книги / Микропроцессорное управление технологическими процессами в радиоэлектронике
..pdfПусть t0 и ?! — два последовательных нуля <р и <р'. Предположим для определенности, что <р (t0) = 0 и
ф' (/J = 0. |
Тогда можно принять а 0 = |
—— |
v* со0/0> |
Ф (0 = |
б е х р ( - 4 - ) з т [ 1^ Е |
* . (<_ |
<о)] . |
Из равенства ф' (^) = 0 получаем
Уа2— у2о)с
i^ c o s
|
"*[• |
У а2 — t>2 a |
|
|
|
|
Решая это уравнение относительно а, находим на |
||||||
тяжение на промежутке А/ = |
tx — 10 между корнями |
|||||
Ф (0 |
и ф ' (/). |
Для |
нахождения |
натяжения по после |
||
довательным |
нулям т0 и |
функции ф (0 , примем |
||||
/ = |
1/[4 (тх — т0)1. Тогда натяжение а2 является кор |
|||||
нем |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
4„ 2/2 _ |
(Q2 — р2)2 яа |
_ |
H(aa- t ;2)2 |
(2.42) |
|
|
' |
~~ |
а2/2 |
|
а4 |
|
|
|
|
, Уравнения (2.23) — (2.27), (2.31), (2.3 ) и (2.39) яв ляются основными для метода предельных интерва лов, по которым определяется функция Т {t) и оце нивается погрешность ее восстановления.
2.5. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕТОДА ПРЕДЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ
Решая задачу восстановления функции Т (t), счита ем, что Т (t) = Т0 при t < 0. Тогда из уравнения (2.13) имеем
«1 (0 — и0 sin W + 40» |
(2-43) |
51
|
|
где о)0 = |
2я/ 0— собствен |
|||
|
|
ная круговая частота ко |
||||
|
|
лебаний |
упругой |
си |
||
|
|
стемы. |
|
|
|
|
|
|
Для простоты примем |
||||
|
|
амплитуду колебаний и0 |
||||
|
|
единичной. Получаем на |
||||
|
|
чальное условие в |
виде: |
|||
|
|
«1 (0) = sin |
|
| |
||
|
|
и ' |
(0) |
= со0 COS 1J;.[ |
||
Рис. 2. Временная диаграмма |
|
|
|
|
(2.44) |
|
восстановления |
непрерывной |
Из |
уравнений |
(2.13) |
||
функции |
|
|||||
|
|
и (2.44) |
можно |
опреде |
||
лить функцию и (t), если известна функция |
Т (t). |
Пример 1. Зададим Т (() в виде пилообразной функции (рис. 2). Такой выбор функции позволит получить решения в
аналитическом виде. Функция |
Тх |
(£) > 0 непрерывна. Она опи |
||||
сывается |
линейными |
уравнениями |
|
|||
|
|Г 0 (1 + |
4bfTt), |
0 < / < 1 / ( 4 / г); |
|
||
Ti{t) = \T 0 (\ + |
2 b - 4 b fTt), |
l/(4/r ) < / < 3 / ( 4 / r ); |
(2.45) |
|||
|
[ 7 0 ( 1 - 4 6 - 4 6 / ^ , |
3/(4/г) < < < 1 / / г , |
|
|||
где Ъ= |
(Tmax — Т0)/Т0= |
(Г0 — Tmln)/T0; fT — частота измене |
||||
ния функции Т (0 (рис. |
2). |
|
|
|
||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= °- |
<246) |
Определить функцию Т (/) можно при любых k и р по фор мулам (2.23), (2.28) и (2.37). На каждом интервале уравнение (2.13) можно привести к уравнению Эйри заменой переменных
<р" = гф, |
(2.47) |
62
Решение задачи |
имеет |
вид |
|
|
|
ф| (0. |
0 < / < 1 / ( 4 / г); |
(2.48) |
|
Ф(0 = |
<р, (<). |
i/(4/r) < / < 3 / ( 4 / r); |
||
|
||||
|
Ф9 М, |
ЗЛ4/г) ^ / < 1 / / г . |
|
Рассмотрим интервал |
времени 0 < ( < l W |
r ) ' ФУНКЦИЯ |
||
ф (/) является |
решением следующей задачи Коши |
|||
|
ф! (О + “ о(1 + 4 /г0 Щ(0 = 0 |
(2.49) |
||
|
|
|||
с начальными |
условиями ф, (0) = sin ф; ф! (0) = |
©о cos ®ы’ |
||
полним замену переменных |
|
|
|
|
|
* = - V |
( 2n)2(l + 4ЫтП |
|
|
и получим |
|
|
|
|
|
Ф1(г) = гф, (2); |
|
|
|
|
Ф1 (— У(2л)2) = |
sin ф; |
(2.50) |
|
|
Ф1( ~ / (2я)а) = |
— / 2 я cos ф. |
|
Обозначим линейно-независимые решения уравнения Эйри через р (г), v (г). Эти функции и их производные при г < 0 вы ражаются, в свою очередь, через функции Бесселя
р ( - 0 ~ |
|
‘ M - ' i M l : |
|||
|
|
3 |
|
|
|
P 'i - n |
= |
V ^ - f y |
W + |
J> |
Wli |
|
|
" Г |
|
T |
(2.51) |
0 ( - ' ) |
= |
-5- ^ [J_ i . |
<*) + |
y s_ (*>li |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
* ( - 0 = |
-J- V * у ± |
W + |
JL |
(*)], |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
rAe x=" T fU'
58
Общее решение уравнения Эйри
Ф1 (я) =* С\Р(2) + W (г).
Положим ар = 0. Решая задачу (2.50), |
получаем |
|
Cf — —у^2я v —[— У (2п)ъ\\ с2 = |
|/"2я р [— Ъу (2л)2]. |
|
Поскольку р' (z) у (z) — р (г) о' (г) = 1, |
можно записать |
|
<Pi (Z) = — fa it \v[— Y (2л)2] р (г) — р [— |
(2я )а1у (г)). |
|
|
|
(2.52) |
Рассмотрим временную диаграмму |
(рис. 2), которая иллюст |
рирует метод предельных интервалов. При определении функции
Ф (*) |
регистрируются точки, соответствующие нулям функции |
Ф (z) |
и нулям ее производной ф' (z). В момент времени, соот |
ветствующий нулям функции ф (z) и ее производной ф' (г), фик
сируют предельные временные интервалы |
(f0, |
tt), |
(tv |
/а)* ••• |
|
...,(/*, tk+[), .... (<„_!, /п) и по одной |
из формулы (2.23), |
(2.28), |
|||
(2.37) определяют среднее значение |
Т (0 |
на |
этом |
интервале. |
|
Нули функций ф (г) и ф' (г) для |
рассматриваемой |
кривой |
Т (0 можно найти из таблиц функций Эйри с помощью ЭВМ. Пример 2. Рассчитаем функцию натяжения Т (t) методом
предельных интервалов (Ь — 0,5; с = 2; ф = 0):
В соответствии с расчетом на ЭВМ функция ф{ (z) в интер вале времени
г £ ^---- -- yf4яа , |
— yrin2j |
|
||||
обращается в нуль только |
в |
точке |
гг = —4,194, а |
функция |
||
фх (г) — только в точке г2 = |
—4,942. Этим |
значениям |
соответ |
|||
ствуют моменты времени |
= |
0,1 16//Г; |
t2 = |
0,226lfT. |
|
|
На интервале времени l/(4/r ) < i < |
3/(4/г) замена |
перемен |
||||
ных z — У Ш г (2fTt — 2) |
снова приводит |
к уравнению ф^ — |
= гф3. Начальные условия для ф, (г) получим, «сшивая» реше-
й
ния <рх (t) и ф2 (О в точке t = |
1/(4/г): |
* ( ^ г ) " ” ^ |
4я’>о ( - Т VW) - |
-P ( V
<P I ( - J ^ - ) = “ O [°< — Y b & )p '(—
—p { — V 4яа) o' | — Y j .
Из таблиц В. А. Фока находим
<Pi(i/(4/r)) =0,178 Y%i\ ф, (1/4/т-) = |
— 1,02CD0. |
|
|||||||
Для упрощения последующей записи заменим входящие в |
|||||||||
уравнения функции Эйри их табличными значениями |
|
||||||||
|
---- L ^ 4 5 5 < e < - - i - y " 5 ? ; |
|
|||||||
ф2 (г) - |
— Y i? [0,39» (г) + |
0,61» (г)]; |
|
||||||
нули Ф2 (г): гя = |
— 4,556; г6 = — 2,920; |
|
|||||||
нули |
ф2 (г): г4 = |
3,800; |
гв = |
— 1,953. |
|
||||
Соответствующие нм моменты (в единицах |
\/ff)’ |
.* |
|||||||
tA=* 0,4421; tb= |
-0,5714; |
= |
0,7136. |
При 3/(4/г) < 1^ |
Щт |
||||
замена переменных |
|
осуществляется |
уравнением |
|
|||||
|
|
г = — у/Г4я5 {2fjt— 1). |
|
|
|||||
Решение в этом случае имеет вид |
|
|
|
||||||
|
Фз (г) = 0,727р (г) + |
0,251ц (г); |
|
||||||
Фз (г) = |
0 |
при г7 в |
— 2,512; |
*,*= 0,869, |
|
||||
ф# (г) = |
0 |
при г8 = |
— 3,450; |
(в« |
1 *001 • |
|
65
Таблица 4
|
|
Т, (/) |
|
|
Г, (/) |
|
Г2 (0 |
|
с |
в при |
б при |
0 при |
Ь при |
|
б при |
||
|
Ь= 0,3 |
Ь= 0.5 |
Ъ=» 0,8 |
Ь= |
0,5 |
6 — 0,5 |
||
1 |
6.8 |
12 |
_ |
14,1 |
|
15.8 |
||
1.6. |
4.4 |
7.5 |
12,5 . |
9.4 |
|
10,8 |
||
2 |
3.5 |
5,9 |
10 |
|
7,2 |
|
8.4 |
|
2,8 |
2,7 |
4,5 |
8,2 |
5,4 |
|
5,7 |
||
3 |
2,4 |
4,4 |
8 |
|
5,2 |
|
5,5 |
|
4 |
1.9 |
3,3 |
6,4 |
4,1 |
|
4,1 |
||
б |
1.75 |
_ |
5,8 |
3,2 |
|
3,5 |
||
6 |
1,7 |
3,1 |
4.7 |
2,7 |
|
3,1 |
||
8 |
1.5 |
2,7 |
3,8 |
2,5 |
|
2,8 |
||
10 |
— |
2.3 |
“ |
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5 |
||
|
|
Г, (/) |
|
|
Га (t) |
|
Т, (i) |
|
|
fl при |
й при |
б при |
0 при |
|
б при |
||
|
с = 1.5 |
? = 2 |
с = |
2,8 |
с = |
? |
|
с = 2 |
0 |
7,5 |
5,9 |
4,5 |
7,2 |
|
8,4 |
||
я/6 |
_ |
5,7 |
— |
7,2 |
|
7,9 |
||
Я/4 |
8,3 |
6 |
4,6 |
7.4 |
|
7,7 |
||
Я/3 |
— |
6,2 |
— |
6,6 |
|
7.9 |
||
Я/2 |
7,3 |
6,55 |
4,7 |
7,4 |
|
7.8 |
||
2я/3 |
— |
5,8 |
— |
7,1 |
|
8,2 |
||
Зя/4 |
7.5 |
5,8 |
4*7 |
7,1 |
|
8,2 |
||
Л |
7,5 |
5,9 |
4.6 |
7,2 |
|
8.4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6 |
|
5 |
|
Г, (0 при |
|
|
|
г, (0 |
г, </) |
|
с = 1,6 |
с = 2 |
с = 2,8 |
с = |
6 |
с = |
2 |
с = 2 |
|
|
6 |
0 |
в |
б |
|
б |
б |
|
0,1 |
1,4 |
1,4 |
1,2 |
1,0 |
|
1,4 |
|
1,5 |
0 ,2 |
3,1 |
2,4 |
1,8 |
1,6 |
|
2,5 |
|
3,3 |
0,3 |
4,4 |
3.5 |
2,7 |
1,8 |
|
3,9 |
|
4,8 |
0,4 |
5,9 |
4,8 |
3,6 |
2,3 |
|
5,5 |
|
6,4 |
0,5 |
7,6 |
5,9 |
4,5 |
3,0 |
|
7,2 |
|
8,4 |
0 ,6 |
9,2 |
7,3 |
5,7 |
3,1 |
|
8 ,6 |
|
10,2 |
0,7 |
10,8 |
8 ,6 |
6,9 |
3,6 |
|
10,3 |
|
12,5 |
0 ,8 |
12,5 |
10,0 |
|
4,7 |
|
11,5 |
|
14,4 |
56
Аналогично |
рассчитаны функции и |
|
для |
других |
|
значений |
||||
Ь, с и |
ср. Для |
гармонической непрерывной функции |
|
|
|
|||||
|
|
Т’а (0 = Т0(\ + 6 |
sin (У), |
|
|
|
|
|
||
для функции, «сшитой» из пыли и синусоиды, |
|
l - |
|
|
|
|||||
|
Ts(t) = T0[l + &min (4,8/r/; |
sinM |
|
|
|
|||||
Точки «сшивания» форм кривых |
|
|
tc4 = |
|
|
|
||||
*ci = |
1 /№ ); |
3/(10/7); *с3 = 7/(10/г); |
4/(5/г ). |
|||||||
|
|
Решение такой задачи |
можно по* |
|||||||
|
|
лучить только |
численными |
методами. |
||||||
|
|
Точность |
воспроизведенной непрерыв |
|||||||
|
|
ной дифференцируемой |
функции Т (() |
|||||||
|
|
можно оценить |
сравнением |
среднего |
||||||
|
|
за интервал (/*, /ft+l) значения задан |
||||||||
|
|
ной функции |
Т (0 |
и |
значения |
этой |
||||
|
|
функции, |
вычисленной |
по |
|
одной из |
||||
|
|
формул (2.23), |
|
(2.28), |
(2.37) |
на |
этом |
|||
|
|
же интервале. |
Результаты этих |
вычи- |
гGsf,5 ~~7
// /
\Рис. 3. Зависимость точности воспроиз
N у
в ^
0 0,2 0,4 0,& Ь
в
ведения функции натяжения материала от параметра с при различном i и iji = = 0 (а), от разности фаз частоты собствен
ных колебаний (б) и |
от амплитуды пере |
|
менной составляющей |
при ф = |
0 (в): |
------ т, (« ;----------- тш(0 ; = - |
—Г, (/) |
67
слений для трех типов функций Т\ (f), Т5 (О, Тц (f) приведены в
табл. 4 и 6 |
для ф = 0 и в табл. 5 для b = 0,5. По этим данным |
|||
построены |
зависимости |
точности |
воспроизведения б |
методом |
предельных |
интервалов |
функций |
7\ (/)» Т2 (/), Тп (/) |
от пара |
метров с, ф и b (рис. 3). Анализируя эти характеристики, можно
сделать |
вывод, что применение метода предельных |
интерва |
лов для |
воспроизведения функции Т (t) значительно |
снижает |
точность ее воспроизведения при сравнимых частотах попереч ных колебаний упругой системы Tk и функции Т (*). Формулы (2.23), (2.28), (2.37) можно использовать для любых Ь%с и ф. Их применение ограничивается лишь точностью воспроизведе
ния функции Т (/). Даже при с = 2...3 погрешность |
имеет |
вполне допустимое значение (4— 10%). При дальнейшем |
росте |
с производная db/dc резко падает. Функция б (b) носит линей ный характер, причем влияние Ь на функцию б (б) особенно существенно при малых с.
Для функции б (ф) величина ф мало влияет на точность воспроизведения функции Т (().
Приведенные характеристики позволяют оценить точность метода предельных интервалов и определить предельную вели чину отношения fklfT, при котором функция Т (0 восстанавли
вается с требуемой точностью.
Глава 3
МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРОИЗВОДСТВА ЭЛЕМЕНТОВ РЭС
3.1. МОДЕЛИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ, ОПИСЫВАЕМЫХ УРАВНЕНИЯМИ ТИПА ДВИЖУЩЕЙСЯ СТРУНЫ
Однородные дифференциальные уравнения с постоян ными коэффициентами. В математических моделях этих технологических процессов движение упругого материала (провода) с линейной скоростью описы вается решением начально-краевых задач для эволю ционных уравнений, большей частью гиперболических.
Упрощение реальной ситуации, являющееся важ ным шагом в последующих более сложных моделях,
58
приводит к следующей начально-краевой задаче Г14]:
(-w ~ v ~ ^ J y « . |
* |
) |
- |
< * * |
* ) ; |
(3.1) |
у (<, 0) |
= |
у(<, |
0 = 0 ; |
|
(3.2) |
|
У (0, JC) = |
у0; |
у'(0. *) = |
Г „ |
(3.3) |
где / — расстояние между направляющими роликами; У (t, х) — отклонение струны от положения покоя в точке с координатой х в момент времени t\ а2 = 77р; Т — натяжение струны; р — линейная плотность ма териала.
Уравнение поперечных колебаний струны, дви жущейся с постоянной линейной скоростью у, без приложения внешних сил можно записать в виде
+ 5 ? — »• м
Если натяжение Т постоянно (намотка на цилинд рический каркас с постоянной угловой скоростью вращения каркаса или поводка), то и коэффициенты а и о в уравнении (3.4) постоянны. При намотке на профильные и цилиндрические каркасы при изменении угловой скорости (динамические режимы: пуск, пе реход из секции в секцию, торможение), а также при наличии инструментальных погрешностей механи ческих узлов (эксцентриситет и перекос направляющих роликов и др.) натяжение струны Т есть функция времени. Поэтому уравнение (3.4) содержит коэффи циенты a (t) и v (/) переменные по t.
Например, если намотка производится на квадрат ный каркас (сторона квадрата d), то натяжение струны
Т = Т0+ 7\ (1 — cosсо/)(1 — sin Ы),
69
где TQ— постоянная составляющая натяжения, за данная технологией намотки;
Тг |
4 |
E S\ |
|
|
' + ' 1 |
|
|
|
е = |
d2/ / i « 1; |
|
Е — модуль упругости; |
S = Jtd2/4 — площадь |
попе |
|
речного сечения струны; со — угловая скорость |
вра |
щения каркаса; / — расстояние между направляющи
ми роликами; |
— расстояние между роликом |
п кар |
||
касом. |
|
|
|
|
Следовательно, в |
этом случае |
|
||
= |
j / X |
+ T i |
(1 - coscoQ (1 — sin шг, |
|
Для уравнения (3.4) можно записать |
|
|||
|
у (0, |
к) = |
ф (х); |
|
|
у( (0, х) = |
ф (х); |
(3.5) |
|
|
y(U 0) = |
у(1У / ) = 0 . |
|
Наиболее просто явные |
решения уравнения |
для |
|
v = const и |
а — const можно получить методом |
ха |
|
рактеристик |
для общих |
гиперболических уравне |
ний [5]. При небольших значениях t применение этого метода дает удобные для вычисления формулы. Бу дем искать решение в виде
У(*, х) — ~ 2 |
Ф lx — (а + |
u)J I -f ~ |
ср [х -f (а — и) t] -f |
|||
I |
x+(a—v)t ^ |
|
|
x— a+v)t _ |
||
**“ 2 (а — и) |
J |
^ № dz |
2 (а + |
v) |
| |
^ ^ |
|
|
|
|
|
|
(3.6) |
где ф и ф — продолжение функций ф и ф с отрезка [0, /] на всю ось —оо < х < оо. Эти продолжения вы бирают так, чтобы при любом t > 0 выполнялись гра ничные условия (3.5).
60