книги / Статистическая механика композитных материалов
..pdfВ дальнейшем наряду с записью соотношений в ком понентах тензоров часто будет использоваться тензорная запись. В тензорной записи уравнения равновесия (2.2) имеют вид
у а + Ф = 0. |
(2.2') |
д |
Гам иль- |
Здесь y = i0 “n — дифференциальный оператор |
|
*^а |
|
тома; точка означает свертывание тензоров по соответст вующим составляющим (скалярное произведение). Опе рация, записываемая в виде у-, называется дивергенци ей (в данном случае тензора второго ранга а).
Уравнения (2 .2 ) с верхним индексом I при случайных величинах — макроскопические, а с верхним индексом II — микроструктурные. Под дифференцируемостью слу чайных напряжений здесь подразумевается дифференци руемость «почти всех» их реализаций (с точностью до множества реализаций нулевой меры).
Макрогладкость случайных функций. Поло случайной тензорной функции §(х). назовем макрогладкпм (в уз ком смысле), если при параллельном смещении всех то
чек на величину Д*х /г-точечная функция Fn(у) |
совмест |
||
ного распределения |
составляющих |
тензора |
§(х) при |
е ^ О изменяется на величину AFn (у) того же |
порядка |
||
малости. |
макрогладкости |
случайного тензора |
|
Из определения |
§(*) следует свойство локальной статистической однород
ности. Если все |
точки /г-точечной |
функции Fn(у) окру |
жить элементами |
dlV с линейными |
размерами первого |
цорядка малости |
и задать вектором dllx параллельный |
перенос этих точек на величину второго порядка малости Нпределах элементов dlV, то с точностью до величин выс шего порядка малости поле тензора ^(х) статистически
однородно. |
|
будем называть макро- |
||
Случайное поле тензора §(х) |
||||
сладким в широком |
смысле по |
отношению |
к функции |
|
1п(х) = <|(х) >, если |
при смещении |
точки |
М(х) тела |
|
1/„ заданном вектором dlxy функция |
гп(х) |
изменяется |
на величину dm(x) того же порядка малости.
Случайная функция |(х ), макрогладкая в узком смы сле, является макрогладкой также и в широком смысле. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: макро
4* |
51 |
гладкая в широком смысле случайная функция может и не быть макрогладкой в узком смысле.
В дальнейшем, если нет специальных оговорок, подра зумевается макрогладкость рассматриваемых функций в
узком смысле. |
, |
Поле случайной функции |(х ) детерминировано, если в |
|
любой точке М (х) тела V* дисперсия D|2) |
этой функции |
равна нулю. В случае детерминированного поля понятие о макрогладкости эквивалентно известному из математическо го анализа понятию о гладкости функции.
Эргодичность случайных напряжений. Допустим, что поле о(х) случайных напряжений однородно в широком смысле (п. 3 гл. 1). Выясним условия эргодичности слу чайной функции о(х) по отношению к моменту первого порядка (m = <o>= const относительно х).
Если г, — радиус корреляции случайной функции <т(х) или радиус области статистической зависимости, моментные функции второго порядка случайных напря жений удовлетворяют условиям
к и и (х, |
х ' ) = <о;.(х)о;.(х')> |
# |
0 , |
|х — х' |<г*;- |
|
= |
0 , |
|х — х '|> г * . |
|||
|
|
Справедливо следующее утверждение: чтобы стати стически однородное в широком смысле поле с(х) было эргодическим по отношению к моменту первого порядка m при конечном радиусе г*, необходимо и достаточно выполнить условие
lim |
— |
Г |
ГКт , (х, х') dS, dSl = 0 , |
(2.3) |
s i ~ * 00 |
S c |
J J |
|
|
|
|
( s |
i ) |
|
где Si — площади трех взаимно перпендикулярных сече ний (5f) тела К* с некоторыми конечными линейными размерами.
Согласно определению эргодичности, данному в п. 3 гл. 1 , справедливость утверждения будет доказана, если среднее значение напряжения а1;-, найденное путем осред нения по площадке S it детерминировано и равно началь ному моменту первого порядка mijt определенному в п. 1 гл. 2 на множестве реализаций в точках множества LM соответственных точек статистической модели.
Действительно, случайное среднее напряжение на
52
площадке Si, перпендикулярной оси Xi детерминирован ной системы координат (Xi):
|
= |
J - |
j аи (х) dSj, |
(2.4) |
|
|
|
‘ |
(Sf) |
|
|
имеет дисперсию |
|
|
|
|
|
|
D"i i = i r j |
j w |
* . |
x ')d s£ds; |
(2.5) |
|
(5,) |
|
|
|
|
Величина ти, по определению, |
детерминирована, |
а ве |
|||
личина |
случайна. Для нахождения т по формуле (2.4) |
||||
т. е. путем осреднения |
реализации случайных напряже |
ний Oij на одной площадке S* в одном теле V*, необходи мо потребовать, чтобы 0. Это условие необходимо и достаточно для того, чтобы величина ц*;/ была детерми нирована.
При конечном радиусе корреляции г* интеграл в пра вой части равенства (2.5) может быть равным нулю толь ко в пределе, т. е. при неограниченном увеличении площа ди Si: Si—>-оо. Это следует из основных свойств моментных функций второго порядка случайных функций.
Таким образом, условие |
D\i^ = 0 эквивалентно |
усло |
вию (2.3). |
(2.3) выполнено. Тогда |
ii;j = |
Допустим, что условие |
= Ра — детерминированная величина. Остается показать, что Pij = t?iij. Из формулы (2.4) находим
В общем случае напряжения Gij при фиксированном значении х заданы на множестве реализаций в соответст венных точках Mz(x) тел Vz модели У*, поскольку в этих точках заданы случайные силы (п. 1 гл. 2). Осредняем обе части равенства (2 .6 ) по множеству реализаций во всех точках тел Vz статистической модели У*. По усло вию поле случайных напряжений статистически однород но. Следовательно, осреднение по множеству L тел Vz эк вивалентно осреднению по множеству реализаций в соот ветственных точках. При осреднении детерминированная величина pij сохраняет свое значение. По известным
53
правилам оператор математического ожидания вносим под знак интеграла. Учитывая, что /п^ = const относитель но х, находим
Ри = щи, |
(2-7) |
что и требовалось. |
|
Равенство (2.7) свидетельствует, что результаты вы |
|
числения среднего напряжения на |
площадке 5 г- одного |
тела У* и на множестве реализаций в точках тел Vz ста тистической модели эквивалентны.
Условие эргодичности (2.3) можно применять, очевид но, только к телам У*, линейные размеры которых неог раниченно велики. По классификации статистических мо делей, приведенной в п. 3 гл. 1 , модели этого типа при надлежат к классу Ап. Таким образом, при условии (2.3) статистически однородное поле напряжений в* модели У* класса Ап эргодично.
•Условие эргодичности поля напряжений имеет прин
ципиальное значение в задачах типа 6 . 2 |
(см. предисло |
|
вие), |
решаемых на моделях У* класса Ап. Оно необхо |
|
димо |
(но, вообще говоря, не достаточно) |
для того, чтобы |
результаты вычисления макроскопических свойств мате риала по заданным свойствам компонентов имели опреде ленный смысл для одного данного тела, а не для множе ства тел.
Статистически однородное поле напряжений, для ко
торого указано условие эргодичности |
(2.3), имеет прак |
тическое значение только в задачах |
типа 0.2. Для за |
дач типа 0.1 и 0.3 предположение |
о статистической |
однородности поля напряжений неприемлемо, так как в подавляющем большинстве элементов конструкций поля напряжений статистически неоднородны. Кроме того, все реальные элементы конструкций имеют конечные раз меры.
Радиус корреляции г*, как отмечено в п. 4 гл. 1 , име ет величину порядка средних характерных размеров эле ментов структуры. Поэтому в моделях классов Ап и Сп, где размеры элементов структуры конечны, величина г* также конечна. В случае модели Сп условию эргодично сти (2.3) нельзя удовлетворить, так как размеры тела ко нечны (не могут быть неограниченно большими). Следо вательно, поле напряжений в модели У* класса Сп не может быть эргодическим. Это значит, что средние на пряжения в любом сечении тела У* случайны.
54
Рассмотрим условия эргодичности поля случайных мик-
роструктурных |
напряжений аЦ (х)в теле V*—статистической |
модели класса |
В2. Поле а}/ (х) предполагается макроглад- |
ким. При этом условии оно может быть статистически од
нородным в локальном смысле —в пределах элементов dlV, и статистически неоднородным в масштабе всего тела V#-
Пусть AlS t — площадка в теле К*, представляющая се
чение элемента А1]/ и |
состоящая |
из взаимно непересекаю- |
щихся площадок A1 lSt |
— сечений |
элементов АПУ; в*/г, |
е*/;— линейные размеры площадок; 0 <е*<^ 1 . Случайное макроскопическое напряжение а|/, по опре
делению, равно среднему напряжению в сечении (Д1^},-) элемента AV при е*->0 :
аа = |
lim - J |
- f |
o}Il (x)dSl. |
(2.8) |
|
Обозначим |
|
(ДЦ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kij...ij(Xl, |
• »Xn) — |
(°ij |
(xi) |
Gij (Xn) ) |
(2*9) |
составляющие тензоров моментных функций порядка* п слу
чайной функции а п (х). Покажем, что поле а 11 (х) |
слу |
||||
чайных микроструктурных напряжений имеет |
следующее |
||||
свойство: |
чтобы макрогладкая |
(статистически |
однородная |
||
в локальном смысле) функция а// (х) была |
локально-эрго- |
||||
дической по отношению к функции m\f (х), |
необходимо и |
||||
достаточно выполнить условие |
|
|
|
|
|
lim |
ттттгтг [ Г *</'/ (х1- |
х2) dS‘'* dS<2) = о- |
(2-:10) |
||
е*-0 |
(Д S-)2 J J |
|
|
|
|
(A lSt )
Докажем это свойство. Формула (2.8) выражает среднее значение напряжения по реализациям на площад
ке AJS; одного тела при е*->0. Требуется показать, что при условии (2 .1 0 ) эта величина детерминирована и равна среднему значению напряжения на множестве реализаций в соответственных точках множества LM статистической мо дели V* класса В2.
55
Чтобы величина' (2 .8 ) была детерминированной, необхо димо и достаточно, чтобы равнялась нулю ее дисперсия;
>7 |
= l i m -Z n V ^ |
f f *"</(**• ^ ) d S \ l)dS<2> |
(A 5 ; ) 2 |
J J |
(л’5г>
Если условие (2.10) выполнено, то очевидно, что Da1^ =0.
При этом оц = рц — детерминированная величина, |
и по |
||
формуле (2 .8 ) находим |
|
|
|
Р н = П т |
~ r h ~ |
f a 'V ( x ) dS i- |
(2Л1) |
£*-►0 |
Д J f; |
J |
|
(Д1^)
Пусть Li}(x) — множество реализаций случайных микро-
структурных напряжений а// (х) в элементах A1 Vz с цент рами в точках Мг (х) множества LM соответственных точек тел VZ£L модели К* класса В2- К обеим частям равенства (2 .1 1 ) применяем операцию осреднения по множеству реа лизаций Ьи (х). Учитывая, что среднее значение детерми нированной величины равно самой детерминированной вели
чине и поле сг,•/ (х) статистически однородно в локальном смысле вследствие макрогладкости функции о*/ (х), т. е.
< сг// (х) > | , |
=тЦ = |
const |
iJ |
|
|
относительно х на участке AlSt при е#->-0 , находим |
||
Ри = |
т}} , |
(2.12) |
что и требовалось. Равенство |
(2.12) |
свидетельствует, что |
при условии (2 .1 0 ) макрогладкая функция сг// (х) действи тельно локально-эргодична по отношению к ее моментной функции первого порядка.
Из доказанного свойства видно, что если макронапряже ния детерминированы, то центральные моментные функции
второго порядка К.\щ (хь х2) случайной макрогладкой функ
ции сг// (х) должны удовлетворять условию (2 .1 0 ). При этом радиус статистической зависимости г* случайной функ
ции ац (х) должен быть достаточно малым. Для модели
56
У* класса Вг это ограничение вполне естественно. |
В част |
|||
ности, можно положить |
|
|
|
|
*а) |
|х 1- х 2|< /[ е !+ а |
(2.13) |
||
I х 4— Х2 [ |
4 + а , |
|||
|
|
.о
—-характерные размеры области статистической зависи
мости (/г>0); 0 < а < 1 . |
|
|
|
|
Полагая, |
что функции |
х2) |
существуют и, |
сле |
довательно, |
ограничены по |
модулю |
|
|
|
I К щ (xi. x2) K Q < |
оэ, |
|
|
согласно выражению (2.13) |
получаем оценку для |
левой |
||
части равенства (2.10): |
|
|
|
|
|
limQ (/о)44 а = |
0; /o = max/I |
|
|
|
е*-*0 |
|
|
|
Следовательно, моментные функции (2.13) удовлетворяют условию (2.10) локальной эргодичности макрогладкого по
ля a\f (х) по отношению к начальной моментной функции первого порядка тЦ (х).
Условие корректности классической теории напряже ний. В теории напряжений, известной из курса механики сплошной среды, напряжения детерминированы (класси ческая теория напряжений). Понятие о напряжении в точке тела вводится путем изучения равновесия элемента d У сплошной среды, эквивалентного элемента dlV стати стической модели У* класса В2. При этом «классические» напряжения эквивалентны макроскопическим напряже ниям в модели У*, если последние детерминированы.
Рассмотренное свойство эргодичности статистической модели У* позволяет указать критерий, согласно которо му напряжения в классической теории действительно де терминированы и, следовательно, теория корректна. Та ким критерием является условие (2.10). Его физический смысл состоит в том, что объекты, вызывающие локаль ные возмущения поля напряжений (элементы структуры композитных материалов), должны иметь неограничен но малые размеры. Это условие необходимо для того, что бы радиус корреляции г* был неограниченно мал. Таким образом, классическая теория напряжений, строго говоря, корректна только для идеально однородных сред, не имеющих микроструктуры, либо для структурно-неодно
57
родных сред — моделей У* класса В2у удовлетворяющих условию локальной эргодичности (2.10). Для реальных композитных материалов классическая теория напря жений некорректна, поскольку элементы структуры таких материалов имеют конечные размеры.
Локальная эргодичность микроструктурных напряжений в узком смысле. Для расчетов на прочность конструкций важно установить условия, при которых статистические характеристики поля случайных напряжений, заданные в общем случае на множестве реализаций в телах Vz £ L ста тистической модели, можно задать на множестве реализа ций в одном теле У*. Частичное решение задачи дает свой ство локальной эргодичности в широком смысле. При ус
ловии (2.10) моментные функции первого порядка т)}(х) случайной функции а*/ (х) можно задать на множестве реа
лизаций, действующих на площадке d[S t = lim AISi при *->0, которая принадлежит одному телу У*.
Естественно попытаться определить условия, при ко торых можно найти n-точечный закон Fп(у) совместного распределения составляющих тензора микроструктурных напряжений ап (х) по их реализациям в одном .элементе dlV тела У*. Рассмотрим для этого следующее свойство локальной эргодичности микроструктурных напряжений
по отношению к закону |
Fn (y) (понимаемое |
в узком |
|
смысле). |
|
в элементе dlV с |
|
Если макронапряжения а)/ |
центром |
||
в данной точке М (х) тела |
У* |
детерминированы, |
то функ |
ции (2.9) при любом значении п удовлетворяют условию
Hm |
j |
j ' t i L i , ( х 1э |
X u ) dS\l) |
. . dSf' =0. |
||
|
|
(A'Sj) |
|
|
(2Л4) |
|
Действительно, при |
детерминированном |
|||||
макронапряже |
||||||
нии о}/ = ри |
не только |
дисперсия |
величины оц, но также |
и центральные моменты более высокого порядка равны ну лю. В частности, из равенства нулю момента третьего по
рядка |
следует условие |
|
lim |
1 |
x3)dS(i,)dS(i2)dSl3) = 0 , |
(Х „ Х2, |
Е . - О (Д’5;)3
(A’Sj)
58
аналогичное (2.10). В общем случае имеем условие (2.14). Отметим, что под функциями (2.9), удовлетворяющи ми условиям (2.14), подразумеваются «собственные» моментные функции, аргументы которых хь х2, ..., хп могут принимать произвольные, но не равные между собой зна чения в пределах объема А1!/ при г*-+0. Если какие-ли бо два или несколько векторов хь х2 и т. д. равны (сов падают), то моментная функция (2.9) является «несоб
ственной», или «вырожденной».
Чтобы удовлетворить условиям (2.14), можно поло жить*
(2.15)
—max|x/t — хг| при любых k и /. Величина гм имеет см^сл радиуса области статистической зависимости значений
случайной функции о}} (х) (см. п. 3 гл. 1). Если значения всех моментных функций (2.15) отличны от тождественного нуля в области, описанной сферой радиуса гм, то много точечный закон распределения Fn (у) при любом п опреде лен в рассматриваемой области, поскольку задание беско нечной совокупности моментных функций неограниченного порядка эквивалентно заданию соответствующего многото чечного закона распределения.
2. СЛУЧАЙНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Случайный вектор перемещений. Пусть точка М2(х) тела Vz модели У* в результате внешних воздействий на тело Vz из первоначального положения переместилась в новое положение Mz(x'). Вектор и2 = х'—х будем рас сматривать как реализацию случайного вектора %(х) пе
ремещения соответственной Мг(х) точки М(х) тела |
У*. |
|
В дальнейшем при любом значении г вектор и2(х) |
и, |
|
следовательно, вектор / |
(х) будем относить к первона |
|
чальным точкам М2(х) |
и соответственно к точке А1(х) |
тела У* до его деформации.
Если при любом г векторы и2 равны по величине и на правлению, то вектор х= и (х) перемещения соответст венной точки М(х) тела У* детерминирован. В противном случае, если u ^ c o n st относительно г, точка М(х) тела У* имеет случайный вектор перемещения х(х)> заданный
59
на множестве реализаций uz в соответственных точках Мг(х) множества LM статистической модели.
Перемещение х(х) точки М(х) тела У* в произвольно выбранной детерминированной системе координат (хг), вообще говоря, не связанной с данным телом У*, но не
подвижной |
(инерциальной), будем называть абсолютным. |
Случайное |
перемещение г\ = %'—х какой-либо точки |
М' (х') данного тела У* относительно любой другой точ ки Л1(х) того же тела назовем относительным, а переме щение точки М(х) по отношению к неподвижной системе координат (Х{) — переносным.
Полагая, что тело У* принадлежит к классу В2, в даль
нейшем будем различать макроскопические |
и микрострук- |
||
турные относительные |
перемещения точек |
данного тела. |
|
Относительнее перемещение т) (х) точки М' |
по |
отношению |
|
к точке М назовем макроскопическим, если г = |
| х — х' |
||
^ Л 1/* = 10е%(см. п. 1 |
гл. 2) при е*->0. |
Соответственно |
случайный вектор относительного перемещения т) (х) будем называть микроструктурным, если расстояние между точками
г одного порядка с величиной А11г = |
10г% при |
Бу |
|
дем обозначать макроскопические |
и |
микроструктурные пе |
|
ремещения соответственно т)1(х) |
и ц11 (х). Относительно |
вектора TJ1(х) будем предполагать, что его модуль мал по сравнению с расстояниями между точками М и М' дан ного тела У*.
Векторы абсолютного, относительного и переносного перемещений как функции детерминированного радиусавектора точки тела У* являются случайными функциями
иобразуют векторные случайные поля (см. п. 3 гл. 1 и
п.1 гл. 2).
Вдальнейшем понадобятся следующие свойства случай
ных полей перемещений. Пусть Д*У— шар с центром в
точке М(х) тела У*; Д!г = /0е*— радиус шара; Нп (х, х')— ограниченная по модулю непрерывная детерминированная
функция двух точек М(х) и М(х') тела У*; AlS — поверх ность сферы, ограничивающей шар Д!У;
Xl = Xi — v t\ v t = < |
> ; Хг — составляющие вектора х ( х ) |
абсолютного перемещения точки М (х),
60