа нулей и полюсов в передаточной функции могут совпадать.
При учете паразитных емкостей некоторые р—г будут распо лагаться относительно далеко от начала координат плоскости р. Если эти расстояния велики по сравнению с расстояниями до инте ресующих нас частот вдоль оси /со и если в указанном диапазоне частот фаза заметно не изменяется, то далеко расположенные р—z допустимо исключить из рассмотрения. Это равносильно пренебре жению некоторыми элементами цепи.
Если полюс и нуль расположены близко относительно друг друга по сравнению с их удалением от мнимой оси, то приближенно их можно считать взаимно компенсирующимися. Аналогично, если несколько полюсов (или нулей) расположены относительно близко друг к другу, можно принять их лежащими в одной точке, в ре зультате чего получим полюс (или нуль) соответствующего порядка кратности.
Поскольку катушки индуктивности и конденсаторы имеют по тери, полюсы передаточных функций реальных реактивных цепей располагаются несколько левее оси /со.
Интересно рассмотреть характер свободных колебаний в цепи, передаточная функция которой имеет полюсы в правой полупло скости. Такая цепь неустойчива, так как ее выходной параметр возрастает во времени в режиме свободных колебаний. Рассмотрим комплексный полюс в точке <тА+ /со*, где ok > 0. Из выражения (1-6) видно, что в цепи возникают колебания с частотой соА, ампли туда которых экспоненциально возрастает во времени. На прак тике амплитуда колебаний ограничивается нелинейностями, ко торые существуют в любой реальной цепи. Можно сделать вывод, что в цепи, передаточная функция которой имеет пару комплексно сопряженных полюсов в правой полуплоскости, возникают перио
14
дические колебания, частота которых приближенно определяется мнимой координатой полюсов, а скорость нарастания колебаний пропорциональна вещественной координате. Когда полюс лежит на положительной вещественной оси плоскости р , выходная функция возрастает без наложения периодических релаксационных коле баний. Если пара комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции лежит точно на оси /со, то колебания в цепи не затухают, их частота соответствует расположению полюсов, а амплитуда и фаза — начальным условиям. Это критический случай.
Иногда передаточная функция может иметь две или большее число пар комплексно-сопряженных полюсов в правой полупло-
деляются парой полюсов, наиболее удаленных вправо от мнимой оси.
Ограничений, относящихся к расположению нулей, нет, за исключением того, что их не может быть слишком много. Однако функции, не имеющие нулей в правой полуплоскости, обладают некоторыми существенными свойствами и называются передаточ ными функциями минимальной фазы или минимально-фазовыми. Передаточная функция, имеющая хотя бы один нуль в правой по луплоскости, называется передаточной функцией неминимальной фазы или неминимально-фазовой.
Чтобы определить влияние нулей правой полуплоскости на модуль и аргумент передаточной функции, рассмотрим диаграмму на рис. 1-6. Здесь показаны пара сопряженных нулей в правой по луплоскости и их зеркальное отображение. Пусть Ра (р) и Рь (р) — квадратичные функции, состоящие соответственно из пар нулей правой и левой полуплоскостей:
Ра (Р) = (Р — г) (р — г*); 1 |
1 ' |
Л,(Р) = (Р + г) (Р + **)•J |
|
Очевидно, Ра (р) = Рь (— р). Из геометрического |
построения |
на рис. 1-6 видно, что модули Ра и Рь одинаковы при р = jcо, а
15
аргументы различны:
arg Ра(/со) = п— ах — [2ir — (гс — а 2)1 = — («1 + «2); |
|
|
a rg Рь(/со) = ах + |
а2 = — arg Ра (/со). |
|
Заметим, для того, чтобы |
аргумент Ра был равен нулю |
при |
ю = О, аргумент множителя (р — 2*) записан в виде — (я + |
а 2) |
вместо п — а 2.
Из рис. 1-6 видно также, что (а2 + а 2) — угол, обусловленный нулями в левой полуплоскости, он положителен при всех положи тельных © и изменяется от нуля при © = 0 до п при ю •* оо (рис. 1-7). Отсюда следует, что угол, обусловленный парой полюсов в правой полуплоскости, всегда отрицателен при положительных значениях © и изменяется от нуля при © = 0 до — п при © -> оо.
Рассмотрим две передаточные функции: |
|
|
F i{p )^ (p — 2)(p — z * )F (p )^ P b(— p)F(p)\ 1 |
|
|
Fi(P) = (P + z)(P + z*)F(p) = Pb(p)F(p), |
/ |
" |
где нуль z и сопряженный с ним нуль z* лежат в правой полупло скости. Эти функции отличаются только тем, что Fx (р) имеет пару нулей в правой полуплоскости; a F2 (p) — их зеркальные отобра жения в левой полуплоскости. Умножив числитель и знаменатель функции Fx (р) на множители нулей левой полуплоскости (р -{- + г) (р + z*), получим
F, (р) - |
( - |
Р) F (Р) = |
F,(p) |
= |
Fi (р) Р„ (р), (1-11) |
Ръ (р) |
|
|
|
р ь (Р) |
|
где |
|
Рь (— р) |
== (р — 2) (р — г*) |
|
|
р / |
V = |
( 1- 12) |
|||
° |
|
Рб (Р) |
(Р + |
г) (Р + г*) |
|
|
' |
Функция F0 (р), все нули которой расположены в правой полу плоскости, а полюсы представляют собой зеркальные отображения этих нулей в левой полуплоскости, называется функцией постоян ного модуля. Модуль ее равен единице при всех значениях р = /©.
На основании выражений (1-9) аргумент функции F0 (/©) |
равен |
arg FQ(/to) = arg Pb(— /со) — arg Pb(/со) = — 2 (ax + a2). |
(1-13) |
Отсюда следует, что аргумент функции постоянного модуля отри цателен при всех положительных частотах. Используя выражения (1-11) и (1-13), можно написать
arg/7! (/со) = argF2( /со) -f агgF0(/со) < arg F2(/со) при © > 0, (1-14)
откуда видно, что при всех положительных частотах аргумент функ ции, имеющей нули в правой полуплоскости, меньше аргумента функции, получаемой при замене этих нулей их зеркальными ото бражениями в левой полуплоскости.
16
Используя соотношение, (1-14) и аналогичные выражения для других функций, получаем
arg Fx(/<•>) < arg F2(/o>) < . . . < arg Fm(/ш), w > 0. (1-15)
Все функции этой последовательности имеют один и тот же мо дуль на оси /, но аргументы их постепенно возрастают. Функция минимальной фазы будет иметь наибольший аргумент (алгебраи чески).
Произведение любого числа функций постоянного модуля есть также функция постоянного модуля. Поэтому всякую функцию неминимальной фазы можно представить в виде произведения функ ции минимальной фазы и функции постоянного модуля. Из рас
смотрения |
уравнения |
(1-13) |
|
|
|
|||
и рис. 1-6 видно, что измене |
о) |
|
|
|||||
ние аргумента |
функции |
по |
|
|
|
|||
стоянного модуля второго по |
J-JUo |
2С 2а |
Пассивный |
|||||
рядка при |
возрастании |
(о |
от |
двухполюсник |
||||
нуля до бесконечности состав |
|
О |
|
|||||
ляет— 2я. Легко оценить, что |
|
|
|
|||||
для функции постоянного мо |
|
|
|
|||||
дуля п-то порядка изменение |
S) |
|
|
|||||
аргумента |
равно — mt. |
|
|
|
|
|||
Одним из основных свойств |
J\ ~ Г ~ Х |
Пассивный |
||||||
цепей минимальной фазы яв |
(t)t« И |
^ |
||||||
двухполюсник |
||||||||
ляется то, что все они, вне |
|
|
|
|||||
зависимости от |
их конфигу |
|
|
|
||||
рации или |
значений парамет |
|
Рис. |
1-8. |
||||
ров, имеют однозначную |
ма |
|
||||||
|
|
|
тематическую зависимость ме жду амплитудной и фазовой характеристиками. Поэтому, если одна
из характеристик такой цепи задана, то другая определяется одно значно (т. е. произвольное задание обеих характеристик цепей ми нимальной фазы невозможно). Цепи неминимальной фазы могут иметь одинаковые амплитудно-частотные и разные фазовые харак теристики и наоборот. Следует отметить, что некоторые цепи удов летворяют условиям минимальной фазы при любом значении па раметров (например, лестничные схемы), а другие — лишь при определенных величинах параметров.
Рассмотрим входные полные сопротивление и проводимость
пассивной цепи, представленной на рис. 1-8. Возбуждение |
цепи |
происходит от генератора с внутренним сопротивлением |
или |
генератора с внутренней проводимостью Ус. Входной ток и вход ное напряжение в результате воздействия задающего напряжения
и |
тока |
соответственно |
будут: |
|
|
|
|
< (р ) = |
"о (Р) . |
к(Р) = |
*0 (Р) |
|
|
2с Zax |
Ус + ^ОХ ’ |
||
2 |
Заказ |
№ 702 |
|
|
17 |
При допущении, что Zc |
0 |
для источника напряжения и |
|
Yc -> 0 для источника |
тока, |
получим |
|
i (р) = |
у »х«о (р); |
« (р) = ZDX' O(р). |
Если после отключения задающих функции не наблюдается самовозбуждения цепи, то величина Квх не имеет полюсов в правой полуплоскости, а полюсы на оси /<а простые. Аналогично полюсы ZBX не могут существовать в правой полуплоскости. Так как по люсы ZBX представляют собой нули Y ax и наоборот, то можно ут верждать, что ни полюсы, ни нули входных полных сопротивления
ипроводимости цепи не могут находиться в правой полуплоскости
имножители нуля р — z, лежащие на мнимой оси, должны быть
°)
1
<7
j w
:
-СГ
3 |
|
ju) |
jW |
х |
|
|
ъ |
О |
<7 |
; |
сг |
< <7 |
|
\ |
г |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
X |
<) |
ju j |
|
j w |
о |
j w |
|
|
J |
» |
<r |
|
<r |
|
|
P a |
|
|
|
|||
« |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Рис. 1-9.
простыми. Кроме того, вещественная часть входных полных сопро тивления и проводимости, рассматриваемых вдоль оси /со, не может быть отрицательной. Следовательно, фазовый сдвиг цепи не может превышать ± я/2. Из рассмотрения поведения цепи йа очень вы соких частотах можно сделать вывод, что числа полюсов и нулей ее входных полных сопротивления и проводимости при конечных значениях р не могут отличаться более чем на единицу. Точное расположение этих р — z должно быть таким, чтобы аргумент вход ной функции вдоль оси /<д) ограничивался + я/2. На рис. 1-9 по казаны примеры допустимого (а) и недопустимого (б) расположе ния р — z входных полных сопротивлений и проводимостей пас сивных двухполюсников.
Рассмотрим схему, содержащую лишь индуктивность L, емкость С и идеальный трансформатор М. Ввиду отсутствия активных со противлений, в соответствующей цепи активная мощность не вы деляется и синусоидальные напряжения и токи, относящиеся к лю бому элементу цепи, всегда сдвинуты по фазе на я/2. Из анализа
расположения полюсов |
и нулей входных |
полных сопротивлений |
||
и проводимости реактивной |
цепи следует, |
что |
аргументы, равные |
|
± я /2, существуют для |
всех |
частот со только |
в том случае, если |
все р — z простые и лежат точно на мнимой оси. Для того, чтобы аргумент для низких частот был равен я /2, простой полюс или нуль
18
должен существовать в начале координат, поэтому общие числа конечных полюсов и нулей отличаТбтся на единицу.
В реальной LC-цепи колебания должны затухать, т. е. в дейст вительности р—;г несколько сдвинуты влево от оси /со. Полюсы и нули, находящиеся вблизи оси /со и лежащие на линии, парал лельной мнимой оси, должны чередоваться таким образом^ чтобы
j u |
t |
;<•>:
'• " <Т
<1
:
j m |
|
1Г |
|
| |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1( |
:< |
|
||
>с |
|
Г' |
|
' |
|
|
||
’г |
а |
1 |
|
<т |
О: |
( |
О |
|
(1 |
|
>': |
" |
|
|
— ; |
||
1 |
|
•; |
|
|
|
|
< |
|
» |
|
* |
|
|
|
t i |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
1-10. |
|
|
|
|
|
|
полюс располагался между двумя нулями и наоборот. Следова тельно, р—z входных полных сопротивления и проводимости ре активной цепи могут иметь только одно из четырех расположений, приведенных на рис. 1-10.
j t o |
J l V |
|
j u t |
j w |
< r |
|
а |
<т |
(T |
|
|
it— ^ |
||
|
|
|
|
V. |
Рис. 1-11.
Можно доказать, что в цепях RL и RC полюсы и нули входных полных сопротивления и проводимости лежат на отрицательной вещественной оси плоскости р, являются простыми, чередуются друг с другом и общее число полюсов не отличается от общего числа нулей более чем на единицу. Поскольку при частоте, стремящейся к нулю, сопротивление емкости стремится к бесконечности, вход ное полное сопротивление /?С-цепи может быть или конечными или бесконечно большим. В соответствии с этим в начале координат или ближе к нему может находиться только полюс.
На бесконечно больших частотах емкости как бы замкнуты на коротко и входное полное сопротивление RC-цепи может быть равно нулю или конечной величине. Возможные расположения его р — z приведены на рис. 1-11. На этом же рисунке показаны расположения р —_z, соответствующие входной полной проводи мости /?С-цепи, которая может быть найдена из входного полного
2* |
19 |
сопротивления с помощью взаимной замены р и г . Правила, отно сящиеся к входным полным сопротивлениям /?С-цепей, применимы к входным полным проводимостям i^L-цепей, а расположение р—z входных полных проводимостей i^C-цепей соответствует располо жению р—z входных полных сопротивлений ^ L -цепей.
1-3. Представление передаточных функции частотными характеристиками
.Частотные характеристики определяют установившуюся реак цию цепи на синусоидальные воздействия. При этом р = /со и функ ция
F (/») = V (ш) + /X (®) = IF (jm) I ei? <“). |
(1-16) |
Вещественную и мнимую части можно выразить через F (/со) следующим образом:
V |
» = у |
(/«о + f |
( - / H i ; |
(1-17) |
|
|
2/ |
|
|
|
(1-18) |
|
|
|
|
|
|
При этом использовано тождество F (— /со) = F* (/со), |
так как |
||||
F (р) — вещественная |
функция |
от р. Чтобы выразить модуль и |
|||
фазу через F (/со), напишем квадрат этой функции в виде |
|
||||
Я (/(0) = F (/ш) F ( - /ш) |
f (K> |
= |
IF (/ш) |2«Л W |
(1-19) |
|
Следовательно, |
|
F (— ;<о) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (/<») |г = |
F (/») F ( - |
/Ъ); |
( 1-20) |
|
|
/? (“) = у |
In т у у т |
|
( 1-21) |
|
|
2 |
/=Ч— И |
|
|
Выражение (1-20) тривиально и приведено лишь для полноты. Функцию (1-21) следует рассматривать как непрерывную функцию, которая при одном из значений частоты становится равной нулю.
При известной функции F (р) приведенные соотношения позво ляют найти выражения V (со), X (со), | F (/со) | и ср (со). Эти зависи мости могут быть представлены графически, однако для графиче ского изображения можно применить другой способ, который по зволяет более полно представить связь между диаграммой р—г и частотными характеристиками. При значениях р, ограниченных осью /со, функцию (1-5) можно записать как
F(/<») _ |
(/у — zi) (fo — z2) . . . |
(/со — гт) |
П-22) |
К |
(/*> — рх) (/со — Ра) . . . |
(/со — рп) |
|
В дальнейшем примем К — 1, поскольку оно влияет лишь на масштаб частотных характеристик.
20