книги / Микропроцессорное управление технологическими процессами в радиоэлектронике
..pdfначальная температура |
|
|
||
|
Т (0, г) — JT*IJ) (г), |
(3.86) |
||
где Т * = const; |
ф (г) — заданное |
распределение тем |
||
ператур в верхнем сечении луковицы; |
|
|||
условие симметрии |
|
|
|
|
|
дТ |
|
|
(3.87) |
|
дг |
|
|
|
|
|
|
|
|
условие теплообмена |
на границе |
|
||
- |
К 4£- = |
а \Т - |
(ж)], |
(3.88) |
где п — направление внешней нормали к поверхности; а — коэффициент теплоотдачи; Ттт (х) — распреде ление температуры источника нагрева вдоль оси лу ковицы;
конечная температура
Г (х к,г) = Гв, |
(3.89) |
где Тв — температура окружающей среды (воздуха); хк — осевая координата нижнего сечения луковицы.
Общее решение ищем в виде линейной комбина ции.тепловых потенциалов простого и двойного слоев [28J
Т ( х , г ) = | <р (a) Q*da + j q>t (т|) - ^ - d t | + |
|
+ |
(3.90) |
L>t |
|
Первое слагаемое в правой части уравнения |
(3.90) |
представляет собой потенциал простого слоя, а сумма второго и третьего — потенциал двойного слоя. Вхо дящие в подынтегральные выражения функции G* (х,
r> 1* Tl) и d(j* (х, г, |
ri)/d£ — ядра потенциалов |
|
ill |
простого и двойного слоев, зависящие от переменных интегрирования и параметров — координат точек за данной области; произвольные функции <р (а), ср3 (ц) и
Фз (т]) — плотности |
потенциалов: |
do — элемент дли |
||||||||||||
ны дуги |
заданного контура |
L; |
dr\ — элемент |
длины |
||||||||||
|
|
|
|
|
заданных контуров |
L 3 и |
La |
|||||||
|
|
|
|
|
(рис. |
5). |
Потенциал простого |
|||||||
|
|
|
|
|
слоя |
используется |
в дальней |
|||||||
|
|
|
|
|
шем для удовлетворения |
гра |
||||||||
|
|
|
|
|
ничным |
условиям |
на |
конту |
||||||
|
|
|
|
|
ре L, а потенциал двойного |
|||||||||
|
|
|
|
|
слоя—■ на контурах L x и L2. |
|||||||||
Рис. |
5. |
Схематическое |
С |
учетом |
свойств |
просто |
||||||||
го и двойного слоев |
|
[28] мож |
||||||||||||
изображение области лу |
|
|||||||||||||
но записать следующее |
выра |
|||||||||||||
ковицы |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
жение для |
производной |
от |
|||||||
температуры по нормали в произвольной |
точке кон |
|||||||||||||
тура |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дТ |
\ |
1 |
/ ч , |
Г |
/ ч dG* |
, |
г |
, |
. |
дЮ* |
, |
|||
157|ь = Т |
ч5(0«) + |
] ф (о)"айГ do + |
i |
4,1 (ч) арй7 + |
||||||||||
|
|
|
+ W |
4)W |
|
|
|
|
|
<3'91) |
||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя уравнение (3.91) в граничное условие теплообмена на контуре (3.88), получаем следующее граничное интегральное уравнение:
аТ |
(*) = ajjq>(а)G*da + ^ q>i(П)-Щ - + |
|||
+ { ? , |
to> ip K 7 A i] + |
^ - т ф (°») + |
[ ф <а > - £ - d 0 + |
|
|
Lt |
L| |
J |
(3-92) |
|
|
112
Граничные интегральные уравнения для конту ров L, и L2 имеют вид
Т *1|> (г,) = |
£ <р (<т) G*da + |
J <Pi (л) |
dy\ + |
||
+ |
~ |
<Pi (r0 + 1 |
щ (л) ~~щ~ ^л; |
(3.93) |
|
|
|
L |
|
|
|
т я = |
£ ч> (о) G*da + |
| |
<Pi (л )- ^ - <*Л + |
||
|
L |
|
t, |
|
|
+ |
f |
щ (Л) ■^ |
<*Л + 4- Фа ( г 2)- |
(3.94) |
В уравнениях (3.92) — (3.94) индексы «О», «I» и «2» при символах т]> а, г означают, что рассматриваются некоторые точки Л40, Mlt М% на контурах L, Lx и L2 соответственно. Неизвестные плотности потенциа лов можно определить из системы интегральных урав нений Фредгольма II рода (3.92) — (3.94). Ядро G (х, г, 6, г|) можно записать в следующем виде:
G* (х, г, I, п) = J A J0 (Ar) J 0(Лг)) g* (х, I, Л) dA, (3.95)
о
где J 0 — функция Бесселя I рода; g * (х, 5, Л) — функ циональное решение обыкновенного дифференциаль ного уравнения
Л)---- Л) _ дгд* (jt> Д) = |
0. (3,96) |
Л — некоторый параметр. |
|
Решая систему уравнений |
(3.92) — (3.94) отно |
сительно неизвестных плотностей потенциалов ср(а), <Pi (л) и ф2 (п) методом замены интегральных уравнений конечной системой линейных алгебраических урав нений [1 2 J и подставляя результаты решения в урав нение (3.90), получаем распределение температуры
113
|
|
|
для |
вытягиваемого |
волоконного |
|||||||||
|
|
|
световода вдоль оси (кривая 1) |
|||||||||||
|
|
|
при |
г = |
0 |
и |
на |
поверхности |
||||||
|
|
|
(кривая 2) при г = |
|
R, где R — |
|||||||||
|
|
|
радиус ВС, а также по попереч |
|||||||||||
|
|
|
ному |
сечению |
(у H G . |
6). |
Точка |
|||||||
|
|
|
х = |
5 |
см |
соответствует |
макси |
|||||||
|
|
|
муму |
температуры. |
|
|
|
|
||||||
т;с |
|
|
|
|
|
Преобразование урав |
||||||||
|
|
|
|
нений Навье — Стокса в |
||||||||||
*5 е м |
|
|
|
|
||||||||||
5SSD8 0 / |
|
|
|
|
интегродифференциаль - |
|||||||||
Г |
|
|
|
|
ные |
соотношения |
для |
|||||||
5 7 0 |
|
|
|
|
стационарных течений |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
ньютоновской жидкости |
|||||||||
|
|
|
|
|
с переменной вязкостью. |
|||||||||
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
|
уравнения |
|||||||
|
|
|
|
|
Навье — Стокса |
(3.83) и |
||||||||
Рис. 6. Распределение |
темпера |
(3.84) для |
задачи |
о вы |
||||||||||
тяжке |
волоконных |
све |
||||||||||||
туры для ВС вдоль оси и |
на |
товодов. |
На |
произволь |
||||||||||
поверхности (а) |
и |
по |
попереч- |
|||||||||||
ной |
бесконечно |
малой |
||||||||||||
ному сечению (б) |
для |
различ |
||||||||||||
ного отношения |
rlR |
|
|
площадке dS поверхнос |
||||||||||
|
|
|
|
|
ти 5 |
с внешней по отно |
||||||||
шению к рассматриваемому объему |
V нормалью п — |
|||||||||||||
= е% (|е1) —- декартов |
базис |
правой |
|
ориентации), |
||||||||||
действуют напряжения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Р п = |
{— Fn + М- f(/*V) v -f- V (vn)] }s. |
(3.97) |
||||||||||||
Сопоставим с уравнениями (3.83), (3.84) и (3.97) |
||||||||||||||
аналогичные |
соотношения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X(х) Аи + |
(VA.V) и + |
V {11Щ — Vq (х) + |
|
|
||||||||||
+ £ (*) = |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.98) |
||
Qn = {— qn + |
k [(«V)и -{- V (кл)]}з |
|
|
|
|
114
и запишем равенство
vg — uf = V {qv — ри + р (aVo -f Vvu) —
— 1 {vVuJr Vnu)) + 2 {X — p) {sp('Vw D* [o])), (3.99) где sp (у u D* lyl) — след. произведения тензоров;
{sp <V« |
D* [D])} = D* [u] ... и = -J- £ |
U l r f i r + |
||
|
i=l /=1 |
i \ |
i |
|
+ |
D* [v[ — тензор с компонентами ^ |
-f |
|
|
Зафиксируем внутри объема V произвольную точ |
||||
ку с |
радиусом-вектором у = ег1у1, |
выберем |
шар |
|
VHмалого радиуса е с центром в точке у и сферу, огра |
||||
ничивающую этот шар, S e. Обозначим г = |
| к — у |; |
dV — элементарный объем, равный dxx dx2 dx9l Поло
жим в уравнениях (3.98) |
и (3.99) \ |
(х) = р W. и ® |
|||
= ^ ( т -); Я = |
О- При этом для х £ (V \Ke)U S будут |
||||
справедливы |
равенства |
|
|
|
|
- i = (V ^ V )v (i-) + w ( i - ) v y |
|||||
Q„ = n[rtVv(-L) + |
w |
( 4 |
я)]; |
||
|
Г1Г1 I |
5 |
f |
дц |
3( Г ) |
|
- I T ) |
|
д" ( т ) |
QnP = 2|i 2 |
= 2n 2 0| - ЩM |
||
S v‘ni dxfiXj |
* _I |
* |
|
1 -1 |
l-l |
{-1 |
115 |
|
|
|
Проинтегрируем равенство (3.99) по объему V\VB и» воспользовавшись формулой Остроградского — Гаусса, получим
|
(*< — Уд Ifi W — 2vt (х) |
(х) — |
|||
— 2erl (VpVn)] dV — div^ я |
Рп (*) + 2» (*) |
Ф (х) |
|||
|
|
дп |
|||
|
|
|
|||
|
— 2 ц (x )v (x )-^ - |
dS |
= |
|
|
- 5 5 |
ДО-%Н |
* |
+* )+*‘и *]- |
||
+ |
-J- ^ (*) 0*(-*)) п, |
+ |
- J |
(х) dS = |
|
|
I |
|
8 s e |
|
|
|
|
+ |
Зи( (у) ^ - } Я |
ntn,dS + |
|
|
|
|
|
i > So |
|
+4яр(р) + 0(в).
Впоследнем выражении, полученном формулы Тейлора, учтем, что
2 |
dVjiy) |
= 0; |
дУ{ |
||
i=i |
|
|
(3.100)
с помощью
1 = /
* * ■ / , '
При в —► 0 объемный интеграл в левой части ра венства (3.100) оказывается равномерно и абсолютно сходящимся, при этом правая часть равенства (3.100)
имеет предел 4я 1р (у) — 2 v (у ) grad р (й1.
Ив
В результате получаем следующее выражение для гидродинамического давления:
Р (у) = ~ sr div | Ш |
If to — 2 (О M Дц (*) + |
|||
+ Vn(*)Vo(x))]'-4 |
|
?«<*) + й (*) Ф М |
I |
|
+ift |
|
|||
— 2ц (х) v (х) -jj- [ - j- ) | dS[ + 2о (у) grad ц (у). |
(3.101) |
|||
|
■(+)]• |
|
||
В соотношениях (3.98) и (3.99) примем |
|
|||
fc = м-о = const > |
0; |
g = |
e~k6(х — у)\ |
|
ч—ч*(*• Ш)= **4^.у* ; |
|
(3.102) |
||
|
|
|
|
|
Qn = OS = (— V |
+ |
Цо («Vit* + Vu*n)}j,xes> |
|
здесь б (x — у) — обобщенная функция Дирака; б* —
символ |
Кронекера; положительная постоянная р0 |
||
задана |
произвольно. |
|
|
Интегрируя выражение (3 .99) по объему V, запи |
|||
сываем для k = |
1 , 2 , 3: |
|
|
|
< Ш = ^ Ц ( х ) й ( х , у ) - |
|
|
— v (х) 2ц0 fsp (V«* D* [ti D) dv + j j {/’л W |
(*iF)— |
||
|
_ |
— 0 Й(ж. £ )?(*)) <*$. |
(3-l03) |
rge v (x )- (i»(x) — mj/ц,.
117
Очевидно, что постоянную р0 > 0 |
целесообразно |
|
выбрать такой, чтобы |
функция v (х) |
оказалась (в |
некотором условном смысле) минимальной. |
||
Функции ыА(х, у) можно расписать в виде |
||
И* (*. У) = |
rot rot («"Н |
при этом удобно отнести обе операции rot к независи мой переменной 'у. Три вещественные формулы (3.103) объединим в одну векторную
Snv {у) = — rot rot |
Ш 1 - — ч(х) ((VrV) v + |
|
( Д о - |
+ V (oV r))|dK + |
-o -|--n (w V r)Jd sJ + |
|
(3.104) |
Можно показать, что последняя формула эквива лентна комбинации из двух равенств
8яо (у) = — rot r o t j j j j ((VrV) о + V (t»Vr)) dV —
— J J [5 1 T -+-»(Vr3)] dS + |
2 grad J $ - 2 - dS |
; |
S |
5 |
' |
rot rot I ff f [/ (x) r — p (я) (VrVu H- VyVr)J dV +
+ J J ^ W r d s ] = 0 ,
111
Отсюда видно, что выбор значения р0 не может влиять на результаты расчетов с помощью получен ных формул (3.103) и (3.104). Поэтому справедливо утверждение: система уравнений Навье — Стокса рав носильна системе интегродифференииальных уравне ний (3.101) и (3.104).
Уравнения (3.101) и (3.104) преобразованы для осесимметричных течений. Вследствие громоздкости соответствующие выкладки опущены. Предельным пе реходом в выписанных урав нениях при стремлении точ
ки у к произвольной точке |
|
|
|
||
на |
границе рассматривае |
|
|
|
|
мой области получается си |
|
|
|
||
стема ГИУ. Граничные ус |
|
|
|
||
ловия на Lj и L2 приводят |
|
|
|
||
к интегральным |
уравнени |
|
|
|
|
ям Фредгольма 1 рода, а на |
ростн для ВС вдоль оси и на |
||||
L — к интегральным урав |
поверхности (а) и по по |
||||
нениям Фредгольма II рода |
перечному |
сечению (б) |
для |
||
с |
особенностями |
в ядрах |
различного |
отношения |
о (х, |
г)/о (х) |
|
|
|||
потенциалов. |
|
|
|
||
|
|
|
|
Можно рекомендовать следующий алгоритм реше ния этих уравнений. Первоначально решить задачу для процесса с постоянной вязкостью (х0, обеспечиваю
щей минимальность функции v (х). При этом можно
пренебречь членом с множителем v (х). Далее, предпо лагая постоянство напряжений на контурах L, и L2, можно перейти к системе интегральных уравнений II рода относительно неизвестных скоростей течения. Решение этой системы аналогично решению уравне ния энергии. Найденные скорости течений подставить
119
в отброшенный член, а распределение скоростей уточ нить с учетом переменной вязкости. Наконец, на основании кинематического условия на L (vn = 0) скорректировать контур и процесс повторить.
Распределение скорости для вытягиваемого воло конного световода вдоль оси (кривая /) при г = 0 ина поверхности (кривая 2) при г = R, где R — радиус ВС, а также по поперечному сечению показано на рис. 7 (v = / (х) — средняя скорость).
3.6. МОДЕЛИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА ФОРМОВАНИЯ СТЕКЛЯННЫХ ТРУБ
При анализе процессов формования стеклянных труб необходимо учитывать следующие факторы: поток стекломассы, тепловое движение по периметру стекло массы, распределения формовочного давления и уси лия вытяжки с учетом собственной массы стекломас сы и поверхностного натяжения стекломассы. Рас чет вязкого трения жидкого стекла сложен, требует большого времени и не дает точных зависимостей в широком диапазоне формования. Более прост и точен метод, описанный в работе [43], согласно которому процесс формования можно выразить простой зависи мостью между напряжением при растяжке и скоростью деформации вязкого тела при следующих упрощаю щих предпосылках: толщина стенки вытягиваемой трубы в ходе формования по сравнению с внутрен ним диаметром мала; напряжение при растяжении, вызванное формовочным давлением, по периметру трубы равномерно; стеклянная труба не ограничена ни в направлении вытяжки, ни по периметру; в про цессе формования трубы удельный вес уменьшения внутреннего диаметра равен удельному весу уменьше ния толщины стенок; формовочное давление в направ лении формования является постоянным; усилие вы-
ISO