книги / Микропроцессорное управление технологическими процессами в радиоэлектронике
..pdfгде нелинейный оператор А действует по правилу
AW = |
А {у, 2, т) = |
(— 2, 2 v (i) - ~ z (t , х) — |
||
|
— (а2(т) — v2(т)) у (*, х), — 1); |
|
||
|
|
и (/, а:) = (0, и (t, х), 0), |
|
|
а начально-краевые условия |
|
|||
y(t, |
0) = |
*/(/, /) = |
z(t, 0) = z(U / ) = |
0; |
у (0, |
л;) = |
у„(х); |
г (0, х) — 2 (х)\ |
(4.18) |
т (0 , |
х) = |
0. |
|
|
Рассмотрим |
управляемость системы, |
когда и (/, |
х) — всевозможные функции от х} равные нулю на интервалах [0 , а] и [р, /] (0 ^ а < р [) при каж дом фиксированном t. Применим для этого подалгебру Ли [243, полученную в виде постоянных отображений
влда W |
ф, где ф = |
(0, |
0); ЧГ — функции от х, |
|||||
равные нулю на 10, a] |
U |
[р, |
/], и отображений W -+ |
|||||
-> A (W). Поскольку из правила составления скобки |
||||||||
Ли [•, • ] |
следует, |
что |
[ф1э |
ф2] = |
0, |
то достаточно |
||
iaccMOTpeTb |
скобки |
Ли |
вида |
[ф, |
А] |
и их итерации |
||
f |
|
\А [Ау фх]] и т. д. Скобка Ли [ср, А\ дает |
||||||
Ф1 [ф2, А)), |
||||||||
нелинейное |
|
отображение |
вида W |
DA {Щ ф, где |
D — производная Фреше отображения W-*■ A (W) в точке W [24]. В рассматриваемом случае
1<Р. А] (Г )= DA (W)(0, V, 0) = ( - V, 2о (т) +
Опуская громоздкие выкладки, связанные с вычис лением итераций скобок Ли, записываем фактор-урав нение, которое после обратного преобразования к
141
линейной неавтономной системе имеет вид
(-W+ v w -srjУ('• * ) - |
-д*У~4- Х) |
=0 |
М-»9) |
|||
с граничными условиями |
|
|
|
|||
y(t, |
0) = |
y(t, I) = yt{t, 0) = |
у ,(t, l) = |
0; \ |
|
|
у (О, х) = |
у0 (х); |
|
| |
(4.20) |
||
У>(0, х) = |
г0(х). |
|
) |
|
||
В этом случае в отличие от уравнений (4.13) и |
||||||
(4.14) |
х |
пробегает лишь объединение |
интервалов |
|||
[О, a] |
U |
[р, /1 так, что граничные условия заданы лишь |
на части границы; в точках а и р — свободный режим. Аналогично тому, как это сделано для случая с по стоянными коэффициентами, и опуская вычисления, покажем, что для любого состояния (ylt 2Х) в фазовом пространстве системы уравнений (4.19) и (4.20) суще
ствует решение у (t, х) |
в момент времени t0 такое, что |
|||
У (0, х) у0\ |
у\ (0, |
х) |
= |
г0 и у (t0, х) = yl9 yt (t0, х) = |
= гх (х)\ ( |
* £ [0, |
a] |
U |
[а, р]). |
Поэтому из теоремы 1 работы [42] вытекает справед ливость следующей теоремы.
Теорема 10. Пусть для управляемой системы, опи сываемой начально-краевой задачей (4.13) и (4.14), управления u(t, х) — всевозможные функции, отлич ные при каждом фиксированном t от нуля лишь на ин тервале [а, р] с [0, /] (ненулевой длины). Тогда система (4.13) и (4.14) полностью управляема, т. е. любое состояние (ylt Zj) в ее фазовом пространстве
U?2 [0 , /] ® L2 [0, /] сколь угодно хорошо приближа ется решениями (4.13) и (4.14) с допустимыми и (t, х) в правой части уравнения (4.13) из любого началь ного состояния (у0, z0).
142
4.2. УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ, ОПИСЫВАЮЩИМИСЯ УРАВНЕНИЯМИ ТИПА ДВИЖУЩЕЙСЯ ЛЕНТЫ
Исследуем управляемость системы, описываемой урав нением
|
дЧ |
дЧ |
дЧ |
дЧ |
__ |
(а2 — v2) |
дх2 |
ду2 + 2v |
dxdt |
d*a |
“ |
|
|
= F {x ,y ,f). |
|
|
(4.21) |
Метод решения такой системы рассмотрен в гл. 2. |
|||||
Будем считать, |
что при каждом фиксированном t |
||||
функция /*'(-, •, |
/) (как функция отх и у) равна нулю |
||||
вне некоторой области Q нулевой площади, принадле |
|||||
жащей прямоугольнику [0, /] х |
[0, у0], |
в |
котором |
||
изменяются |
переменные х и у. |
Снова |
используем |
методику построения фактор-операторов. Для этого
представим уравнение (4.21) в виде системы |
эволю |
ционных уравнений |
|
W) = A(uw) + F, |
(4.22) |
где оператор А действует в сумме гильбертовых про
странств W1 ([0, /1 х |
[0, у0]) © L2 ((0, |
/] х 10, у0]) |
по следующему правилу: |
|
|
А(и, W) =[ W, (a’ - |
f 2) - ^ r + a, - g - |
+ Ь - Щ] |
и F = (О, F).
Вычисляя, как и ранее, действие оператора Л*на элементы вида (О, /*), убеждаемся, что замкнутая в
W2 ф L2 линейная оболочка векторов вида AkF при
k = О, 1, 2, ... в случае, если F — всевозможные функции вида (О, F), равные нулю вне Q, совпадают с
подпространством функций в W2\ + L2, обращающих ся в нуль вне Й, причем первая компонента становит ся отличной от нуля. Применяя далее к уравнению (4.21), рассматриваемому одновременно с начально-
143
краевой задачей (3.36) и (3.49), методику построения фактор-уравнения и опуская выкладки, замечаем, что фактор-пространством является пространство
W'v (£У) ф Ц (&'), |
где |
Q' — дополнение в |
прямо |
|||||
угольнике [0, |
/] х |
[0, уп] к области Q. Для |
простоты |
|||||
будем предполагать, что Q — связанная область, гра |
||||||||
ница |
которой, |
обозначаемая далее |
через |
Г, пере |
||||
секается с границей прямоугольника 10, /] |
х |
10, у0] |
||||||
по множеству Г'. Совпадение Г с границей |
прямо |
|||||||
угольника [0, |
/] х [0 , у0] |
аналогично |
рассмотрению |
|||||
управлений, |
принимающих |
всевозможные |
значения |
|||||
(при фиксированном t) |
в L 2, а в этом случае полная |
|||||||
управляемость очевидна. Рассмотрим случай |
Г Ф Г'. |
|||||||
Обозначим через |
Г" дополнение Г \ |
Г' Ф |
Ф. Запи |
шем фактор-систему первого порядка по /, которая после обратной замены эквивалентна уравнению
(а2— v2) |
д*и |
д2и |
4- 2v |
д*и |
- ^ - = 0, (4.23) |
дх2 + |
Я2~дуг |
dxdt |
где (х, у) в Q' и на границе области Q" заданы сле дующие условия: и (х, у) = 0 при (х, у) 6 Г'. По скольку на непустом множестве Г", принадлежащем границе, краевые условия не заданы, то снова, исполь зуя ранее применявшуюся методику, можно показать, что для всякой пары функций uv Wlt заданных в обла сти Q', и для всякого е > 0 можно найти также реше ние и уравнения (4.23), удовлетворяющее краевому условию и = 0 на Г ' и начальным условиям и (0, xf
у) — |
-щ- (0 , х, у) =* |
W0t что при |
некотором t0 со |
блюдаются неравенства |
|
|
|
|
I и (*<» |
У) — « 1 I < |
е; |
|
|- З Г « и * . V ) - V i | < e . |
Поэтому из теоремы 1 работы [24] вытекает, что справедлива следующая теорема.
144
Теорема 1 1 . Пусть для управляемой системы, опи сываемой начально-краевой задачей (4.21), (3.36) и (3.49), управления F (t, х, у) — всевозможные функ ции, отличные при каждом фиксированном t от нуля лишь на подмножестве Q прямоугольника [0, 1] X
X10, у0] нулевой площади. Тогда система (4.21), (3.36)
и(3.49) полностью управляема, т. е. любое состояние
(иъ WJ в ее фазовом пространстве Wl ([О, I] х [О, УоЬ 0 Ц (10, /1 х [0, у0]) сколь угодно хорошо при ближается решениями (4.21), (3.36), (3.49) с допусти мыми F (/, х, у) в правой части уравнения (4.21) из любого начального состояния (w0, W0).
В заключение приведем формулу максимального времени, за которое гарантируется «успокоение» ма териала, т. е. его переводе нулевое состояние фазового пространства. Для упрощения предположим, что об ласть Q является прямоугольником [а, р] х 1а', Р'1,
где 0 < |
а < р < |
/, 0 < |
а ' < |
Р' < |
у0. |
|
Рассматривая |
решения фактор-уравнения |
(4.23) |
||||
и используя ту же методику, получаем |
|
|||||
tшах < |
|
|
|
а' |
М1 Г ~ ) - |
(4-24) |
m ax( - 7 = F |
a-\-v |
а |
Для более общей, чем прямоугольник, области Q эту формулу можно использовать для подсчета £гаах, взяв какой-либо прямоугольник la, р] X 1а', р'1, принадлежащий Q. ’
4 .3 . С И Н Т Е З |
У П Р А В Л Я Ю Щ Е Г О В О З Д Е Й С Т В И Я , |
К О М П Е Н С И Р У Ю Щ Е Г О В О З М У Щ Е Н И Я , |
|
В Х О Д Я Щ И Е |
В У Р А В Н Е Н И Я С Т Р У Н Ы И Л Е Н Т Ы |
В В И Д Е П Е Р Е М Е Н Н Ы Х К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т О В
При намотке на профильные каркасы в проводе воз никают продольные колебания, вызывающие гармо нические колебания его натяжения. В уравнении стру-
145
ны (3.20) появляется коэффициент а , зависящий в об щем случае от t. Возникает задача стабилизации на тяжения, т. е. задача синтеза такого управления и (/, я), при котором решение уравнения (3.20) совпа ло бы с решением соответствующего уравнения с по
стоянным а, средним по периоду функции а (*), если эта функция периодическая,
I |
т |
а = |
a(t) dt. |
|
о |
В этом случае внешнее гармоническое воздействие дает стабилизирующий эффект — гасит параметри ческие колебания системы. Важный практический случай описывается правой частью уравнения (3.3) вида / (я) sin Ш, где
2и0 |
х, |
|
I |
|
(4.25) |
/ ( * ) - ! |
|
|
2u0(1----у-). |
- ± - 1 < х < 1 . |
и0 — амплитуда отклонения середины струны. Используя результаты гл. 3. 3 по решению задачи
(4.20) и (4.21), можно показать, что искомое управле ние и (х, t), при котором решение неоднородного урав нения с переменным коэффициентом совпадает с соот ветствующим решением уравнения с постоянным коэффициентом, имеет вид
Ю|ьк
X sin* - — + - Д ~ sin |
sin* |
uk (x, t), |
146
гд е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«*(*■ |
о = |
“ 2w — v‘ -^?r- + |
2v |
d‘Fk |
|
||||||
dxdt |
|
||||||||||
|
Fk(x, 0 = |
2 ^<pt (A;)_fen[_ L 4ri6Wj x |
|
||||||||
|
|
|
&cos6ft |
, |
^ . |
|
|
|
|||
|
|
|
[ |
_ |
Q|~ |
(cQS |
|
— cos Qt) -f |
|
||
|
|
|
Q2 |
|
|
||||||
|
+ |
й 2 _ |
Q| |
(Я s*n ^ |
— Qsin Qkt)j -f |
|
|||||
4 - Q [cos (HikX — cos (o2kx -f kn -i-(sin со,Алг_ |
|||||||||||
|
i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
sin ® **>] [■ Б Г = % г(5,'п ‘V |
- |
- § - sinn<) + |
||||||||
|
|
+ |
a ^ - o f (cosй‘ * ~ |
cosQ<) : |
|
||||||
C |
1 |
|
a3 sin 2n ~ |
|
/ |
|
a3 sin3 for — |
|
|||
I_____________ a . |
|
_______ fl . |
’ |
||||||||
|
|
~г |
2я6п (a — a2) |
* |
k |
|
knv(a2 — D2) |
||||
Д* == б| -f Й; |
^ = “^7“ (fl2 ~ |
|
|
©ift = "T"(1— |
I |
||||||
|
co2A= = - ^ - ( l + - f ) |
|
( * = |
1, 2 ...). |
|
При использовании этого управления попереч ные колебания таковы, как если бы коэффициент а был постоянным и посередине струны была приложена точечная гармоническая нагрузка с частотой Q и амплитудой и0.
Рассмотрим случай граничных условий, учитываю щих натяжение на роликах. Решение соответствую щей начально-краевой задачи получено в гл. 3.3.
147
Найдем такую функцию иУчтобы решение начально краевой задачи
|
|
|
дЧ |
+ 2о |
|
ач |
|
= |
t)\ |
|
||
|
|
v2) - g fr |
dxdt |
|
|
|||||||
du |
- |
' ди |
I |
|
|
... |
|
|
|
|
(4.26) |
|
■ a r + ' - a r L - ® ^ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
м |
d i d |
. |
|
d \ |
I |
|
«-I |
du I |
|
|
||
at |
( at |
|
|
ax ) “ |I=0_ |
ax |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
w(0 , x) = |
ф(лс), |
lit (0, x) = |
ф (д;) |
|
||||||
совпадало с решением задачи |
|
|
|
|||||||||
О» |
|
рз у а8и |
I |
Оц |
дЧ |
|
дЧ |
= v ( * . o; |
|
|||
|
|
at* |
|
|||||||||
|
|
' Зхг |
+ |
Zv |
dxdt |
|
||||||
du . |
du |
I |
|
|
... |
|
|
|
|
(4.27) |
||
~аГ + |
0 I T |
L_, = ®(<): |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
и (0 , x) = |
ф (я); |
и) (0, х) = |
ф (*)> |
|
||||||
где |
|
1 |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
задана. |
а = -у |
Цa(t)dt\ функция у (х , /) заранее |
|||||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомое управление м |
(я, 0 |
получается |
по фор |
||||||||
муле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и (х , t) = (а2(0 — а 2) |
+ у (х, t). |
|
||||||||
Опуская |
вычисления, запишем |
|
|
|||||||||
|
и(х, 1) = |
у(х, |
t) + |
(а2 (/)>-- а 2)^Ф ;'Лх, 0 + |
||||||||
|
|
+ |
Ф а(*. |
о |
+ |
j |
ф з (*. t, t)d -c^ , |
|
М
где функции Ф, строят по следующему правилу, при котором используют разбиения на интервалы At и Вь введенные в гл. 3.3:
1) Ф г и , |
t) = |
i ( x |
+ |
(a — v )t )+ .i(x — (a + v)t), |
||||||
на |
интервале |
А0 — В0 X (г) = <р (г); |
|
|||||||
на интервале B^+i |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
EF |
|
ь. / |
|
EF |
\ |
т |
= |
с |
^ |
е |
“ |
! - |
С, j ( |
^ |
2‘ M )l(x)dt, |
|
где |
|
|
|
_ЕР |
|
|
|
, EF |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
EF е |
~ |
\ |
Q = |
ф (6*) - |
|||
Ci = |
ф |
|
(Ьк)ж ; |
|||||||
Фь) ~2k |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Мп2 |
M vn |
\ |
|
т ) + |
||
|
Ц 1 ) = (- |
|
|
2 |
■ )ф"(— |
|||||
|
|
|
|
. |
£“F ~ |
[ |
m \ |
|
|
|
|
|
|
|
+ - |
2- Ф ( - t T ) ; |
|
||||
на интервале Ak+i |
|
|
|
|
||||||
|
2 ) |
Ф„(д;) < ) = ^ - 1 -гг(1 (л: + (а — о)/) — |
||||||||
|
|
|
|
a + |
v |
— (a + |
v)f), |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
на интервале А0= В0 р (z) |
|
|
||||||||
на интервале Bk+i |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
, |
|
L t u |
t |
ЬЬ |
L i |
IS |
|
|
|
|
A |
. e— bt? + A |
j e - “ |
0 (x)dT- |
i - 0 W,
*1
149
где
е ю |
- - ( - ^ |
+ - т - ) * ' ( - * т г ) + |
||
+ - * - * Ю |
; * х — |
т - т г * |
||
|
L |
- I L - |
’ |
|
|
Ll - |
2m |
||
на интервале Ak+i |
|
|
|
|
Н и — |
r ( » ( ' - ? - ? ’ ) ( £ — «-) + |
функцию ф вычисляют на интервалах Ait В { по форму
лам |
(4.16) — (4.19). |
|
|
3) |
rtf i ........... ............... |
(a — р )(< — т)) — |
|
Ф ? (*, t, т) = 2(в!_„) V?(x + |
|||
|
l(a — v) |
|
|
|
2 (0 +t,) |
v * ( * - ( a + |
р> ( * ~ т » : |
на интервале А0 = |
В0 при произвольном т |
||
|
v? (z) = у, (т, г); |
|
|
на интервале Bk+i при произвольном т |
|||
|
v? (z) = |
v? (6J б *» (6fe” 2) — |
|
- ^ |
1 |
К |
^ |
<г~00® ^ + т£ -0 <г>’ |
|||
где |
|
z |
|
|
|
|
||
е®— (-¥-+ -¥-)*(-1 £)- |
||||||||
|
||||||||
, |
£ F |
|
|
, |
M m . |
Mv |
j - I L - |
|
+ |
“2Г 11’ ( ^ |
] * |
* i = ----- J - + |
' ~ |
||||
Li — 2m ’ |
1M