Примеры решения задач

Задача 1. Найти работу выхода А с поверхности некоторого металла, если при поочередном освещении его электромагнитным излучением с длинами волн λ₁ = 0,35 мкм и λ₂ = 0,54 мкм максимальная скорость фотоэлектронов отличается в η = 2,0 раза.

Решение.

Запишем уравнение Эйнштейна (1.3) для обеих длин волн (частот):

ћω₁ = А + mv₁²/2,

ћω₂ = A + mv₂²/2,

где v₁ и v₂ — максимальные скорости фотоэлектронов, причем v₁ > v₂ , поскольку в данном случае ω₁ > ω₂- Из полученных уравнений составим отношение

Из этого соотношения, учитывая, что ω = 2с/λ , находим

I

Задача 2. Ток, возникающий в цепи вакуумного фотоэлемента при освещении цинкового электрода электромагнитным излучением с длиной волны λ = 262 нм, прекращается, когда внешняя разность потенциалов (показания вольтметра) достигает значения V₁ = –1,5 В. Имея в виду, что работа

выхода электрона с поверхности цинка А = 3,74 эВ, определить значение и полярность внешней контактной разности потенциалов между катодом и анодом данного фотоэлемента.

Решение.

Из известных нам уравнений ћω = А + К_макс и

К_макс = е(V₂ – V₁) следует:

ћω = А + eV₃ = А + e(V₂ – V₁),

где V₂ – искомая контактная разность потенциалов.

Отсюда еV₂ = 2ћc/λ – A + eV₁ = – 0,5 эВ.

Значит (см. рисунок) V₂ = – 0,5 В.

Задача 3. Коротковолновая граница рентгеновского спектра.

После увеличения напряжения на рентгеновской трубке в η| = 2,0 раза первоначальная длина волны λ₀ коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра изменилась на Δλ = 50 пм. Найти λ₀.

Решение.

В данном случае «изменилась на Δλ» — это значит уменьшилась на такую величину. Поэтому согласно (1.8) можно записать:

где V₁ и V₂ – напряжения на рентгеновской трубке, а – постоянная.

Поделив второе равенство на первое, получим

Отсюда находим

Задача 4. Комптоновские электроны.

Фотон с энергией е рассеялся под углом θ на покоившемся свободном электроне. Определить угол φ, под которым вылетел электрон отдачи относительно направления налетевшего фотона.

Решение.

Из треугольника импульсов (см. рисунок), выражающего собой закон сохранения импульса, видно, что

Согласно формуле λ` – λ = λ_C (1 – cos θ), определяющее комптоновское смещение, получим

Подставив значение λ`/ λ в первую формулу получим после несложных преобразований, что

Задача 5. Обратный эффект Комптона.

При столкновении с релятивистским электроном фотон рассеялся на угол θ, а электрон остановился. Найти комптоновское смещение длины волны рассеянного фотона.

Решение.

Согласно закону сохранения импульса

ћk + p = ħk'

где k и k' – волновые векторы первоначального и рассеянного фотонов, р – импульс электрона (см. рисунок). Из этого рисунка согласно теореме косинусов имеем

т.е. длина волны рассеянного фотона становится меньше и его энергия увеличивается.

Проектное задание

Выполните следующие задания

Задание 1. Определить задерживающее напряжение для электронов, ис­пускаемых с поверхности натрия под действием монохроматического излучения с длиной волны λ = 2000 А.

Задание 2.При длине волны λ = 600 нм ток фотоэлектронов в вакуумном фотоэлементе прекращается, если между катодом и анодом подать задерживающее напряжение U₃ не меньше определенного значения. При увеличении длины волны на η = 25% задерживающее напряжение оказывается на ΔU = 0,4 В меньше. Определить по этим данным постоянную Планка.

Задание 3. Цинковую пластинку освещают ультрафиолетовым светом с длиной волны λ = 300 нм. На какое максимальное расстояние от пла­стинки может удалиться фотоэлектрон, если вне пластинки создано за­держивающее однородное поле с напряженностью Е = 10 В/см?

Задание 4. Между фотокатодом и анодом приложена такая разность по­тенциалов, что наиболее быстрые фотоэлектроны могут пролететь толь­ко половину расстояния между электродами. Смогут ли они долететь до анода, если расстояние между электродами уменьшить вдвое при той же разности потенциалов?

Задание 5. Показать с помощью законов сохранения, что свободный электрон не может полностью поглотить фотон.

Задание 6. Фотон с энергией 1,00 МэВ рассеялся на покоившемся свободном электроне. Найти кинетическую энергию электрона отдачи, если в результате рассеяния длина волны фотона изменилась на 25 %.

Задание 7. Фотон с энергией 250 кэВ рассеялся под углом 120° на первоначально покоившемся свободном электроне. Определить энергию рассеянного фотона.

Задание 8. Фотон с импульсом р = 1,02 МэВ/с, где с — скорость света, рассеялся на покоившемся свободном электроне, в результате чего импульс фотона стал р' =0,255 МэВ/с. Под каким углом рассеялся фотон?

Задание 9. При увеличении напряжения на рентгеновской трубке в η = 1,5 раза длина волны коротковолновой границы сплошно­го рентгеновского спектра изменилась на Δλ = 26 пм. Найти первоначальное напряжение на трубке.

Задание 10. Найти длину волны коротковолновой границы сплош­ного рентгеновского спектра, если скорость электронов, подлета­ющих к антикатоду трубки, V = 0,85 с.