книги / Моделирование на ЭВМ дефектов в металлах
..pdfна рис. |
1, система уравнений |
для |
Фд. (г, г, |
£1 , t) и |
(r, t) пред |
||||||||||
ставляет |
собой |
уровень / |
|
и имеет |
вид (см. |
[9, с. 153, |
169, |
171] |
|||||||
1_ дФи (г, е, |
ft, |
О |
+ ЙУФй(г, е, |
ft, /) + |
|
|
|
|
|||||||
v |
dt |
^Ф,‘ |
|
|
|
|
|||||||||
+2 |
|
|
6’ |
^ajk |
^= |
|
|
|
|
||||||
/ |
|
|
е0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
Cj (г, |
t) J* det |
rfftj Ф/, (r, 6j, ftj, i) Ojk (ej, |
— e) Ks (в, йд—>8, ft)-}- |
|||||||||||
/ |
|
|
e |
|
An |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“b |
Cj (г» |
0 ^ |
d&i ^ dQi Ф/j (r, 8j, |
|
t) Ojk (б^, 8) Kd (8^, |
8, ft)» |
( 1 ) |
||||||||
/ |
|
|
8 |
|
An |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 v (r> 0 — ^ |
|
Ряд J ^ei J |
|
(г> е1» ^ 1» ОX |
|
|
|
||||||||
|
k |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X J Те"olk (e,, e") [p (e, - |
e") p (e") -f P (el - |
в") q (e') PdD (e")] - |
|
||||||||||||
0 |
|
|
e* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
0 J |
|
|
|
|
||
— |
Cv (r* o j |
|
|
|
(г»el> |
|
Gok (€i* Б*)Я(el — £*) |
|
|||||||
к |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(Г> ^ [^vL&Dh (Г* О |
PvC&Ck (Г’ 0] |
&vR(Г* О* |
|
(2) |
||||||||||
|
0 = 2 |
|
|
Е0 |
|
|
|
|
|
|
Ci |
|
|
|
|
Si (r- |
|
Ряд J det Jdft^ft (r, elt |
|
ftlt t) |
J de* olh (elt e") X |
|
|||||||||
|
ft |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
X [q (sj — e") q (e") - |
q (e, - |
e") q (e") PdD (e')] — |
|
|
|||||||||||
|
|
|
e0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— 2 ] |
Ct (r, |
0 |
J det J dfti ФЛ(г, 8j, QL |
О X |
|
|
|
|
|||||||
ft |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X J de"■25h (в!, |
e") p (ex — e") p (e") -f |
|
|
|
|
|
|
||||||||
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
^ПД [PlD^Dft (r> |
o + Hic&Ch (r’ 0] |
SIR (r, |
(). |
|
|
|||||||||
ft |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь v—\J2e/m0 — скорость движущегося атома массы m0 с ки нетической энергией s; е0 — энергия первпчпо выбитого атома;
е — минимальное значение энергии движущегося атома в мате риале; рлд — ядерная плотность вещества матрицы; ajk (elt s") —
дифференциальное сечение передачи энергии г" образованию типа } (jf=l — узел решетки) от частицы h-то типа с налетающей энер
(21
гией ех; р (в), |
q (е) — вероятности того, что в |
ва или е < |
е |
соответственно; |
erf — пороговая энергия смещения; |
g А(г, t) |
— |
число частиц в единицу времени, образующихся эа счет остановки ориентированно движущихся атомов (либо в виде динамических краудионов (cp=Z>), либо в виде каналонов (ср = С )) около дефекта /; gjR (г, t) — скорость мгновенной рекомбинации дефектов ;, ко
торая имеет вид
|
|
|
г+гол |
|
|
|
|
gjR (г* 0 = |
с,-(**» О |
J gn (r'.S0 * ' = cj (г>0 <■>? (r0R. Оа |
(4) |
||||
|
|
|
г~год |
|
|
|
|
где г0д — размер зоны |
рекомбинации; |
п — тип дефекта |
(n^=j)t |
||||
с которым рекомбинирует дефект / (/, n —v, i). |
|
||||||
Остальные величины, входящие в (1)—(3), представляют собой |
|||||||
Ks (®i> |
Ях |
8> |
Si) = Рs (81, |
Six —>• £, Si) Ps (E, Si), |
|
||
Я д (еъ |
Qi; |
e. |
Q) = Pd(*u |
Sill e, S i)^ rf(e, |
ft), |
|
а вероятности рассеяния (s) и смещения (d) имеют вид
8i
Ps (Bi, |
S ii-j-e, Si) = 2^ j dz' J dft' p3( e \ Й |
Ч е , Я) 6 ( f t ^ ' — V e'/iD » |
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Cl |
|
|
|
Pd (ex, |
Six; |
e, |
Si) = |
|
j dz" j |
dft" pd (e", ft"; |
e, ft) 6 (ft^" — V eT ei), |
|
причем |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ps (e', |
ft' -+ e, |
ft) = |
6 (e' — e) 6 (ft' — ft), |
|
|
|||
pd (e", |
ft"; |
e, |
Я) = |
6 (e" — e) 6 (ft" — ft), |
|
|
||
Ps (e, |
ft) = |
l — P sc |
(e, |
ft); |
|
|
|
|
Pd (e, |
ft) = |
1 — PQ (e, |
S i ) - P d (e, f t ) - P £ ( e , |
ft), |
||||
a Pd, Pp, Pd— вероятности |
образования |
каналона (С), динами |
ческого краудиона (D) и фокусона (i7) в процессе смещения атома из узла кристаллической решетки; РЬ — вероятность образования
каналона |
при |
рассеянии. |
|
Кроме того, необходимо записать локальное уравнение сохра |
|||
нения числа частиц в виде |
|
||
Ряд= 2 |
су(г. |
О- |
(б) |
/ |
|
|
|
122
2.2. Диффузионная стадия
Процессы диффузионного изменения при облучении концент раций точечных дефектов / (рис. 1, уровень II) описываются си
стемами дифференциальных уравнений как для их пространственно неоднородных Cj (г, £), так и для средних концентраций С* (£).
Например, в случае примесей замещения двух сортов а и Ъ (при чем примесь а с размером, большим, чем атом матрицы, а примесь b с размером, меньшим атома матрицы), образующих разные по типу комплексы (av — вакансия—примесь и Ът — смешанная
гантель) [14, 15], такие системы содержат следующие уравнения:
— |
’—- = div Jv |
So (г, t) —цО,-С{С0 —avCvCa -f-XoaPva |
|
|||
V-bmPbmPbrrPv |
DvCvkv, |
|
|
|
(6) |
|
|
0 = «V J„ - g , (г, 0 - |
a„C„C. + |
- |
DaCak\, |
(7) |
|
|
0 = divJra + a aC„Ca - |
Xva^va ~ |
|
|
<8) |
|
аС^ |
Г’ 0 = gm - |
l i - gbm + 2(iD,C,CV + |
a,C,Cb - |
XbmCbm + |
|
|
“h PbrnDbrnCbmCv* |
|
|
|
|
|
|
|
°= divJ, +g( (r. |
|
|
|
(10) |
|
|
- —div |
gfr (r, t) |
a,.C.C, + Х ьпРьт ^РЬ т Р ьт РьпРу |
^ iP b ^ b ’ |
||
|
|
|
|
|
|
( П ) |
---— 1 = div Jbm "b gbm (•*>0 4“ СцС(Сь — Xbm^bm |
|
|
||||
№bmPbmPbmPv |
^ bmPbmPbm • |
|
|
|
Здесь j= v , i, va, bm, a, b,m (m — атомы матрицы в узлах решеткп); J j (г, t) — плотности потоков, Dj — коэффициенты диффузии, ку —
суммы сил стоков, <Ху — коэффициенты комплексообразованпя, Xj — коэффициенты диссоциации дефектов / (см. [15]); fx, fx6l„ —
коэффициенты рекомбинации»
2.3. Стадия эволюция стоков
Во всех имеющихся теоретических исследованиях проблемы радиационной повреждаемости материалов (см., например [7, 16—24]) делается фактически одно осповное предположение о том, что рост скоплений дефектов (стоков q: пор (q= П), дислокационных петель межузельного (q—L .) пли вакапсионного (q—L t) типа,
преципитатов (<jr=jP) и т. д.) происходит медленнее, чем диффузия
123
{rij — число стоков для дефектов /), что является по существу
уравнением, замыкающим всю систему уравнений и делающим ее самосогласованной, поскольку концентрации СЧ (£, Щ) зависят
сами от ку Таким образом, уравнение (19) (а точнее, это столько
уравнений, сколько есть подвижных дефектов /) является уравне нием для определения концентраций СЧ (£), уже не зависящих от
к\ [12, 13]. Дальнейшая подстановка вычисленных таким образом концентраций СЧ (t) в выражения
для /?, R q и S*q позволит получить
выражения для функций распре деления / (Rq, t), размеров R q (t)
Рис. 2. Зависимость отношения каскад ных функций v (е0)/м„ (е0) от относи тельной концентрации С0т примеси (свинца) в меди.
и сил стоков S-? (Rq, t)y не зависящих от ку В свою очередь знание
перечисленных характеристик дает возможность вычислять из менения под облучением таких свойств материалов, как распуха ние, упрочнение, ползучесть. Причем, как показано выше, на
личие примесей будет сказываться на всех этапах эволюции мате риала под облучением.
3.Процессы на динамической стадии
впримесных кристаллах
Наличие примесей в кристаллах сказывается на развитии каскадных процессов п отдельных ориентационных видов движе ния атомов, а следовательно, на эмбриональном распределении то чечных дефектов. Развитые к настоящему временн модели п теории первичных процессов в чистых материалах обобщаются на случай материалов с примесями (см., например, [9]). Каскадные процессы при этом можно рассмотреть аналитически прп условии, что кон центрация примеси Са мала, а масса примесного атома та либо значительно больше (та т0), либо значительно меньше (та ш0
массы атома матрицы [25, 26].
Если в качестве примера ориентированных видов движения рассмотреть фокусированную передачу энергии и импульса вдоль плотноупаковаппых рядов в бпатомных кристаллах, то можно ис следовать материалы с большой концентрацией примесей, вплоть до упорядоченных сплавов [27—30].
В случае тяжелой (в пределе несмещаемой) примеси, решая уравненпе (1 ), можно получить, разлагая в ряд по параметру X—
125
Ряс. 3. Зависимость от энергии е0 каскадных функций для меди, вычисленных с учетом различных факторов.
1 — функция Кинчнна—Пиза [34]; 2 — функция Снайдера—Нсйфельда [35]; я
изотропного материала по (21); 4 — с учетом динамических краудионов [31]; 5 'Г11?1/ Ми-
том^тяжелой примеси в изотропном материале по (20); 6 — с учетом примеси и ДШ1 ческих краудионов [31].
~ C aF JpaJLF |
1, для каскадной функции следующее |
выраже |
||||
ние [21, 31, 32]: |
|
|
|
|
|
|
vn (ер) — |
гг|е) Ц dT IdSl Ф (г’ |
8’ Q) 8=28, — v (е0) Нп (е0)» |
(20) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
V (е„) = Хо |
1/2 - |
О / |
(*о - |
- у ) |
|
(21) |
— каскадная функция |
в беспримесном кристалле; |
Нв (е) = |
||||
= ( l - W X o ) ( 2 e rf/s 0)xs[ l+ ^ 8 /(x 0- l / 2 ) ] ; |
x0= [ l - C + V 4 p + ( l - Q 2]/2; |
|||||
Р = 2 (2 С -1 )/(2 С + 1 ); |
£ о = (у-о + С— 1)/(2х0~К — 1); * ; = ( 1 —Q 8/[4p -b |
|||||
-г(1 —С)2]; |
о=р\/4р+(1—Q2, |
причем |
s — параметр |
сечения |
Лппдхарда [33], a Fa и F зависят от С, т 0, ша и зарядов атомов.
Учет в этой модели динамических краудионов снижает величину каскадной функции (см. [31]).
Зависимость отношения v (e0)/vu (е0) как функции относитель ной концентрации С01„—Са/{ря;1-\-Ся) свинца в меди {m0/ma^Q .3) представлена на рис. 2, откуда видно снижение каскадной функции
при наличии тяжелой примеси. На рис. 3 приведено сравнение каскадных функций, вычисленных в разных условиях.
Используя уравнения (2) п (3), можно получить аналитические
выражения для скоростей генерации вакансий п межузлпй в кас кадах, содержащих тяжелые примеси [25,32]. Расчеты показывают, что введение в кристалл тяжелых примесей приводит к снижению эффективности каскада (см. (20), (2 1)) и к его локализации.
При наличии в материале легких прпмесей расчет каскадных характеристик несколько усложняется, поскольку прп этом не обходимо учитывать, что первично выбитые атомы примеси ини циируют «свои» каскады. Каскадную функцию такого сложного каскада можно представить в виде [26, 32]
vn (eo) = vo (Eo ) - r v« (eo)>
где v0 (е0) — каскадная функция для основного каскада матричных
атомов, a va — для всех подкаскадов примесных атомов, образо вавшихся в основном каскаде:
Vo (бо) = v (е0) (1 |
Ят^) ^ |
'j , |
v0 (е„) = v (е0) |
(23) |
где величины |
хх, |
зависят |
только от параметра |
£ сечения |
Лпндхарда. Из (23) видно, что каскадная функция v0 (е0) довольно
слабо зависит от концентрации прпмесей — через Я, a va (е0) |
С;г |
Например, для вольфрама с примесью медп прп е0=10 |
кэВ, |
Са оти=2-Ю"2 велпчпна va/v0= 0 .3, для Са>от„=10~3 получаем va/v0=
= 6.1.
Полученные аналитические результаты по изменению каскад ных характеристик при наличии тяжелых и легких примесей
127
приводят к заключению о локализации каскадных областей, что совпадает с результатами, полученными путем моделирования на ЭВМ [36].
Для рассмотрения фокусированных столкновений в биатомных кристаллах развита модель описания таких процессов в чередую щихся атомных рядах металлических материалов [27—30]. При этом модель твердых шаров обобщена на случай атомов разной массы. Удалось провести классификацию типов фокусировок в сложных кристаллах, выявить их условия существования по энергиям, а также разработать модель для расчетов пробегов ди намических краудионов. Для этого воспользуемся следующими приближениями [30]: 1) атомы окружающих рядов закреплены неподвижно; 2) взаимодействие сталкивающихся атомов вдоль
цепочки рассматривается в модели твердых шаров; 3) соударения в цепочке последовательных замещений — лобовые; 4) по тенциал взаимодействия атомов разных сортов выбирается в ви де потенциала Борна—Майера.
Рис. 4. Зависимость длины замещаю щих столкновений вдоль направле ния <(100> в кристалле Fe3Al от энер гии Е0 налетающего атома Fe.
Расчеты показывают, что с увеличением высоты потенциаль ного барьера внешнего поля радиус столкновений атомов в выде ленном ряду возрастает. Это легко понять, поскольку при движе нии любого атома выделенного ряда в поле окружающих атомов его кинетическая энергия уменьшается, что приводит к возра станию радиуса взаимодействия R . Для осуществления акта за мещения одного атома другим необходимо, чтобы R было меньше а0/2 (а0 — межатомное расстояние). Поскольку величина R за
висит от отношения масс взаимодействующих атомов, то энергия, необходимая для преодоления потенциального барьера, оказыва ется разной для атомов разных сортов. В рассмотренном нами упорядоченном сплаве Fe3Al энергия для атома Fe равна ~46 эВ, а для А1 —23 эВ.
На рис. 4 приведены результаты расчета длин замещающих столкновений для различных энергий атомов Fe. После заверше ния пробега динамического краудиона энергия будет рассеиваться в решетке в виде фокусона.
Для выявления работоспособности модели проведено сравнение длин пробегов динамических краудионов в чередующихся плотноупакованных направлениях с экспериментами по определению параметра порядка облучаемых упорядоченных сплавов [37].
128
Обработка этих экспериментов по теории [38] дает величины пробегов, достаточно хорошо совпадающие с зависимостью на рис. 4.
4. Концентрации точечных дефектов в материалах с примесями
Уравнения (6)—(12) описывают кинетику точечных дефектов в твердых растворах замещения. Наибольшие успехи в изучении задач подобного рода достигнуты при использовании ЭВМ (см., например, [39—41] и обзор [42]).
Для. того чтобы несколько упростить аналитическое решение системы уравнений типа (6)—(12) и получить аналитические выра жения для концентрационных профилей точечных дефектов, в осо бенности вблизи структурных неоднородностей материала, исполь зуют метод эффективной среды [21, 43].
Поскольку аналитически систему уравнений (6)—(12) не ре шить, введем упрощающие предположения [15]: 1) рассматривается только двухкомпонентный раствор замещения с атомами сорта а\
2) атомы примеси образуют подвижные комплексы только с одним типом собственных точечных дефектов /; 3) дпффузпонно-подвпж- ными являются межузельные атомы, вакансии, примеси п комп лексы /а; 4) твердый раствор — слабый; 5) кривизна поверхности выделений не влияет на концентрации дефектов в приповерхност ных слоях; 6) скорости генерации вакансий и межузлпй под облу чением постоянны во всех точках материала. Тогда система урав нений (6)—(12) принимает вид
(24)
(25)
(26)
(27)
где С . ц Сп — концентрации собственных точечных дефектов (ва
кансий пли межузлпй, т. е. /, п=и, i; j^ n ) .
В зависимости от постановки задачи для системы уравнений (24)—(27) должны быть сформулированы соответствующие гранич ные и начальные условия (см. подробнее [15, 43, 44]).
Рассмотрим два крайних случая: слабого пераспадающегося твердого раствора п распадающегося под облучением твердого раетвора.
Если выпадают выделения второй фазы, то остановимся на стадии когерентных предвыделений, которые, как следует из эк-
9 Закав М 2162 |
129 |