книги / Статистическая механика композитных материалов
..pdfРис. 31. Распределение продоль- п1
ных деформаций в образцах |
типа |
0,1- |
II при напряжении 4-107 |
Н/м2. |
|
База сетки 5 мм |
|
|
0,05 |
0,075 |
0,10 |
Здесь рп — растягивающее напряжение; ^ |
—модуль |
Юнга |
в плоскости, перпендикулярной направлению армирования; П2 1 и п°31— коэффициенты Пуассона, характеризующие со
кращение в направлении оси, обозначенной первым индек сом, при растяжении в направлении xv Для образцов из резины макроскопические постоянные упругости равны:
E°i=4,5 МН/м2; п\\ = 0,44; п\\ = 0,41. |
деформации |
|||
Средние продольные е |
и поперечные |
|||
в компонентах, согласно |
(4.3); имеют значения: |
|||
РпХ Юб, Н/м2 |
е \х |
е 11 |
е22 |
е22 |
|
|
Ри |
р 1 |
Ри |
4 |
0,069 |
0,101 |
0,032 |
0,053 |
8 |
0,139 |
0,202 |
0,064 |
0,105 |
Нетрудно убедиться, что вычисленные значения средних деформаций удовлетворительно согласуются с найденными экспериментально.
На основании формулы (4.4) для дисперсий дефор маций компонентов можно записать
Ouh = Llit, - (еи - e f f + |
( - 1)*+1 РГ1< W > |
Из этой формулы видно, что |
условные дисперсии Lkijih |
как и безусловная дисперсия |
зависят от средних де |
формаций. В эксперименте эту зависимость установить не удалось, очевидно, из-за узкого интервала изменения напряжений и большой погрешности измерений. Воз можно, по этой прйчине дисперсии деформаций в компо нентах, вычисленные в работе [154] (при тех же исход ных данных), отличаются от найденных эксперимен тально.
Г л а в а 5
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ
Задачи статистической механики разрушения.
Определение моментов или закона распределения слу чайных напряжений в компонентах материала не явля ется конечной целью статистической механики компо зитных материалов. Задана состоит в том, чтобы уста новить и по найденному закону распределения’ напря жений вычислить статистические критерии прочности. Иначе, речь идет о прогнозировании прочности компо зитных материалов по заданным свойствам компо нентов.
Как показывают результаты экспериментальных ис следований, полному разрушению изделий из композит ных материалов предшествует процесс микроповрежде ния — разрушение отдельных элементов структуры. Изучение процесса важно не только для анализа усло вий образования макроскопической трещины и после дующего полного (макроскопического) разрушения, но
и для |
исследования поведения |
материала под нагруз |
кой. |
Наличие повреждений |
обусловливает прежде |
всего |
нелинейную зависимость |
между напряжениями и |
деформациями даже в случае линейно-упругих компо нентов, причем эта зависимость определяется видом макроскопического напряженного достояния. Таким образом, деформационные и прочностные свойства ком позитного материала зависят от действующих на конст рукцию нагрузок, т. е. изотропный материал в резуль тате нагружения приобретает анизотропию, вид которой определяется напряженным состоянием;
162
Кроме того, микроповреждения так же, как и поры, трещины, расслоения, существенно влияют на процессы переноса и стойкость материала к действию эксплуата ционных сред. Знание количественной меры микро поврежденности позволяет прогнозировать свойства материала в условиях длительной эксплуатации.
В результате изложенного к задачам статистической механики разрушения композитных материалов наряду с установлением критериев прочности следует отнести исследование макроскопических законов деформирова ния при прогрессирующей микроповрежденности и оп ределение меры микроповрежденности при данном на пряженном состоянии с учетом истории нагружения. Решением первой задачи занимается статистическая теория прочности.
Наиболее развита статистическая теория прочности материалов в одномерном случае. Моделью материала
служит |
система последовательно |
или |
параллельно |
||||
соединенных |
стержней. |
Нагружение |
производится |
||||
растягивающей силой. |
По заданным |
свойствам стерж |
|||||
ней находятся |
условия |
разрушения |
системы |
в целом. |
|||
Начало |
одномерной |
статистической |
теории |
прочности |
|||
положено работами |
Вейбулла [52], |
Т. А. Конторовой, |
Я. И. Френкеля [51]. Последующее развитие она полу чила в трудах Н. Н. Афанасьева [155], Л. Г. -Седракя- на [156], В. В. Болотина [1]. Ограниченность одномер ной теории прочности показана в [54]. В то же время интерес к ней значительно возрос в связи с применени ем стеклопластиков и других композитных материалов в нагруженных конструкциях. Ввиду низкой прочности связующего стеклопластик при одноосном растяжении вдоль волокон работает как система параллельных стержней. Такая модель стеклопластика используется в многочисленных работах, посвященных анализу проч ности этого класса материалов [7, 14, 26, 27, 157].
Описанная модель композитного материала носит дискретный характер, она не учитывает многих эффек-^ тов, обусловленных взаимодействием элементов струк туры при деформировании. Эти эффекты оказываются существенными, если структура композитного материа ла отличается от однонаправленной или напряженное состояние отличается от одноосного растяжения вдоль направления армирования. Поэтому наряду с дискрет
п* |
1 6 3 |
ными значительное развитие получили континуальные модели, в том числе учитывающие повреждение элемен тов структуры уже на начальных этапах нагружения!
Простейшие статистические критерии разрушения.
Рассмотрим критерии макроскопического разрушения композитного материала, устанавливаемые на основе результатов решения статистических краевых задач теории упругости и не учитывающие перераспределение напряжений, обусловленное повреждениями.
Пусть статистическая краевая задача теории упру гости для сплошной среды решена. В результате уста новлен закон распределения случайных напряжений
в каждом компоненте k. Условие разрушения элемента структуры в данной точке определяется выходом точки
М {\h) в пространстве напряжений |
за пределы области |
|
W* прочного состояния [5]. Тогда вероятность |
|
|
Q/> = 1 — j h k (X, |
R )dX , |
(5.1) |
w* |
|
|
где h k {X, R) — плотность распределения напряжений %к\ R — совокупность параметров распределения, служит мерой
повреждения компонента k и условие Qh^ Qk может быть принято в качестве условия макроскопического разрушения. По физическому смыслу величина Qk — объемная доля раз рушенных элементов структуры компонента k.
По формуле полной вероятности объемная доля раз рушенных элементов структуры материала равна
Q= 2 |
|
P*Q* |
(5 2) |
ft=l |
|
|
|
где Ph— объемная доля |
компонента |
k в материале. |
Условие Q ^Q * также может быть условием макроско пического разрушения материала.
Параметры распределения (математические ожидания, дис
персии и т. |
д.) |
напряжений |
зависят от направления |
|
осей х[, |
х', |
х3', |
в которых рассматриваются эти напряже |
|
ния, по |
отношению к осям |
хи хъ хй системы координат, |
||
в которой |
заданы .макроскопические напряжения р. При |
повороте осей они преобразуются как компоненты тензоров. Таким образом, найденные плотности f%h (X ) также зави
164
сят от ориентации осей х\, х2, х'г (или, что то же самое,
от углов Ъ, ср сферической системы координат, связанной с этими осями).
Ответственными за разрушение частиц компонента
k примем наибольшие растягивающие напряжения ръ,- Тогда величина
Qfc(0, Ф)= ] h h(X\ О, Ф)<*х |
(5.3) |
характеризует долю разрушенных частиц компонента k
всечении, перпендикулярном прямой, заданной углами
Фи ф. По формуле полной вероятности находим вели чину
^ |
Q(#. ф) = 2 |
p hQh(&> ф). |
(5.4) |
|
k=1 |
|
|
которая является мерой |
микроповрежденности материа |
ла и характеризует общую долю разрушенных элемен тов структуры в направлении ■&, ф. По своему смыслу она совпадает с функцией на сфере ЩФ, ф) [158], по этому может быть использована для построения крите риев разрушения, предложенных в указанной работе. Достоинство этой функции состоит в том, что она ха рактеризует не только величину, но и преимуществен ное направление разрушений. Однако при использова
нии более |
общих |
критериев |
разрушения |
элементов |
микроструктуры |
(учитывающих сложное |
напряженное |
||
состояние) |
не всегда удается |
установить |
ориентацию |
микротрещин, т. е. найти условные вероятности повреж
дения Q(ft, ф). |
|
|
и В. А.“Копнову [159], |
||
Следуя И. И. Гольденблату |
|||||
примем условие разрушения компонента в виде |
|
||||
Sfc- ’Пл ’ + |
(S*. -ni2). • У т + • •. > 1 , |
(5.5) |
|||
где lift1— случайный |
в общем |
случае тензор прочности |
|||
ранга 2 /; / = 1, 2 ,... |
|
(5.5) в точке |
Af(x) |
есть |
|
Выполнение неравенства |
|||||
случайное событие, |
вероятность |
которого |
Qh численно |
||
равна объемной доле разрушенных частиц |
компонента |
165
k. Полная вероятность разрушения частиц материала в окрестности точки М(х) определяется формулой (5.2).
Меры повреждений (5.3) и (5.4) интегрально учитывают направление трещин. Аналогичный эффект достигается, если
принять условие |
разрушения элемента структуры в |
виде |
^ Ри > гДе ihi — наибольшее главное напряжение; |
р* — |
|
разрушающее напряжение при одноосном растяжении. |
|
|
Главные напряжения находятся из уравнения |
|
|
& |
- 1к & + 1, Л н ~ 1,.з = 0. |
|
Здесь 1Ы — инварианты: Ihi= lhaa\ //t2= ~ (llaa — 1,<ав X
h z = I %hij I-
Компоненты единичного вектора vt — косинусы угла между вектором | ftl и осями координат — определяются из
уравнения %hi'vi=hiVi- |
|
|
Функция на сфере, являющаяся мерой поврежден- |
||
ности, находится как условная вероятность |
|
|
Qh (ft. ф) = |
р GM > Pt I vi (ft- ф)) = |
|
|
ОО |
|
= |
j h k (*; ft. Ф) dx, |
(5.6) |
|
# |
|
Рк |
|
|
гДе hk (х>ft» Ф) — условная плотность распределения |
наи |
|
большего главного напряжения. Полная • функция на |
сфере |
определяется по формуле (5.4). Локальные повреждения можно задать векторами | ftl или (|;а— p£)vt.
Полученная мера поврежденности (5.6) несет суще ственно больше информации, чем введенная величина Q, однако используемое условие прочности компонентов ограничивает область ее применения случаем' хрупкого разрушения. Не вполне удобным оказывается и описа ние таким образом локальных повреждений, что необхо димо для решения задачи о деформировании повреж денной среды.
Пусть статистическая краевая задача теории упру гости композитной среды решена в реализациях (по ме тоду, изложенному в п. 6 гл. 2 ). Следовательно, в каж дой точке данной реализации случайного поля свойств найдены напряжения %к и деформации Предполо
166
жим, что условие прочности компонент* k, находящего ся в некоторой точке М (х), не выполняется, т. е. в дан ной точке произошло разрушение. Образовавшаяся трещина влияет на напряжение и деформированное состояние среды. Учесть это влияние можно воспользо вавшись приемами, разработанными в теории дислока ций [160].
Как отмечают Бклби и Эшелби [161], аналогия между скоплением группы дислокаций и трещиной была осознана еще на заре развития теории дислокаций. Методы теории^ислокаций применяются в ряде работ
по континуальной теории сред с трещинами |
[162—164]. |
|||||||||||||
Поле |
деформаций |
в точках |
поверхности, |
опираю |
||||||||||
щейся нл дислокационную |
петлю, |
|
имеет |
6 -образную |
||||||||||
особенность. |
Учитывая |
это, |
представим |
деформации |
||||||||||
среды с трещинами в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
е' (х) = е (х) + |
юб (х — х*), |
|
|
|
|
|||||||
где е(х) — непрерывная |
функция, |
равная |
деформации |
|||||||||||
среды в точке М (х) при |
условии |
сплошности |
в этой |
|||||||||||
точке; 6 (х—х*)— 6 -функция; |
х*— радиус-вектор точек |
|||||||||||||
разрыва; |
тензор |
со |
характеризует |
новрежденность. |
||||||||||
В терминах |
теории |
|
дислокаций |
|
со — симметричная |
|||||||||
часть тензора |
дислокационной |
поляризации, связанно |
||||||||||||
го с плотностью дислокаций |
и вектором Бюргерса |
из |
||||||||||||
вестными |
соотношениями |
[160, |
161]. |
В отличие |
от |
|||||||||
работ [162—164] |
эти |
понятия |
далее |
не |
используются, |
поскольку геометрия трещин в явном виде не вводится. На основании проведенных рассуждений можно ввести несколько мер микроповрежденности материала,
связанных с со. |
Наиболее общей мерой является тензор |
|
|
|
ДУ |
который |
задает |
величину и характер повреждений. |
Первый |
инвариант этого тензора Qv = zaa есть относи |
тельный объем раскрытых микротрещин. Величина Qv определяет, в частности, проницаемость материала для газообразных и жидких сред и изменение свойств мате риала под их воздействием.
Долю поврежденного материала характеризует также
167
относительное число поврежденных точек Q = |
6 (Х — |
—х*) dV, совпадающее с мерой микроповрежденности, вве
денной формулой (5.2). Численные значения их могут быть различными.
2. СТАТИСТИЧЕСКИ!? КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД С ПОВРЕЖДЕНИЯМИ
Композитные среды с повреждениями типа пор. Рас смотрим статистическую краевую задачу теории упру гости композитной среды, имеющей повреждения типа пор. Повреждения вводим с помощью индикаторной
функции %h (х) подмножества поврежденных точек компонента к. Модули упругости такой среды, отнесен
ные к элементам структуры, равны
0 <‘>(х) = е(х) — 2 e ft^ (I) (x).
п
где 0(х) = 2 © А (х); в* — модули упругости компонен-
А=1
та к; индекс (1) означает, что выражение учитывает лишь
начальную поврежденность.
Математическое ожидание функции А,а (/>( х ) равно
относительному объему разрушенных элементов струк туры компонента к (объему пор в компоненте к):
< %г(1) (х) > = p k |
, |
<=i
где Qlh— отношение объема «разрушенных* элементов
структуры к общему объему, занимаемому компонентом к. Здесь и далее предполагается статистическая одно
родность и эргодичность случайных полей, задающих свойства среды.
Система уравнений статистической краевой задачи теории упругости для среды с повреждениями имеет
168
вид (2.44), однако для величин, характеризующих со стояние, вводится индекс (1):
|
у §<п = |
0; |
в*1»= defjx*1*: V й = в (1>• -е(1> |
|
(5.7> |
|||||||
Систему |
(5.7) преобразуем к виду |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
у С (,,..уХ0(1) = |
— у П (1\ |
|
|
|
||||
где С(1) — |
< 0 (1) > |
— средние модули |
упругости; |
х°<0— |
||||||||
= Х(1> — < Х11) > ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
П(1) = |
С(1)- -е'1»+ 0°- -е(1) + |
0°- •е0(1) + |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
+ |
в(*1)--е<1) + e i 1).-e0<1,; |
|
|
|
||||
е(1) = |
< е(1> > ; |
0'*1»= - |
|
|
2 С* < ^ |
<U > • |
||||||
|
|
|
|
|
|
fc=i |
|
|
ft=i |
|
|
|
Таким образом, |
появляются |
дополнительные |
объемные |
|||||||||
силы плотностью у |
0 |
*| , , в( 1 | 1 |
характеризующие |
возмуще |
||||||||
ния полей напряжений и деформаций |
в |
результате |
разру |
|||||||||
шения элементов структуры. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Средние модули упругости С(,) среды с повреждениями |
||||||||||||
отличаются |
от |
С = |
< 0 > , |
поэтому |
вводится |
тензор |
||||||
G(1) (х, |
х'), |
удовлетворяющий уравнениям |
|
|
|
|||||||
у |
Сш • • |
|
(х, |
х')= —Еб(х—х'); |
G(1> |s = 0. |
(5.8) |
||||||
Решение |
статистической |
краевой |
задачи |
(5.7) |
для |
среды с повреждениями относительно флуктуаций де формаций е0*1*записывается в виде
8°(1> = |
(ф<‘>+Ч Г(1))-.е<1); |
(5.9) |
||
ф(1> __ |
оо |
ф[!); |
ао |
; |
2 |
ЧГ(1) = ^ |
|||
|
t=l |
|
£= 1 |
|
Ф ^ = |
def j* G(1> (х, |
х.')-(у 0°)' dV'\ |
||
|
V |
|
|
|
Ф ^ = def. j G(1> (x, x ').(y 0 ° . .® |i),)'dF'; |
t=2, 3, |
|||
V |
|
|
|
|
4riI> = |
def J G(1) (x, |
x')*(v® *>)'^''; |
16»
'F (11) = def f G(1) (x, x 'H v -e '*0 - • (Ф(Д \ + Y ^ i) ] ' dV v
Деформации e(1> находятся по макроскопическим напря жениям (при заданных на границе силах q|s=n-p) и мак роскопическим упругим податливостям S°(1) среды с повреж дениями
При заданных на границе перемещениях
eu> = S 0(D - -pd),
где р(1) — макроскопические напряжения в среде с повреж дениями;
р<п = 2 |
р^1) = рЛ— < > • - рк= |
k = \ |
|
Компоненты тензора S^1) вычисляются по компонентам тензора макроскопических модулей упругости С^1), причем
С0(1) = Сш + |
< (0 ° + ©V’)- • (Ф 11>+ Ч "1») > . |
|
Таким образом |
находится распределение напряже |
|
ний в среде с повреждениями. Для напряжений |
про |
|
веряются условия |
прочности и устанавливается |
объем |
ная доля разрушенных элементов структуры с учетом перераспределения напряжений.
Второе и последующие приближения строятся ана логично первому. В произвольном приближении j име
ется статистическая |
краевая задача теории упругости |
||||
|
v .£</> = 0 ; |
еФ = defx(/); |
V p = ©Ф- -вФ |
(5.10) |
|
для среды с модулями упругости |
|
|
|
||
|
0 Ф (х) = е<х) - 2 |
в ЛА**(/)(х), |
|
||
|
|
ft=1 |
|
|
|
где Яд(;) (х) — индикаторная функция подмножеств L£ то. |
|||||
чек разрушенных элементов структуры; |
< %£(/) ) = |
Pk — |
|||
— Р*); |
— Д9 ля прочных элементов |
структуры |
компо |
нента k.
170