книги / Статистическая механика композитных материалов
..pdfносительно флуктуаций деформаций согласно (2.71) за писывается з виде
е° (х) = def j G (х, х')-(ув°- -е)' dV'
V
или
в] (х) = Фг -е(х),
если е (х)« const в области интегрирования (макроскопиче ски гладкая функция);
(х) = def J G (х, х') • (у - ©У dV' |
(2.78) |
V |
|
Пусть имеется некоторая реализация случайного поля структуры и свойств 0(х), ей соответствует реализация Fj(x) случайного функционала Фг(х). Последняя может быть вычислена в результате интегрирования правой ча сти (2.78) для конкретной реализации 0°(х).
Пусть R(s)(x) — реализация функции 0°(х) при усло вии, что М (х) принадлежит элементу структуры 5 данной реализации поля структуры; /i<s>(х) — индикатор множе ства точек элемента s. Реализацию флуктуаций 0°(х) за пишем в виде
R(X)= 2 |
R(s)/l(s) (*)• |
|
s= 1 |
|
|
В результате имеем |
|
|
F4 (X) - def 2 f G (X, |
x') • (V ■•R(s) h{s))r dV' |
(2.79) |
S = l V |
|
|
Вводя тензор A(s) = defG(x, x')*R(s), преобразуем (2.79):
Fl (x) = 2 f |
(vh(s)y • A(s)' dVf = 2 f (V • A(s) h{s))'dV'- |
s= 1V |
S=1 V |
-2 J (V-A{s))'h{s)'dVr s=l V
Легко убедиться, что первая сумма в правой части
91
равна нулю. Действительно, по формуле Остроградско го — Гаусса
J (V-A(s)/i(s))' dVr = |
f n' -A(s) h (x') dSr =0, |
V |
s |
поскольку интеграл берется по поверхности, ограничи вающей тело,— макроскопической окрестности точки М(х). Функция Грина вместе со своими производными по координатам обращается на этой поверхности в нуль. Индикаторы /г<5>(х) обращают интегралы второй суммы в интегралы по областям Vs, занимаемым элементами структуры:
Ft (x) = - 2 |
j (V-A{s)y d v ; . |
s = |
lVs |
На основании формулы Остроградского—Гаусса
F, (х) = — 2 |
f (n(s) • A(s))' dS's, |
(2.80) |
s = |
lS a |
|
где интегралы берутся по поверхностям Ss, ограничиваю щим области 14; n<s>— орты внешней нормали к поверх ности 5S.
Учет последующих приближений для функционала Ф не представляет принципиальных затруднений. Во втором приближении
Ф2 (х) = def J G (х, х') • (у • ©°• • ФО' dVr vJ
В отличие от модулей упругости реализации поля Ф\(х) не постоянны в области Vs, поэтому в выражение для реа лизаций функционала Ф2(х) войдут слагаемые, содержа щие производные по координатам. Вычисление возможно численным интегрированием, однако объем вычислений при этом возрастает. Последующие приближения строят ся аналогично,
Г л а в а з
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ФИЗИКО МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
1. МОДУЛИ УПРУГОСТИ НАПОЛНЕННЫХ и ХАОТИЧЕСКИ АРМИРОВАННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Корреляционное приближение. Общий метод вычисления макроскопических модулей упругости компо зитного материала, основанный на решении статистиче ской краевой задачи по методу функций Грина, изложен выше. Здесь с помощью данного метода вычисляются макромодули некоторых композитных материалов. Метод впервые был применен для вычисления макромодулей поликристаллов И. М. Лифшицем и Л. Н. Розенцвейгом [53].
Рассмотрим двухкомпонентную среду с изотропными компонентами, моделирующими структуру наполненных по
лимеров и хаотически |
армированных стеклопластиков (см. |
||
п. 5 гл. 1). Пусть |
С = |
( 0 > — изотропный тензор средних |
|
модулей упругости; |
Ке2) (х, х') = C*C*'D^2)/ (г) |
— корреля |
|
ционная функция (г = |х — х'|); С* = С1— С11; |
С1, С11 — |
модули упругости компонентов; D^2)= Р (1—Р); Р = ( X ) \ f(r) -- нормированная корреляционная функция, обращаю щаяся в нуль на границе макроскопической окрестности точки, радиус которой e j 0.
Согласно п. 6 гл. 2, макроскопические модули рассматри ваемой среды в общем случае равны
C i jmn = C i j m n + |
(3 - 1 ) |
оо |
|
гДе hijmn — поправка (liiSmn= 2 |
Л'/ Ц |
93
Вычислим поправку в первом приближении: |
|
|||||||||||
|
М/тл —Ci)a$ С ^ тп Р (1 |
Р) / арф\|)', |
(3.2) |
|||||||||
|
^ l i mn |
|
|
|
dGim{x, х') |
|
df (г) |
dV'] |
(3.3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
дх, |
|
|
дх' |
|
|
Gim(х, |
х') — компоненты |
тензора |
Грина |
для изотропной |
||||||||
среды |
(2.56). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
дг |
_ |
х, — х'. _ |
|
|
дг_ |
|
|
||||
|
дх, |
~ |
|
г |
|
~ |
' Г’ |
дх: |
|
|
||
находим производные: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dGim(x, |
х') |
|
= |
|
— |
/А т Ч ----— (dufm + |
|
||||
|
dxj |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ dmjf i ~ 3 f ifjfm); |
|
|
|||||
|
|
|
|
df(r) |
_ |
|
df (r) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
dx' |
|
|
dr |
1‘ |
|
|
|
где f, |
— функции углов ft и ср сферической системы коорди |
|||||||||||
нат: /j = cos cp sin ft; |
fz = sin cp sin ■&; f3 = cos$. Переходя к |
|||||||||||
сферическим координатам в интеграле (3.1), имеем |
|
|||||||||||
^ l i m n = е*/02лJ |
я |
|
f |
а J— В |
{ d i j f m f |
п + b m j f i f п |
— |
|||||
|
0j |
i) |
О |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
—dfifjfmfn‘ )1 ~ Г ~ |
sin MMydr. |
|
|||||||||
Интегрирование |
по г дает |
dr |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Е+и |
df(r) |
|
|
|
Е+IQ |
|
|
||||
|
Г |
|
dr — f (г) |
|
|
|||||||
|
|
|
= — 1. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
В результате |
|
интегрирования |
по углам О и <р получаем |
|||||||||
|
2л |
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
(3.4) |
|
|
|
|
|
|
f-Jj sin ЫЫц> |
|
|
94
2я |
я |
|
|
|
|
|
|
|
f |
f M/J»»sm{M<Mq>= + |
(бг/ тп |
|
|
|
|
||
О |
О |
|
1 ^ |
|
|
|
|
|
На основании (3.4) |
после |
некоторых преобразований |
запи |
|||||
шем интеграл /,;-шп |
окончательно в виде |
|
|
|
|
|||
|
^f'jm/i = |
a ^ i n f i j n |
+ |
^ ( S j n f i i n + |
A nn)» |
|
|
(3*5) |
|
4/ -j- 9m |
, |
/ + m |
|
i |
|
r> |
|
где $ = — ----------------- j |
b = ------------------j |
/ = |
C4*22J |
|||||
|
15m (/ + 2 m) |
|
15m (/ + |
2 m) |
|
|
|
m = C2323.
Упругие свойства изотропной среды, как известно, полно
стью характеризуются двумя |
независимыми постоянными. |
В качестве таких постоянных |
выбираем модуль объемной |
деформации, средние значения которой выражаются через компоненты тензора С по формулам G = С2з2з; К = СШ 1 + +2/3С1122. Аналогично для поправок имеем hG= h2323] hK = = Лцн' + 2/3him . Используя формулы (3.3) и (3.4) и вводя
обозначения G* = G1 — G11; К* = К1— К11 (G1, G11, К1
К и — модули сдвига и модули объемной деформации компонентов), находим
hlal) = 2Р (1— Р) {а + 6) G*2; /г^’ = ЗР (1— Р) (а +46) К*2.
Вычисленные поправки корреляционного приближе ния не зависят от характера координатной зависимости корреляционной функции упругих свойств. Действитель но, в случае предельно локальной корреляционной связи между свойствами, когда
если г — 0 ;
(3.6)
если г^ О ,
получаем тот же результат при интегрировании:
? ш dr = - i . |
|
0J |
dr |
Это означает, что результат фактически не зависит от реальной структуры материала: от формы и взаимного расположения элементов структуры.
95
Корреляционное приближение дает удовлетворительно совпадающие с экспериментальными значения макроско пических постоянных лишь при малой разности свойств элементов структуры [53]. Применительно к композит ным материалам ограничение распространяется и на кон центрацию армирующего вещества. При значительно от личающихся свойствах компонентов и малой концентра ции арматуры макроскопические модули упругости, вычисленные с учетом только корреляционных моментов, могут сильно отличаться от найденных экспериментально величин и даже принимать отрицательные значения, не имеющие физического смысла {61]. Поэтому для мате риалов типа стеклопластиков, модули упругости компо нентов которых отличаются на порядок и более, нужно учитывать поправки последующих приближений.
Учет моментов высших порядков. Для поправок вто рого приближения запишем
(3.7) где / (г±, г2, г3) — координатная функция (rt = |х — х'|, г2=
= |х'— х"|; г 3= \х — |
х"|). |
Поправки h\fmn |
в случае координатных функций |
f(ru Гъ г3) произвольного вида не вычислены. Если при вычислении макроскопических модулей упругости учиты ваются моменты высших порядков, на координатные функции накладываются те или иные существенные огра ничения [61,99, 101—104, 108].
Рассмотрим подробнее случай предельно локальных мо.ментных функций, когда статистическая зависимость между случайными свойствами элементов структуры про
является лишь на расстояниях ~ e f /0 при е*->0. Тогда координатную функцию f(ru г2, г3) можно представить в виде
если г±= г2 = 0;
если /4=^0 или гг Ф 0.
96
В этом случае интегралы по Г и V" в (3.6) вычисляются раздельно и можно записать
—C'ijafr Сффуб Срюшл Р (1 Р) (1 2 Р) / арфя1)/V6pCl),
где интегралы 1^тп даны формулой (3.5).
Для поправок второго приближения к средним моду лям сдвига и объемной деформации получаем
h{02) = 4Р (1— Р) (1—2Р) (а + bf G*3;
/$> = 9Р (1— Р) (1—2Р) (а + Щ 2 К*3.
Выражение для предельно локальной моментной функции четвертого порядка индикаторной функции А,(х) находим, осуществив предельный переход е*-Я) (предпо лагается эргодичность функции А,(х) по отношению к мо ментной функции второго порядка):
Kl4) (Xj, х2, |
х3, |
х4) = |
D f )ki2k23k^ — (D f)f [ki2k3i{l— k23)+ |
|||
|
+ |
^13^24 (1--Ю |
J~ k\Jlzz (1---^12)]i |
(3 -8) |
||
где ku = &(|хг — x^|); |
k(x) = |
1 , если x = 0 ; |
k(x) = 0 , |
если |
||
x =j=0 . |
|
|
|
|
|
|
Записывая поправку hifyn |
и интегрируя |
с учетом фор |
||||
мулы (3.8), |
получаем |
|
|
|
|
h(a3) = 8Р (1— Р) (1—2Р)2 (а + bf G*4,
h\р = 27Р (1 — Р) (1 — 2 Р)2 (а + Щ 3 К*1.
Легко убедиться, что в случае предельно локальных моментных функций, эргодических по отношению к моментным функциям более низкого порядка:
AS = 2 (л) Р(1 — Р) (1—2Р)п~1 (а + Ь)а G*n+1;
=3" (1 — Р) (1—2Р)п~ 1(а + Щп К*п+Х.
Следовательно, поправки hGи hK выражаются степен ными рядами. Эти ряды сходятся, если выполняются со отношения
2 |(а + Ь) (1—2Р)\ G*< 1 и |(а + Щ (1—2Р)\ К* <1
или соответственно
7. Зак, 674 |
97 |
2 G*(К + 2 G) 11 —2Р\ ^ ) |
и К*\\—2Р\ |
< 1 . (3.9) |
|
|
|
|
|
5G (/( + |
G j |
* + - £ - ° |
|
Для стеклопластиков условия (3.9) выполняются при Р > (0 ,2 —0,3). Тогда макроскопические модули сдвига и модули объемной деформации хаотически армированно го материала находятся по формулам
/С1^ 11 +4/3G/C |
|
|
К 1 (1— Р) + Ки Р — 4/3G ’ |
(3.10) |
|
QO = Q _________ 2G*2(K + 2 G) Р(1— Р) |
||
____ |
||
5G (К + 4/3G) + 2 G* (/< + 2 G) (1—2 Р) |
||
Технические постоянные — модуль Юнга |
Е° и коэф |
фициент Пуассона п° — выражаются через модули сдвига G° и объемной деформации К° следующим образом:
£ 0 = 9K°G° . |
= 3K°-2G° |
3K° + G° ’ П |
2 (3/С° + G0) ' |
К формулам (ЗЛО) приводят вычисления и при неко торых других предположениях о характере моментных функций [16, 99, 102]. При этих предположениях, как и в случае предельно локальных моментных функций, не обнаруживается зависимость макроскопических модулей упругости от формы и расположения элементов структу ры. Предполагается [37], что влияние формы и упаковки элементов структуры на макроскопические постоянные несущественно. Попытки выявить эти эффекты в рамках моментной теории нельзя считать удачными [1 0 2 , 109, 110]. Ниже изложен метод, позволяющий хотя бы в кор реляционном приближении учесть эффекты, связанные с формой и расположением элементов структуры мате риала.
Влияние формы и взаимного расположения элементов структуры. Воспользуемся решением статистической краевой задачи теории упругости в реализациях (п. 6 гл. 2). В первом (корреляционном) приближении реали зации функционала (2.78) для двухкомпонентной среды с изотропными компонентами равны
F1(х,) = [(1— Я) Г — 21Г>1. . с*, М(х{) 6 L1;
98
FU (X;) |
= [(— P) I — 2 It-S) ] • -C*, M ( X : ) e L u , (3.11) |
||
ГДв I { l , j m n ) l |
I i jn |
{ I i j m n Ь I j i m u ) ’ |
|
|
I*s) = |
I* def G (хг, x') n(s) dSs; |
(3-12) |
|
|
|
Ss — поверхности, ограничивающие элементы наполните ля с номером s. Интегралы l^mn определены формулами
(3.3) и (3.5). Значения интегралов I/ зависят от фор мы и расположения элементов наполнителя по отноше
нию к точке M(Xi). Поэтому суммы I/ для каждой точки М (х,*) различны. Они являются реализациями случайной величины с нулевым математическим ожиданием.
Пусть R(x^)— реализация флуктуации 0°(х) в точке
М (х;); |
R(x;) = (1— Р) С*, |
если M(Xi)£Ll, |
и R(x() = |
|
= (— Р) С*, если M(X;)(:LU , тогда по N |
реализациям |
|||
R(х;) и F (х,) можно вычислить поправки к модулям упру |
||||
гости в корреляционном приближении |
|
|||
h(I) = |
М |
2 ( 1 —Р)2 С*- -F4xf) + 2 ( - ^ ) 2 С*- •Fn (xi)l- |
||
|
Л |
CM(*.)eL)i |
(Af(Xj)eL)11 |
(3.13) |
Число точек ^(x^G L 1 равно N1, их доля |
N l |
|||
Для |
||||
М(х{) GL11 |
N 1 |
|
|
|
1—Р Если интегралы Hs), зависящие от |
формы и взаимного расположения соседних элементов наполнителя, не учитываются, то формула (3.13) дает поправку, совпадающую с поправкой, вычисленной по формуле (3.2). Действительно, с учетом (3.11)
h(1) = P ( l — P)*C*.-I.-C* + (1— Р)(— P f С* I- -с* =
= Р(1 — Р)С*.Л..С*.
Для реализации изложенного метода определения по правок’ с учетом формы и взаимного расположения эле ментов структуры необходимо вычислить интегралы по поверхности элемента наполнителя. Если элементы на полнителя имеют форму шаров и эллипсоидов, то интег
7* |
99 |
ралы могут быть записаны жв элементарных функциях. В общем случае вычисления возможны лишь численным интегрированием.
Учет неоднородности наполнителя. Рассмотрим влия ние неоднородности частиц наполнителя на макроскопи ческие модули упругости композитного материала, состоящего из двух изотропных компонентов. Пусть 0 1— изотропный случайный тензор модулей упругости напол нителя; Сп — изотропный детерминированный тензор модулей упругости связующего. Предполагаем, что реа лизации 0 1 в пределах одной частицы наполнителя по стоянны и свойства 0 1 статистически не зависят от рас положения элементов структуры (от индикатора X). Моментные функции свойств 0(х) рассматриваемой среды исследовались выше (см. п. 5 гл. 1). Далее .ограничимся случаем предельно локальной координатной зависимости
моментных функций и запишем корреляционную |
функ |
|||||||
цию в виде |
|
|
|
х') =(C*C*'D[2) + PD{$ |
)k(r), |
|
||
К Р (х, |
|
|||||||
(2) |
|
ТО |
0 |
то/ |
) — корреляционный момент модулей |
|||
где DQI = < 0 |
|
|
||||||
упругости наполнителя; k(r) определяется |
формулой (3.6); |
|||||||
г = |х — х'| — расстояние между точками М(х) и М (х'). |
||||||||
Вместо формулы (3.2) для |
поправки |
корреляционного |
||||||
приближения имеем |
|
|
|
|
||||
h\jfnn = |
Р [CijaР C(pt|>mrt(1 |
Р) ~Г |
^«Рфф- |
(3.14) |
Выражение (3.14) отличается от (3 .2 ) слагаемым, со держащим момент DQ2I\ При Р= 1 формула (3.14) совпа
дает с формулой для поправки к средним модулям упру гости неоднородной среды, составленной только из частиц наполнителя j[53].
Поправки к модулям сдвига и модулям объемной де формации композитного материала с неоднородным на полнителем в корреляционном приближении равны
h(a } = 2Р (а + Ь) [G*2(l— Р) + D p ];
(3.15)
h \ = P{a + Щ [К*2( 1 - Р) + D P ],
где DР и D^i — дисперсии |
модулей |
сдвига и |
объемной деформации наполнителя. Влияние неоднород
100