книги / Микропроцессорное управление технологическими процессами в радиоэлектронике
..pdfк с м атри ц ей -оп ератором |
|
|
|
Л(/) = |
° |
2 |
\ |
|
|
|
Это уравнение имеет вид
-srto* w )= A <t)(y>w) + t.
Представим матрицу |
А (/) суммой двух матриц |
Л (0 = Л1 » - Ь Л 2 (0, |
где |
Для использования метода Т-произведений по строим эволюционный оператор и (tt т) для оператора А (0 через эволюционные операторы v (t, т) и W (t, т) операторов (/) и А2 (0- Эволюционный оператор и (t, т) для оператора A (t) выражается через эволю ционные операторы W и а по формуле
N
и (/, т) = lim П IF
N•*0Оi=l
где ^ — точки разбиения интервала [т, (] на iV равных интервалов U*_i, /,].
Зафиксировав /V и отбросив lim, получим прибли женное решение однородной системы, отвечающее си стеме (3.30). Рассмотрим уравнения z = Atz; г' —
— А2г.
81
Исследование уравнения г' = Ахг. Нахождение группы W сводится к решению уравнения
а.. дЧ
dt v ~ tki~d& ~'
где kf = У Щ Щ ,
с нулевыми граничными условиями L20J. Опуская выкладки, получаем
НМ*. *>(«. о) - |
К |
-J- J (J! (/ — Т, Z) и (Z) dz + |
||||||||
|
|
_ _ _ |
|
/ |
|
|
2 а |
|
|
|
+ У т" I T |
I° 2 |
—*’ xz^j a v ^ |
d%dadz> |
|||||||
__ |
/ |
|
|
|
|
|
|
__ |
I |
|
V ^‘r |
| |
G»(i — т> *• * ) “ ( * ) * + |
1//^ г |
J |
^ — |
|||||
|
|
— «и, х, z) ^ |
v (т) dxdadz), |
|
(3.31) |
|||||
|
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
где функции Gt — суммы сходящихся рядов: |
|
|||||||||
О, |
|
|
|
ял |
sin ял |
___ я2п‘ |
|
|||
(ft х. z) = Ssin, s in - ^ x - ^ x c o s ^ - f t |
||||||||||
|
|
|
п = \ |
|
|
|
|
|
|
|
Ga (ft х, z) = |
|
|
яп |
sin яп |
x sin |
ft |
||||
£ sin - if - г - |
= |
|||||||||
|
|
|
n=l |
|
|
|
|
|
|
|
C,(ft x, г ) ------2 |
n2 Sin |
zsin - y - x.sin X |
|
|||||||
G4 (ft x, z) = |
^ |
ns sin - y - z sin —у |
x cos |
Я2Л2 |
||||||
J2 |
n=l
82
Исследование уравнения z' — Агг. Чтобы получить решение однородной системы (3.30), рассмотрим рм р-
сто г' = А 2г систему dy/dt = W (t)
на интервале 1т, t\ с условиями у (т) = у0\ W(т) = Ц70. После редукции к задаче Коши уравнения
= |
H D - g r |
(3.32) |
|
с начальными условиями у (0, х) = |
у0 (х); W\ (0, х) = |
||
= W0 (х) и нулевыми |
граничными |
условиями |
полу |
чим решение уравнения (3.32) методами характери стик в виде
У(I» х) ---- у0 (х |
(о — v) |) -j----i — у0 (х -f |
|||
|
+ ( e - o ) i ) - - E - |
} |
* , ( « ) * + |
|
|
|
x+ia-vft |
0 |
|
|
|
_ |
|
|
|
+ -W |
1 |
W„(s)ds, |
|
|
|
и |
|
|
где у0 и |
являются продолжениями функций у0 и W0 |
с интервала [0, /] на более широкий интервал по фор
муле а -> а. |
|
|
|
|
|
Преобразование а |
|
а описывается |
следующим |
||
образом: |
|
|
|
|
|
а (х ) |
|
п р и 0 ^ л :< 7 ; |
|
||
у-\- а v — а |
\ |
при / |
+ а |
|
*. Л. |
—:— х |
|
|
< х ^ 0; |
||
-J- a |
) г |
и — а ^ |
^ |
в ( * ) = |
v + а |
(<+Й<— о) |
--i-- <- |
|
|
|
|
при 1 ^ х ^ / - |
(3.33)
о—a l. ■
v-\-a
83
Если необходимо получить решение уравнения
(3.32) |
на всей полуоси t |
О, следует продлить функ |
|
ции у0 и Wo с интервала |
для |
х в (3.33) на всю ось |
|
— оо < |
х < оо по следующим |
правилам: на полуось |
х0 функция а продолжается периодически с от
резка ^0, / — на полуось х ^ 0 функция а
продолжается периодически с отрезка р ,
Обозначим соответствующую группу операторов через vQ(t, т). Решение неоднородной системы
запишем через группу v0 {t, т) с помощью интеграла Дюамеля
|
|
t |
|
v(t, х) = |
»„(*, х)(у0, W„) + |
j v0(t, v)/ (v)dv, |
|
|
|
X |
|
где / (v) такая |
функция на отрезке |
[0 /] при каждом |
|
фиксированном v, что / (v) (х) = |
/ (v, х). |
||
Итак, приближенное решение |
задачи (3.28) и |
(3.29) имеет вид у (/, л), где у (it, х) — первая функция
в паре функций {у (t, х)> |
W (t, *)), которая находится |
по формуле |
|
(У, W) = П |
)v (th ti—j) (ф, ф), |
i=\ |
|
где Wt и v определены раньше.
3.3. МОДЕЛИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ, ОПИСЫВАЕМЫХ УРАВНЕНИЯМИ ТИПА ДВИЖУЩЕЙСЯ ЛЕНТЫ
Неоднородные дифференциальные уравнения с по стоянными коэффициентами* Рассмотрим поперечные колебания движущейся ленты (мембраны). Обозначим
14
ширину ленты через у0. а расстояние между валками агрегата (навивки магнитных лент, целлюлозно-бу мажного производства, навивки конденсаторов и др.)
через |
/. |
|
|
|
|
|
|
Уравнение, |
описывающее |
поперечные |
колебания |
||||
такой |
мембраны, |
имеет |
вид |
[13] |
|
|
|
. о |
д2и . |
2 |
г |
О |
дЧ |
п , |
Л |
- |
t ,)'§i5' + |
a |
э ^ + |
2а"двг— д г |
* ~ |
о . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.34) |
где и (х, у, t) — отклонение точки мембраны с коорди натами х и у в момент времени t от положения равно
весия (покоя) |
при и = |
0; |
v — постоянная линейная |
скорость протяжки ленты в направлении оси х; F (.х, |
|||
у, t) — распределенное |
по |
поверхности мембраны и |
|
во времени внешнее воздействие. |
|||
Рассмотрим |
решение однородного уравнения |
||
дЧ |
дЧ |
+ |
дЧ |
(ва — О2) a jr + |
Т 1 Г - 0 . (3.35) |
удовлетворяющего нулевым граничным условиям
и (х, 0, 0 «= и (X, yot t) = и (0, у, о = и (/, у, t)~ 0.
Найдем решение этой задачи в виде |
|
(3.36) |
||
|
|
|||
« (*, уУО = |
2 Дтп [фтл ( * , </) COS |
— |
|
|
““ ‘фтл (х% |/) Sill |
*Ь |
Ьтп [фтл (Ху У) COS |
"f* |
|
|
|
т,л=1 |
|
|
+ |
Фтл (Ху У ) Sin Qm ntb |
|
|
где ат/1, Ьт/1 — обобщенные коэффициенты Фурье (обобщенность появляется из-за использования разложений в ряды по неортогональным системам
функций).
U
Запишем функции q>mn и фтл
фетл = |
(sin ©1т п * |
+ |
sin ©2тл*) siП — |
у \ |
|
|||||
фтл = |
(COS (DimnX + |
COS©2тпХ) S m - ~ - y , |
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а2 — V2 |
п п |
1 1 |
a + v |
М |
a -f-г ): |
|||||
©Imn = 4 (а2 + v2) |
Уо |
\мтп |
а — и |
/У1тп |
||||||
а2 — v2 пп |
|
|
а-+-« |
|
1 |
S)' |
||||
© 2тл — ■4 ( a 2 + и2) |
Уо |
|
|
а — v |
Мтп |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.39) |
Мт« = |
^ |
r [ |
( a |
a + t» 8) |
| / |
| - |
^ - |
+ |
1 + |
|
+ |
1 |
/ " ^ |
+ |
о4) 4 - |
^ |
- + |
4 a V |
] • |
|
Определим коэффициенты йШя из формулы (3.37)
й/лл---- |
gy— (®1дая “Ь ®2тл)> |
(3.40) |
Рассмотрим решение неоднородного уравнения (3.34) с граничными условиями (3.36) через функцию влияния е (ху уу tt £, г|, т). Воспользуемся методом, изложенным в работе [30]. Искомая функция и (ху у% t) имеет вид
I Уо t
и(Ху Ууt) = Jd g J dri ^ e (•«» У* 6» Ш * — x)F(£, TbT)cfo
0 . 0 0
(эта формула совпадает с использованным ранее ин тегралом Дюамеля). :
Функция |
влияния |
е (х, |
у, |
|
г); |
t — т) является |
|||
решением уравнения |
|
|
|
|
|
|
|||
( ф |
|
у2\ |
|
. |
ф |
дН |
I |
nv |
д2е |
|
|
о е |
° *> |
||||||
'а |
|
U ' |
дх* |
' |
а |
л.,гдуъ |
+ |
* v |
д„д/дхд( |
а*р |
б (X- |
1) б (у - |
У]) 6 ( t - т), (3.41) |
||||||
----- |
ж |
= |
удовлетворяющим пулевым граничным и начальным условиям.
Представим |
е разложением |
вида |
|
|
|
|||
8 (я» £/» |
Tj, /) = |
00 |
|
|
|
|
||
r/l,n=l jj^mn sin 2n —j“ # X |
|
|||||||
X sin я |
Уо |
у cos Qmnt + Bmnsin 2 n ^ x x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
x |
sin л ~ - y s m Q mnt I + |
[Cm„cosQm„* + |
|
|||||
-|- Dmn sin Qmnt] cos 2JI -—J - X sin n |
, |
|
||||||
где согласно уравнению (3.40) |
|
|
|
|
||||
Ь&тп — |
Ф — уа |
|
(й2тп) — |
С1Л 1 |
Г |
тг . |
п* |
|
2 у ------\(£>\тп “ Г |
/ |
----- 1— |
- j - . |
|||||
Подставляя |
разложение (3.42) в |
уравнение (3.41) |
||||||
и используя ортогональность системы функций |
||||||||
(sin п — х sin п — - */Г |
в прямоугольнике |
|||||||
I |
|
|
Уо |
Jm,n=l |
|
|
|
|
со сторонами / и г/0, получаем систему уравнений,
87
решение которой дает следующие формулы: |
|
||||||||
|
|
|
. |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
— sin л;!—- п |
|
|
|
|
||
Лга' " = |
|
я ч Т т(1 - |
|
(cos 2 я - г ? sin ая,п* |
+ |
||||
|
|
|
+ а тп sin 2n |
~ l |
cos Qт „т); |
|
|||
|
sin п |
|
|
|
|
|
|
||
В,тя |
л*Ыт (1 ■у° 2 |
' |
(—<х„,„ sin 2п -у- S X |
|
|||||
X sin йш„т + |
cos 2п |
|
1 cos Й„,„т); |
|
|
||||
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
sin я ---- и |
|
|
|
|
|
|
||
Cmtt |
|
|
—-----[sin |
|
sin Qmnt — |
|
|||
я>Ы тО -<4,п)\ |
|
|
|
(3.43) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— Ctmn COS 2Л |
j i COS |
|
|
|
|
|
|||
|
— sin |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
л — = T| |
|
|
|
|
|
|||
Dmn = |
~Г~. |
|
^ 2 |
Г ( |
C ®S |
~T ^ |
^ |
|
|
|
n2vlm |
(1 — a^ n) |
\ |
|
1 |
|
|
||
X sin QmnT + sin 2л -у- 6cos QOTrtTj |
|
|
|||||||
(m, л = |
1, 2, |
. . . ) . |
|
|
|
|
|
|
|
Искомую функцию Грина е представим в виде |
|||||||||
суммы |
|
е (я, у, |
£, т), t — т) = е0 + |
®1» |
|
||||
где |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е0 =* S |
Ic nC0S^«(^ — T )-b a nsin fl„p — т)] X |
||||||||
|
п=] |
|
X sin л |
у sin я |
д; |
(3.44) |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Уо |
|
Ул |
|
|
к
61 яаи/ S |
т а —а2 ЪГ^п 2л-р(д: — ^sinQ^y, х |
||
m=l |
' 1 ^mn' |
L |
|
п=1 |
|
|
|
X (t — T) — |
cos 2л -2- (x — I) cos Qm„ (<— x)J х |
||
|
X sin — - у sin п — т]. |
(3.45) |
|
|
Уо |
#о |
|
Определим коэффициенты Сп и а„ с учетом нуле вых граничных условий для функции влияния
л / ~ \ + J L - ! L s i n i l !
С„(Ю = |
n*vy0 |
V |
У |
|
‘Л |
т2 |
° |
|
|
|
|
“ ‘ « • - “tan) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
X | a mn cos |
|
i |
cos Qm„ |
+ |
Sin |
2лт |
,I sin Qm„ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.46) |
|
|
|
|
sin -^-Q „ |
|
|
|
||
« „ (g ) e |
_ |
2 |
^ V |
------- — |
(sin * L |
m | X |
|
||
X COS |
|
Qrnn— Ot/wi COS —p- m l sin |
2»m)> |
||||||
|
|
|
(л — I* 2, . • • )* |
|
|
(3.47) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q „.= a — |
n; |
|
|
|
|
||
О |
|
|
f |
m* |
-L "* • |
|
|
(3.48) |
|
йт,п = |
ал j / |
-p- + |
-^> |
|
|
||||
|
лит |
|
|
|
|
|
|
||
“ m'n = |
I |
T |
: |
4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И
Рассмотрим задачу (3.34), (3.36) с начальными дан ными
(3.49)
Она решается приближенно методом 7"-произведе- ний. В качестве фазового используем гильбертово пространство пар функций
Ж = W?((0, I) х (0, у,)) X М (0 ,0 X (0, у))
(первый сомножитель соответствует мгновенным по ложениям мембраны, второй — ее мгновенным ско ростям).
Далее в пространстве УС выделим подпространство X состоящее из пар функций (и0, Н?0), таких, что
и0е w\ «о. i) х (о, |
i/0)), w „e L 2 ((о, о х |
(о, |
</» и |
и0 = 0 на границе прямоугольника (0, /) х |
(0, у0). |
||
Начально-краевая |
задача (3.34), (3.36) |
и |
(3.49) |
порождает в УС следующую задачу Коши для вектор-
функции и со значениями в пространстве УС, которая имеет в УС компоненты (w, W):
— Аи-\- Bw,
|
|
(3.50) |
|
“ (0) = |
«о, |
где оператор А, |
неограниченный в пространстве УС |
|
с областью определения |
плотной в УСо, описываемый |
|
правилом |
|
|
А («„, W,) = |
(Г0, (а> |
+ |
90