2.2. Частица в прямоугольной яме

Рассмотрим поведение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме Щх), имеющей две различные конфигу­рации — два случая. Предполагается, что частица может двигаться только вдоль оси X.

Рассмотрим самый простой: ширина ямы равна l, стенки ямы бесконечно высокие (рис. 2.1, а). Потенциальная энергия в этом случае имеет следующие значения: она равна нулю в интервале (0, l) и обращается в бесконечность при х = 0 и х = l.

Исходим из уравнения Шредингера (2.6). Для одномерного случая в пределах ямы (где

U = 0) это уравнение упрощается:

, (2.7)

где введено обозначение

k² = 2mE/h². (2.8)

Общее решение уравнения (2.7) имеет вид

, (2.9)

где а и α — произвольные постоянные.

Теперь самое главное: мы должны потребовать от функции Ψ(х), чтобы она удовлетворяла естественным (стандартным) условиям. Видно, что Ψ(х) в виде (2.9) однозначна и конечна. Она должна быть еще и непрерывной, а именно, вне ямы частица быть не может, значит там Ψ(х) = 0, и для непрерывности Ψ-функции необходимо, чтобы при х = 0 и х = l функция (2.9) была бы равна нулю. Из условия

Ψ(0) = a sin α = 0 следует, что α = 0. Из условия же

Ψ(l) = а sinkl = 0 в свою очередь следует, что

kl = ±  n, (2.10)

где п = 1, 2, 3, ... (п = 0 отпадает, так как при этом Ψ = 0 — частицы вообще нет).

Подставив k из (2.10) в (2.8), получим

, п = 1,2,3,... (2.11)

Энергия оказалась квантованной и ее спектр — дискретный (рис. 2.1, б).

Итак, собственные значения Е мы нашли — это (2.11). Теперь найдем соответствующие им собственные функции. Для этого подставим значения k из (2.10) в (2. 9), где α = 0, тогда

Ψ(х) = a sin(nx/l).

Для определения коэффициента а воспользуемся условием нормировки (2.4). В нашем случае оно примет вид

Ha концах интервала (0, l) подынтегральная функция равна нулю, поэтому значение интеграла можно представить как произведение среднего значения квадрата синуса (а оно равно 1/2) на ширину ямы l:

a²(l/2)l = l,

откуда а =.

Таким образом, собственные функции в данном случае имеют вид

, п = 1, 2, 3, ... (2.12)

Графики нескольких собственных функций показаны на рис. 2.2 пунктирными линиями, а распределение плотности вероятности — сплошными. Из этих графиков видно, что в низшем энергетическом состоянии (п = 1) с наибольшей вероятностью частицу можно обнаружить в середине ямы, а вероятность нахождения ее вблизи краев ямы весьма мала. Такое поведение частицы резко отличается от поведения классической частицы.

С увеличением же энергии (т. е. с ростом квантового числа п) максимумы распределения (x) располагаются все ближе друг к другу. При очень больших значениях п картина рас

пределения Ψ ²_п (х) практически «сливается» и представляется равномерным — частица начинает вести себя совсем «по-классически».

Внимательный читатель по-видимому заметил, что найденные собственные функции (2.12) удовлетворяют не всем естественным условиям: на границах ямы Ψ-функции не гладкие, испытывают излом. Это обстоятельство является следствием того, что на границах ямы U -> оо, чего в реальном мире не бывает. При любом конечном разрыве потенциальной энергии Ψ-функция все равно остается гладкой (об этом подробнее ниже).

Заметим также, что в отличие от классики минимальное значение энергии Е частицы в яме согласно (2.11) не равно нулю. Это полностью согласуется с принципом неопределенности. Ведь у частицы в яме ограничена область возможных значений ее координаты, поэтому должен существовать разброс по импульсам, а значит, отлична от нуля и энергия.