книги / Оптимизация параметров импульсных и широкополосных усилителей
..pdfЗдесь каждая из производных определяется числен* ным методом по формуле
iW/ (Х[, . «• I -f- |
•••) Хп —t ) ' A/li (Xj, ...> Xfi |
Х д _ i) |
"* |
Ax7 |
* |
Из системы (3-9) находятся приращения параметров АХг и выполняется итерационный цикл
x f = x f ~ l) (1 - f аД х^ - 1 '). |
(3-10) |
Выбор коэффициента а производится так лее, как это описано в § 1-1,а. Если на каком-либо шаге (3-10) число экстремумов уменьшается, то производится уменьшение а до восстановления исходного числа экстремумов. Цикл (3-10) заканчивается, когда
I ДМ, - m f * | < е.
Затем производится сжатие области ограничений. Граничная частота усилителя является некоторой функ цией от величины экстремальных отклонений АЧХ
©B=/(AMI, , . AMn_i), |
(3-11) |
не имеющей при этом аналитического выражения. Для ускорения определения условных экстремумов функции (3-11) при уменьшении каждого из отклонений AM, при меняется параболическая интерполяция. Сначала умень шается величина первого отклонения Если это при водит к возрастанию граничной частоты, то уменьшение AMi повторяется еще раз и по полученным трем точкам
определяется вершина параболы (условный максимум ©в). Полученные параметры являются исходными при выполнении такой же процедуры для отклонения АМг и т. д. Если в процессе рассмотрения п— 1 экстремума AMi интерполирование производилось более 1 раза, то
цикл повторяется. Сжатие области ограничений закан чивается, когда в цикле применяется меньше двух интер поляций.
Совершенно аналогично выполняется оптимизация во временной области, только здесь определяется мини мум длительности фронта.
Если число параметров коррекции q < n — 1, то рас сматриваются q высокочастотных экстремумов {q вы
бросов, начиная с первого). Программы оптимизации в частотной и временной областях по изложенному алго ритму приведены в приложениях 1—2.
112
Если в данной цепи не существует значений параме тров, соответствующих границе области ограничений, то это быстро выясняется в процессе итераций. Экстрему мы АЧХ или выбросы ПХ перестают приближаться к за данным величинам и начина ют колебаться около некото рых значений. В этом случае задача оптимизации решает ся методами нелинейного программирования, изло женными в § 3-5.
Рассмотрим |
оптимизацию пу |
|
|||
тем сжатия области ограничений на |
|
||||
примерах |
усилителей, |
изображен |
|
||
ных на рис. 3-1 и 3-2. На рис. 3-1 |
|
||||
показана |
эквивалентная схема |
|
|||
двухкаскадного |
усилителя с индук |
|
|||
тивной коррекцией в обоих каска |
|
||||
дах, в которой |
учтены проходные |
|
|||
емкости второго усилительного эле |
|
||||
мента. Такая схема описывает уси |
|
||||
литель на |
полевых |
транзисторах |
|
||
или ламповых триодах. В рабо |
|
||||
тах И. А. Суслова [40, 41] показа |
|
||||
но, что наличие проходной емкости |
Рис. 3-2. |
||||
не является препятствием для при |
|||||
|
|||||
менения таких |
усилительных эле |
|
ментов в широкополосных и импульсных усилителях. Ухудшение па раметров характеристик, вызванное частотно-зависимой обратной связью через Сир, можно в значительной мере скомпенсировать пра
вильным выбором параметров элементов усилителя.
Изображение ПХ, соответствующее эквивалентной схеме рис. 3-1,
имеет вид [41]: |
|
|
|
. . . |
~ |
(its1 4-4-- |
g 2s 2 |
^ |
1 + 6 1s + 6 |
2s2 + 64s46 ,s »* + |
8— 195 |
ИЗ |
где Й1=Г1^1+г2^2; az=liik2; bi=ri+r2-\-a\ bi^r^ik^rhki+X^-
+ Oi{jik\-f Tzkz) i bz—^iki-^-rzki-^dkiki', |
bb = |
k\kz. |
|
|
|
|
|||||
|
Рассмотрим случай, когда C oi = |
C o2 = |
Co, тогда |
|
|
|
|||||
|
|
ft |
|
ft 2 |
______ |
|
|
|
|
|
|
|
11 = "~ft^ ; Гг — ft^ ! Ro — }f R\R2] Со “Ь Cnp — C\ |
|
|
||||||||
|
|
|
L\ |
|
L,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k1= ~СЩГ ; kz = CRH * ^ 02 ~ |
SzRz* |
|
|
|
|||||
|
|
|
а = ^ К о г \ |
S = |
j(oCRo. |
|
|
|
|
||
•В табл. 3-Jl показаны результаты |
расчета такого усилителя |
для |
|||||||||
а = 0 |
и а =0,5 при выбросах ПХ, |
не превышающих |
1% (ПГ2='1, |
||||||||
В |
В*^\ 1%, Вз^1% ). Так как в исходном варианте при а = 0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
3-1 |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
кг |
кй |
Гг |
ви % |
В%, % |
Во, % |
ТФ |
Примечание |
|||
0 |
1,728 |
0,305 |
0,447 |
0,88 |
3,05 |
1,03 |
1,544 |
Исходный |
|||
|
1,412 |
0,328 |
0,488 |
2,31 |
0,73 |
1,02 |
1,573 |
вариант |
|||
|
Притягива |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние выбро |
||
|
1,506 |
0,325 |
0,481- |
0,99 |
1,00 |
1,00 |
1,583 |
сов |
|
||
|
То |
же |
|
||||||||
|
1,400 |
0,325 |
0,481 |
0,86 |
1,01 |
1,00 |
1,619 |
Уменьшение |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В х |
|
|
0.5 |
2,856 |
0,267 |
,0,448 |
1,37 |
1,30 |
0,28 |
1,736 |
Исходный |
|||
|
2,856 |
0,273 |
0,423 |
—2,71 |
3,30 |
0,10 |
1,880 |
вариант |
|||
|
Притягива |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние выбро |
||
|
3,018 |
0,288 |
0,408 |
—2,83 |
3,30 |
0,34 |
1,887 |
сов |
|
||
|
То |
же |
|||||||||
|
3,246 |
0,306 |
0,409 |
0,99 |
1,01 |
1,00 |
1,739 |
я |
я |
|
|
(первая строка табл. 3-1) |
выбросы |
не удовлетворяют ограничениям, |
то вначале осуществляется выход на границу области ограничений (строки 2—3). Затем производится уменьшение первого выброса (строка 4), которое приводит к увеличению Тф. При уменьшении вы бросов В2 и Ва длительность фронта также возрастает. При а = =0,5 наблюдается аналогичная картина и все производные дхф/дВг
отрицательны. Поэтому для усилителя рис. 3-1 при заданных огра ничениях на выбросы В г^ 1 % оптимум находится на границе
области.
Каскодный усилитель (рис. 3-2) является системой пятого поряд ка, но имеет только два корректирующих элемента: конденсатор Ся в цепи истока и индуктивность L в цепи стока. Эквивалентная схема
114
усилителя представлена на рис. 3-3. На основании этой схемы полу чено изображение ПХ
|
h (я\ = |
|
|
|
1 4 - ths 4 - |
|
|
|
|
||||
где |
|
1 |
+ |
М |
4 - |
bzsz + |
6 3s3 - f b<s4 - f |
6 5S 5 * |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ai — k + r; |
a2 = |
|
kr; |
j -f |
m10c; |
|
||||||
|
|
«. |
t |
, |
**(1 |
4 * « i ) . |
|
|
|
|
|||
|
|
— k + |
|
Ai>----+ wioc + №oc; |
|
||||||||
|
= k ( A T + m'oc ) + Л7 1«, 4 m) + w20c; |
|
|||||||||||
|
|
b* ~ |
k [ |
A0 |
+//720С) + 1 Г » |
|
|
|
|||||
|
6S= |
krm-i. |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; k ~ |
т т г ; r |
% |
; |
TJI = /? C H; |
|
|||||||
|
|
Ло ’ |
K |
|
ТнСи |
' |
|
|
|
|
|||
Mioe — mr -j- |
£ с .И 1 |
4 ~ |
^*З.И1 |
(1 |
+ |
S\RГ ~Ь »Sl/?Hl) |
4~ C Q . H 2 + ^*З.И2 |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^2% |
|
|
|
* |
/7220С== mT-j- |
^ C . H I |
4 ~ |
^ 3 . c i |
И |
( C r "f* C 3jH1) 4~ |
( С с .и г 4* С 3 .н г ) AQ U |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л о ^ гТ н |
|
|
|
|
wr = |
R r C r |
4 * ^ 3 . H I 4 * |
C 3 .c i |
; |
|
— ^ io c I^_o |
I |
Иг — Игос |^ _ o |
|
||||
|
|
C o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражения для коэффициентов изображения получены в пред |
|||||||||||||
положении, что |
R aux^R n, Сс-иг-ССц. Метод |
сжатия области огра |
|||||||||||
ничений |
применялся |
при выбранных значениях |
mioc, тг0.с, Hi, |
тг, |
т Г, Л0 и заданных ограничениях В i^3% , В2^ 3 % . При этом оказа
лось, что для данного усилителя при некоторых значениях фиксиро ванных параметров не существует ПХ с двумя равными выбросами. Производная дтф/dBi всегда отрица1ельна, а дтф/дВ2 иногда бывает
положительной. Некоторые результаты оптимизации приведены в табл. 3-2. В ней нечетные строки соответствуют вариантам, для
которых В 1=3% , а |
В2 имеет максимально реализуемую величину. |
||||
Четные строки соответствуют вариантам Вi=3% |
и тф= гшп. |
|
|||
|
|
|
|
Т а б л и ц а 3-2 |
|
№ п. п. |
т г |
к |
Г |
ТФ |
0*. % |
1 |
0.5 |
0,759 |
0,534 |
2.089 |
0,92 |
2 |
0.5 |
0,601 |
1,326 |
2,022 |
0,33 |
3 |
1 |
0,905 |
0.986 |
2,346 |
1,83 |
4 |
1 |
0,774 |
1.590 |
2,316 |
0,98 |
5 |
2 |
0,730 |
1,790 |
2,343 |
0,55 |
6 |
2 |
0,679 |
2.010 |
2,325 |
0,07 |
8* |
115 |
Можно заметить, что эффект оптимизации очень невелик (умень шение Тф мало — вместо 2,089 получено 2,022 и т. п.) и имеет скорее теоретический интерес, так как показывает, что оптимум расположен не совсем точно на границе области ограничений £ I = 5 2=3% , а вблизи от нее. Однако для практических целей вполне достаточно
тех результатов, которые даег применение аппроксимирующих поли номов. Впрочем, не исключена возможность построения таких усили тельных цепей, в которых уход внутрь области ограничений даст и больший эффект.
3-3. ОПТИМИЗАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ АППРОКСИМИРУЮЩИХ
полиномов
а) Временная область
Применение полиномов вида d i=fi(g u . • gm) по
зволяет в области малых времен синтезировать параме тры коррекции, соответствующие границе области огра ничений. Как было показано в § 3-1, они в большинстве случаев оказываются оптимальными. Но при использо вании таких полиномов накладывается п— 1 требование
на выбросы ПХ, что не всегда выполнимо. Если число параметров q < n —1, то оптимизация может быть осу
ществлена путем сжатия области ограничений. Для си стемы третьего порядка область ограничений легко опи сывается аналитически с помощью полиномов вида
d i=h (g i, ёг, |
<к); |
(3-12) |
т'ф=Ыёь |
gz, dz) |
(3-13) |
116
при B i—au B 2 ^ a i , приведенных в табл. 1-3. Применение
полинома (3-12) позволяет выйти на границу области ограничений для усилителей, описываемых уравнением третьего порядка, но имеющих только один параметр коррекции. К ним относятся все усилители на полевых транзисторах при учете внутреннего сопротивления ис точника сигнала. '
На рис. 3-4 и 3-5 показаны усилительные каскады на полевом транзисторе с коррекцией индуктивностью L в цепи стока и цепью
RnCn соответственно. Изображение ПХ обоих усилителей имеет вид:
г. /сх ________1 -f-1liS -f g2s2
1w “ 1 + hs + 62S2 + 63s» *
При этом один из нулей расположен в правой полуплоскости из-за прямого прохождения сигнала на выход.
Коэффициенты изображения ПХ усилителя, изображенного на рис. 3-4, равны:
а\ — я — |
х |
— |
Лх |
х + |
vx -f vq + Kovx; |
; аг = |
; bx 1 |
||||
bz = vx + |
k + vq + |
kx -b vqx -f /О х ; |
bt = |
kv {x + q + qx), |
|
где |
|
|
^з.и |
C3X |
|
v |
|
|
|||
|
|
Сц + С с .и * X ~~ Си+ С с .и ’ |
|||
|
|
|
117
L
Ко = SR; k = |
R2 (CH + |
Cc.H) |
S = |
j<o/? ( С и |
+ ^ с .и ) - |
||
|
|
|
|
||||
Для схемы рис. 3-5 |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
АоХ |
х (г -f |
//я). |
|
||
|
0i = г— д-0 |
; «г— |
Ко |
’ |
|
||
6, = |
|
|
(т 4- г 4- tnv 4- КоО^. |
||||
1+ х + /и + -----------^ ------ |
|
> |
|||||
62 = t;x + |
/ли (1 + * 4- 0 4- [tni + г) И 4- х |
vx) . |
|||||
--------------------- j-o |
|
|
" |
|
|||
|
|
v [rxm + |
txm -f- xr 4~ inf) |
|
|
||
где |
|
RllCn |
|
|
|
|
|
|
r = |
А = 1 + |
S/?„; s = /юЛС„. |
||||
R |
ЯСн |
||||||
Остальные параметры те же, что и для схемы рис. 3-4. Так как |
|||||||
необходимое значение параметра коррекции |
устанавливается выбо |
||||||
ром 'величины реактивного элемента L |
или |
Си, |
то |
требование по |
стоянства Ко при оптимизации здесь выполняется.
Оба усилителя представляют собой системы третьего порядка, но в каждом из них имеется только один корректирующий элемент. По этому получить ПХ с двумя равными выбросами в этом случае не возможно. Из-за сравнительно большой постоянной времени входной цепи при реальных значениях Rr и Сэ.п переходный процесс быстро
затухает ш второй выброс оказывается значительно меньше первого. Коэффициенты di и d2 получаются значительно больше, чем в слу
чае усилителей на биполярных транзисторах.
Расчет параметра коррекции k(г) при заданных значениях фик
сируемых |
параметров выполняется методом |
«притягивания» |
(см. § 1-1). |
По начальному приближению k=ko |
( г = г о ) рассчиты |
ваются коэффициенты дважды нормированного изображения gi, gi, di, d2 и определяются значения коэффициента dm по аппроксими рующему полиному вида d i= f(g i, g2, d2) при const (табл.:1-3). Для повышения точности аппроксимации интервал d2 разбивается на
две части и в каждой из них определяются коэффициенты полинома. Изменением параметра коррекции разность di—din притягивается
к нулю. По полиному вида (3-13) определяется дважды нормиро ванная длительность фронта т'ф. Затем находится нормированная
длительность фронта Тф. Для усилителя, показанного на рис. 3-4, Тф рассчитывается в безразмерных единицах о)Я(Сн + С с.„), на рис. 3-5— з единицах wRC„. Некоторые, результаты расчета с использованием
полиномов 5—8 табл. 1-3 приведены в табл. 3-3. Проверка производ ных дхф/dBi показывает, что минимальная длительность фронта со
ответствует максимально допустимому первому (выбросу. Поэтому найденные параметры действительно оптимальны.
Если число параметров коррекции q > n —1, то при менение аппроксимирующих полиномов d i= f}(g it . . gm)
не дает однозначного решения, но позволяет снизить
118
рЙзкё(эЙ0СтЬ йбйскй с ^ ДО q—ti+ [. |
При этом полийоМУ |
||
включаются |
в число |
ограничений |
вместо ограничений |
B i=a,i или |
t^Mi — rrii. |
Это избавляет от необходимости |
рассчитывать переходный процесс или АЧХ и существен но ускоряет процесс оптимизации. Если q=n> то приме
няется любой |
метод одномерного |
поиска. При q > n |
ис- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
3-3 |
||
Усилитель с индуктивный коррекци |
|
Усилитель с емкостной коррекцией |
||||||||||
|
ей (рис. 3-4), /Со:ям |
|
|
(рис. 3-5), /Со=12,5; Д>—2,5 |
|
|
||||||
т |
|
fii-:з |
% |
Oi=10 % |
т |
|
а 1==3 % |
Bi—10 % |
||||
V |
k |
|
|
|
V |
Г |
■ф |
Г |
|
|
||
|
|
|
k |
ТФ |
|
|
|
ТФ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,25 |
0,25 |
0,47? |
1,480 |
0,649 |
1,298 |
0,5 |
0,25 |
1,397 |
1,393 |
1,747 |
|
1,318 |
0,25 |
0.5 |
0,504 |
1,717 |
0,582 |
1,556 |
0,5 |
0,5 |
1,438 |
1,869 |
1,757 |
|
1,671 |
0,25 |
1,0 |
0,629 |
2,111 |
0,679 |
1,942 |
0,5 |
1.0 |
1,718 |
2,731 |
2,251 |
2,400 |
|
0.25 |
2,0 |
0,957 |
2,853 |
1,005 |
2,647 |
0,5 |
2,0 |
2,524 |
4,268 |
4,047 |
3,694 |
|
0,5 |
0,25 |
0,540 |
1,818 |
0,634 |
1,641 |
1,0 |
0.25 |
1,677 |
2,033 |
2.091 |
|
1,816 |
0,5 |
0,5 |
0,660 |
2,218 |
0,718 |
2,035 |
1,0 |
0,5 |
1,932 |
2,909 |
2,516 |
2,553 |
|
0.5 |
1,0 |
0,982 |
2,965 |
1,035 |
2,746 |
1,0 |
1,0 |
2,707 |
4,473 |
4,193 |
3,865 |
|
0,5 |
2,0 |
1,733 |
4,407 |
1,820 |
4,077 |
1,0 |
2,0 |
4,663 |
7,321 |
8,005 |
7,094 |
|
1,0 |
0,25 |
0,725 |
2,427 |
0,802 |
2,216 |
2,0 |
0,25 |
2,381 |
3,245 |
3,117 |
2,340 |
|
1.0 |
0.5 |
1,033 |
3,184 |
1,093 |
2,940 |
2,0 |
0,5 |
3,091 |
4,860 |
4,579 |
4,197 |
|
1,0 |
1.0 |
1,772 |
4,634 |
1,863 |
4,284 |
2.0 |
1,0 |
4,978 |
7,742 |
8,693 |
7,262 |
|
1,0 |
2.0 |
3,393 |
7,474 |
3,672 |
6.799 |
2,0 |
2,0 |
8,399 |
14,453 |
11,051 |
14,103 |
пользуются методы нелинейного программирования, опи санные в § 3-5.
В области больших времен оптимизация по критерию тахти производится с помощью полиномов
di—fi(gu |
g2, d2); |
(3-14) |
|
tn=fz(gu gz, |
d2) |
(3-15) |
|
при условии |
|
|
|
Д+ = Д 3+. |
(3-16) |
||
Если имеется больше |
двух |
параметров |
коррекции, |
то применяется любой из градиентных методов отыска ния шахтп с ограничением типа равенства (3-16). В слу чае двух параметров коррекции Xi и х2 процесс оптими
зации может быть значительно упрощен. При выбранном
начальном значении параметра |
решается уравнение |
|
dt |
х 2) — ft [^Г, (*1(0), х 2), g2(xft), Хг), [^2(л:}0), х 2)] = 0 |
и находится значение х \ , при котором выполнено усло
вие ^3-16). По полиному (3-15) определяется /*0) и нахо-
119
д й т с я |
t ^ W b t . Затем |
аналогичная процедура выпол- |
няется |
для x * ' = x f > + L x » |
находится т^1) и т. д. |
Изменение Xi производится в направлении возраста*
ния ти до тех пор, пока длительность импульса не начнет убывать. Тогда любым численным методом (параболиче ской аппроксимацией, методом хорд и др.) уточняется значение максимума. Использование аналитического ограничения (3-14) вместо расчета переходного процес са значительно упрощает и ускоряет оптимизацию.
б) Частотная область
Для систем третьего порядка с одним параметром коррекции при аппроксимации по Тейлору можно выпол нить лишь одно условие A i= B i. В [42] для таких харак
теристик используется термин «частотная характеристи ка, близкая к оптимальной». Получить равноволновую или монотонную оптимальную характеристику в этом случае также невозможно. В то же время увеличением параметра коррекции можно добиться подъема АЧХ и расширения полосы пропускания. Для определения оп тимальных параметров в этом случае используются по линомы (3-12) при МмаКс = 1,05, 1,1, 1,2 с ограничением Ммин^2—Ммакс- Такая зависимость определяет все воз можные сочетания параметров gi, g2, du dz, при которых
подъем АЧХ имеет заданную величину. Она включает в себя значения параметров, обеспечивающих равновол новую АЧХ с заданной неравномерностью, АЧХ, у кото рых A i= B t или Az=Bz, и т. д.
Если в схеме имеется лишь один параметр коррек ции, то выражение (3-12) представляет собой уравнение с одним неизвестным — искомым параметром. Если же параметров коррекции два, то формула (3-12) устанав ливает функциональную зависимость между ними и по зволяет по выбранному значению одного параметра находить второй при заданном Мийкс. Эту зависимость
можно использовать для нахождения оптимума по чув ствительности, полосе пропускания, допустимым фазо вым искажениям и т. п.
При оптимизации по какому-либо критерию в частот ной области на АЧХ накладывается ограничение |АЛ4|^а, которое можно представить в виде Ммакс^ г$Г'1+а, Мыш^Х—а. Оба эти ограничения в системе
120