книги / Статистическая механика композитных материалов
..pdfl —n = 2; 2—11 = 3; 3—n = 4; 4—ti = 5
Рис. 6. Зависимость коэффициента вариации v ^ от Р= ( X >
анализа. Но они дифференцируемы неограниченное число 'раз в классе обобщенных функций. В дальнейшем под дифференцируемостью функций Хи(х) подразумева ется дифференцируемость «в классе обобщенных функций.
Случайные поля. Пусть 0(х) — случайная функция, заданная на статистической модели V* композитного материала, например, тензор модулей упругости.
Случайное поле 0(х) назовем статистически одно родным, если многоточечные законы распределения (в случае модулей упругости анизотропного тела /г-точеч ный закон распределения имеет 21/г измерений) оста ются неизменными при параллельном переносе системй точек Л4(х!), М(х2), ..., Af(xn). Случайное поле, имею щее указанное свойство, называют также статистически однородным в узком смысле [63].
В практических задачах применяются частные |
ха |
|
рактеристики случайных |
полей — моментные функции |
|
различных порядков. По |
определению, начальной |
мо- |
21
ментной функцией порядка я(п=1, 2, ...) случайной функции 0(х) является функция
М<п>(х1( х2, |
х„)= < 0 (х,) 0 (х2) |
0 (х„) > . |
|
||||||||
Величина 0° (х)= 0 (х) — М(1) (х) |
представляет |
(1.5) |
|||||||||
флук |
|||||||||||
туацию |
тензора |
0(х). |
Центральной |
момент'ной |
функцией |
||||||
порядка |
п называется функция |
|
|
|
|
|
|
||||
К™ (Xj, |
Х2) |
Х„) ^ |
< 0° (Xl) 0° (х2) |
0° (хп) > |
|
||||||
В случае, |
если |
0 (х ) — тензор |
четвертого |
ранга, |
|||||||
функция |
ЛЮ>(х) также |
тензор |
четвертого |
ранга, |
а |
||||||
функция КЩхи - , -Хп) — тензор ранга 4п. |
|
|
|
од |
|||||||
Если поле случайной функции |
0(.х) статистически |
нородно, то моментныефункции М(П)(хь . |
, xft) и К{П>(х„ ... |
||
, х„) не изменяют своих значений при параллельном |
|||
переносе точек М (xt), |
М (х2), |
М(х„). В частности, |
|
К(2) (х1( |
х2) = /С<2) (Xj |
х2). |
Функцию 0(х), удовлетворяющую условиям: 1) Ма) (х) = = const относительно х; 2) /С<2) (х, х') = К(г) (х — х'), на
зывают статистически однородной в широком смысле. Случайное поле физических свойств 0(х) реальных
композитных материалов может быть как анизотропным (зависящим от определенных направлений ов компози те), так и изотропным. В случае статистически однород ного поля «-точечный закон распределения инвариантен относительно параллельного переноса точек, но может изменяться три повороте системы точек относительно заданной для тела У» системы координат (*ь *2) *з).
Эргодичность. Важным свойством статистически од нородных (стационарных) случайных функций является эргодичность. Статистические характеристики случай ных функций, обладающих этим свойством, Могут быть определены в результате изучения только одной доста точно представительной реализации. Средние по одной реализации ((пространственные или временные), пред ставляющие собой, вообще говоря, случайные величины, при некоторых условиях сходятся к соответствующим математическим ожиданиям. В теории вероятностей доказываются эргодические теоремы, формулирующие условия сходимости. Моментную функцию статистиче ски однородного случайного поля, эргодического по от
22
ношению к корреляционной функции, можно предста вить в виде [64]
К(4,(Х1, х2, Х„ х*) = [D<*>-3 (D«>)*] f i23,k \-
+ (D{2))2(/12/34 + / 13/24 + / 14/23)»
где /i23i = /(xi — x2, x2—x3, x3 |
— x4); |
ftj = f (xt — Xj) — |
|
координатные функции, |
равные |
единице, если точки сов |
|
падают, и стремящиеся |
к нулю, |
если |
расстояние между |
точками увеличивается. |
|
|
|
Учитывая .изложенное, нетрудно записать моментные |
|||
функции высших порядков случайного |
поля, эргодиче- |
ского по отношению к моментным функциям произволь ного -порядка, однако соответствующие выражения гро моздки.
4. СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ СТРУКТУРЫ
Моментные функции. Пусть Xh(х) — индикаторная функ ция множества Lh точек, принадлежащих компоненту к. Если случайное поле Xh(х) статистически однородно, моментная функция первого порядка < Хк (х) > = Рк = const относительно х; центральные моментные функции порядка
п2 зависят лишь от расстояний между точками М (хА),
, М ( х п).
Исследуем моментные функции случайного поля Хк (х)у. характеризующего структуру композитного материала. Для простоты опустим индекс к и будем обозначать X' = Х(х'), X" = Я(х") и т. д., Х° = X— Р\ Р = < X )
Корреляционная функция случайного поля Х(х) равна
К[2) (X, х') = |
< Я°Я°' > --= < ЯЯ' > — Р2. |
|||||
Случайная величина ЯЯ' принимает два значения: ЛЛ' =1 |
||||||
с вероятностью Рц- и ЯЯ'=0 |
с вероятностью |
1 — Рц'. |
||||
Здесь Рц' = Р (Я = 1, |
Я '= 1) — вероятность |
того, что |
||||
точки УИ(х) иУИ(х') |
принадлежат данному компоненту. |
|||||
Находим, что < ЛЯ' ) |
= Р ц ', |
поэтому |
|
|||
|
К[2)(х, |
х') = Р , , ' - Р 2 |
(1.6) |
|||
Для моментной функции третьего порядка имеем |
||||||
1<[3) (х, |
х', х") - |
< ЯЯ'Я" > _ |
Р ( < ЯЯ' > |
+ |
||
+ |
< ЯЯ" > |
+ < Л'Л' > ) + |
2Р3. |
|
23
Так как (ХХ'Х"^ = Р им", то
М 3)(х, х', x") = P lr i ' ' - P ( P n ' + Pii'' + P l’i'') + 2P3.
- (1-7) Аналогично получаем выражение для моментных функций
более высоких порядков. Например,
К14) (Х, X', |
х", х'") = |
Р п ч »1------Р ( Р п ' 1» + Р ц ' 1''> + |
||
+ Р\> i " i " ' |
-}-Pii"i"') |
~hP2(Pii' ~i~Pi i" -\-Рц " ' -\-Рi'i" + |
||
|
+ P i 'i '" + |
/ Y 'i " ') - 3 / 34. |
(1.8) |
|
Формулы (1.6) — (1.8) |
позволяют задачу |
построения |
моментных функций свести к задачам нахождения гео
метрических вероятностей |
|
[3, |
65—71].. |
Для по |
|
строения корреляционной |
функции |
достаточно знать |
|||
распределение длин участков, |
занятых |
данным |
компо |
||
нентом, и промежутков между |
ними. |
Ниже строится |
|||
корреляционная функция |
случайного |
поля, описываю |
щего 'распределение арматуры >в однонаправленном
•стеклопластике. |
|
|
|
функция |
множества |
||
Пусть |
Х(х) — индикаторная |
||||||
точек арматуры. |
Случайное |
поле К(х) |
предполагается |
||||
статистически* однородным |
и |
изотропным |
в плоскости, |
||||
перпендикулярной |
направлению |
волокон. |
Необходи |
||||
мые для дальнейшего построения |
распределения хорд |
||||||
волокон и |
промежутков |
связующего |
предполагаются |
||||
известными (см. п. 1 гл.1). Если |
распределение хорд не |
||||||
задано, а задано распределение |
диаметров, то искомое |
распределение хорд можно получить, пользуясь извест ными соотношениями для параметров и плотности (или
функции) распределения функций от |
случайных ве |
|||
личин. |
т], случайным |
образом |
пересекающей |
|
Для хорды |
||||
круг детерминированного радиуса г, имеем |
||||
а - |
• D(2) - |
п9 |
г2\ |
|
М у) |
у |
(0 < у < 2 г ); |
||
2r V 4г2 — уг |
||||
|
|
|
для хорды, случайным образом пересекающей круг слу-
24
чайного радиуса, равномерно распределенного в проме жутке [0, г], имеем
пг |
|
|
|
У |
|
|
т |
/п (У) — 1 |
+ |
г]/4г2 — у2 |
+ |
||
— — |
arc sin -У— (0 ^ |
2г). |
|
|
||
2г |
2г |
|
|
|
|
|
Выражение для плотности |
|
распределения |
хорд не |
|||
всегда может быть получено |
в явном виде. |
Например, |
||||
при нормальном распределении |
радиуса |
(точнее, при |
||||
усеченном нормальном) плотность |
выражается через |
интегралы, которые в элементарных функциях не берут ся. Еще сложнее найти распределение длин промежут ков между кругами, расположёнными случайным обра зом. В общем случае длина участка, заполненного свя зующим, есть функция случайных величин: расстояния между центрами кругов, диаметра кругов и угла, харак теризующего направление хорд по отношению к пря мой, соединяющей центры кругов.
Пусть средние значения длин хорд и промежут ков связующего равны соответственно а и Ь, тогда отно-
сительное объемное содержание арматуры Я = ' |
а |
^ |
Обозначим P w ~ Р (XА/ = 1) через Р {А^А2) —это есть вероятность произведения случайных событий At и Л2, со стоящих в том, что точки М (х) и М(х') попадут на во локно. Тогда корреляционная функция имеет вид
Kl2)(x, х’) = Р {А,Аг) - Р\
Вероятность произведения случайных событий А\ и Аг запишем по теореме умножения
|
Р(А,Аг) ^ Р { А , ) Р ( А 2\А,), |
|
||
где Р (А21А А —условная |
вероятность попадания на волок |
|||
но второй |
точки, |
если |
первая принадлежит |
волокну; |
р ( А {) = Р. |
Случайное событие /12|A есть сумма несов |
|||
местимых событий, |
поэтому |
|
||
|
P(Ai \Ai) = 2 р (А‘2\А,), |
(1.9) |
||
|
|
|
1=1 |
|
25
Рис. 7. К построению корреляционной функции (х, х')для стеклопластика
а—точки М и М' принадлежат одному волокну; б—точки М и М' принадлежат соседним волокнам
где Лг | — событие, состоящее в том, что вторая точка
попадает на то же волокно, что и первая; А\ | At — собы
тие, состоящее в том, что вторая точка попадает на сосед нее волокно, и т. д. Задача вычисления корреляционной функции сводится к вычислению условных вероятностей
Р{А12\А,).
Рассмотрим случай, когда / = 1, т. е. обе точки попа дают на одно волокно (рис. 7, а):
|
P{Al\Ai) ^ P ( t < ^ l ) = l - F ^ ( t ) , |
(1.10) |
|||
|
|
|
ч |
|
|
где Fe» (t) = Р (ii < t ) |
—функция распределения Ъг, |
+ |
|||
|
*i |
|
|
|
|
+ |
£i = —случайная длина участка, |
занятого арматурой; |
|||
h |
и £ i— независимые |
и одинаково |
распределенные |
ве |
26
личины. Распределение £i находится по распределению хорд
волокон> Рассмотрим случай, когда вторая точка попадает на
соседнее волокно (рис. 7, б):
Р {А\ | Ai) — Р (£i + |
£i + Tli+^2) —P(t >£> |
Здесь т]!— случайное |
расстояние между участками армату |
ры (длина участка, занятого связующим). Из независимос ти величин ||\ rji, \г следует
Р (Al \Al) = P ( ^ < t ) P ( ^ t ) = Ft (Oil - (Ob
где F^(t) и F#(t)— функции распределения £ = £i -f-rji и
ft = £1 + 'Hi + ^2 соответственно, которые находим как ком позиции законов распределения слагаемых. Аналогично рассматривая другие условные вероятности, получаем кор реляционную функцию в виде
к[2) ( 0 = Р (1 - / у (0 + |
2 Fti (0 И->*,(/)]} - Р2> |
|
1 |
1=1 |
|
где |
|
|
& — + 2 ^ + 2 |
^ + 2 ^ |
2 ^т |
Средние значения и средние квадратические отклоне ния величин £г и 'Q'i находятся по соответствующим па раметрам распределения длин участков, занятых арма турой (а, а) и связующим <(&, 5) но формулам
<~ — b (i — 1) а +
< А,- > = |
+ Ца Н- 6); |
27
fx (i)
Рис. 8. Нормированная кор реляционная функция, вы численная по распределени ям хорд и промежутков между волокнами. Точки — экспериментальные значения
-0,5
По данным экспериментальных исследований микро
структуры стеклопластика, на основе жгута |
для величин |
||
li и г], можно принять нормальные законы с |
параметрами |
||
(см. п. 1 гл. |
1 )\ а = 8,07 мкм; а = |
2,83 мкм; |
b = 5,50 мкм; |
s = 3,25 мкм. |
Для величин l[ и l"\ |
также можно принять |
нормальное распределение (согласно теореме Крамера), если их сумма = £ j +1" — нормально распределенная
величина. Построенная по этим результатам нормированная
корреляционная функция Д (/) = [D^2) ]_1 К[2) (t) показа на на рис. 8. По виду она соответствует функции, пост роенной экспериментально для того же стеклопластика.
Изложенный метод может быть применен для построе ния моментных функций любого порядка. Однако вычисле ние вероятностей для более чем двух точек оказы вается сложным. Аналогичные задачи определения геомет рических вероятностей решаются методом статистических испытаний (методом ]у1онте-Карло) [65, 68, 69].
В работе [68] по методу Монте-Карло на ЭВМ «Минск-32» исследовали зависимости вероятностей Ри* и Р\\'\» от расстояний между точками. В квадрате 1 х 1 случайным образом размещали 1356 кружков радиусом г = 0,008112452;
доля |
площади квадрата, |
занятой кружками, |
Р — 0,27643. |
Для |
определения P\\*(t) |
производили 20000 |
бросаний от |
резка при /^2,25г и 10000 бросаний при t > 2,25г. По лученную зависимость Pi\'(t) аппроксимировали функцией
28
Проблема построения моментных функций компо зитных материалов обсуждалась .также в работе [3]. Рассмотрен подход, основанный на предположении, что включения образуют пуассоновское поле точек (случай малой концентрации включений).
Экспериментальное исследование структуры стекло пластиков. Некоторые данные об одномерных распреде лениях, характеризующих структуру стеклопластиков, приведены в п. 1 гл. 1. Здесь изложены результаты по строения моментных функций для стеклопластиков двух типов: однонаправленного на основе жгута ЖСР и хао тически армированного марки СНК-2-27 [66, 67].
Поверхности образцов после тонкого шлифования и полирования обрабатывали в течение 5 мин в концент рированной азотной кислоте для получения четкой гра ницы между стекловолокном и связующим. На микро скопе МИМ-8 поверхности микр'ошлифов фотогра фировали на пленку Микрат (увеличение микроскопа составляло 500Х). Затем на фотоотпечатки с общим увеличением элементов микроструктуры около' 1000Х наносили квадратную сетку с ценой деления 2 мм (при мерно 0,2 среднего диаметра изображения волокна).
Реализацию случайной функции Я(х) регистрирова ли в узлах сетки (реализация (равна единице, если узел находится на изображении стекловолокна, и нулю, если узел попадает на связующее). Результаты заносили в таблицу, каждая строка которой соответствовала одно му участку шлифа (одной реализации функции А,(х)) протяженностью 0,1—0,2 мм (50—100 точек на фотоот печатке). Всего для составления таблицы использовали по 50—100 реализаций. Следовательно, общее число точек, по которым строили момейтные функции, 2500— 10000. Для сравнения строили также моментные функ
ции -по точкам, взятым с одного снимка |
(по сечению). |
||
Оценки тк, |
К[п) величин тх и |
определяли по фор |
|
мулам |
|
|
|
т: (х) = Р (х)= |
2 h (х); |
|
|
|
k |
i= 1 |
|
Kin) (Хь X*. |
х„) = ~ L y |
[lt (х() - |
Р (х,)] X |
|
* |
|
|
29
ш ш
ш
Рис. 9. Типичные комбинации точек при вычисле
нии моментных функции |
хп) |
|
X [/; ( Х 2) — Р ( Х 2) ] |
[/; ( Х „ ) — Р ( Х „ ) ] . |
|
На ЭВМ БЭСМ-2М |
производили вычисления для 2 ^ |
|
т. е. находили |
значения моментных функций до |
7-го порядка включительно для некоторых конфигураций
системы'точек (рис. 9). |
Кроме того/ вычисляли средние |
|
по участку (по данной |
реализации) значения величин Р |
|
и R[n\ |
их дисперсии и коэффициенты корреляций значений, |
|
взятых в соседних точках. |
||
Результаты вычислений приведены на рис. 10—13. Зна |
||
чения |
оценок Р и К}\], |
вычисленные в точках с раз |
ными координатами, имеют разброс. Коэффициент вариации составляет около" 10% для однонаправленного стеклоплас тика и 20% для СНК-2-27. Разброс является следствием экспериментальных ошибок и технологических причин, ко торые обсуждаются, например, в работах [6, 10, И —13, 29].
Для стеклопластиков с более равномерной пропиткой армирующих материалов связующими разброс содержания арматуры может быть пренебрежимо мал, следовательно,
для таких материалов величины Р, D[n) и К[п) можно счи тать постоянными относительно координат. Отсутствие ста
тистической зависимости значений Р и R[n) |
от координат |
подтверждается результатами вычисления |
коэффициентов |
корреляции значений этих величин, взятых в соседних точ ках (см. рис. 10). Коэффициент корреляции убывает с уве личением расстояния между точками.
Экспериментальные данные (см. рис. 11 —13) указы вают на возможность представления моментных функ-
30