![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Предел числовой последовательности. (пчп)
Пусть каждому натуральному числу n поставлено ненатуральное вещественное число Xn , тогда говорят, что задана последовательность n с числом Xn .
Xn==1+
1 , n
;
=
=
;
;
; n
;
;
.;
∀
;
;
;
1
;
В
качестве N()
можно взять любое натуральное число
больше
.
ПЧП
—число a
будем называть пределом последовательности
Xn
при n
стремящемся к бесконечности, если для
любого положительного числа
существует N(
)
такой, что
справедливо неравенство
-окрестности
точки a
будем
называть интервал (а-
; а+
)
2-Опр. ПЧП:
Число
а
называется
пределом последовательности Xn
при n,
если любая
окрестности а содержит все числа
рассматриваемой последовательности,
начиная с некоторого номера.
Числовую последовательность Xn называют сходящийся, если существует число а, являющаяся пределом этой последовательности, в противном случае последовательность является расходящейся.
Теорема: Предел сходящейся последовательности единственен.
{Xn}
, a≠b, a=
,
N0nmax
{N1;N2}
n0
N1
n0
N2
Док-во:
Предположим противное, предел
последовательности Xn
не единственен, тогда существует 2 числа
a≠b
такие что a=
и
(для определенности будем считать, что
а
b).(1)
Выберем
окрестности точек a
и b
так, чтобы они не пересекались, т.е.
чтобы
.(Для
этого очевидно
надо подобрать так, чтобы
;
)Из условия следует, что существуют
такие номера N1
и N2,
что Xn
,Когда
n
N1,
и Xn
, когда n
N2
.n0
max{N1,N2},
тогда
;
Что противоречит (1)Получаем противоречие
доказывающие теорему.
Теорема о пределе суммы, произведения и частного сходящихся последовательностей.
Пусть {Xn} и {Yn} – числ. последовательности.
(1) x1, x2, x3, .., xn , ..
(2)y1, y2, y3, .. , yn , ..
Последовательности
(3) x1+y1 , x2+y2, x3+y3, .. , xn+yn , ..
(4) x1y1 , x2y2, x3y3, .. , xnyn , ..
(5),
,
,
.. ,
,
..
будем называть суммой, произведения и частным.
Т-ма:
1.Пусть Xn и Yn – сходящиеся последовательности, тогда их сумма и произведение также являются сходящимися последовательностями, причем
2.Если
,
то последовательность
сходятся, причем
Д-во:
Ограничимся случаем суммы последовательности.
Пусть
,
.
На
основании определения предела
последовательностей
сущ. N
такие, что (1)
Обозначим через N=max{N1,N2}
(2)
тогда для
выполняется одновременно неравенства
(1) и (2).
Далее
получаем, если n>N,
то
,
n>N.
Переход к пределу в неравенстве.
Теорема:Пусть
{Xn}
и {Yn}
–сходящиеся последовательности, причем
для n>m,
тогда
,
.
Док-во:Обозначим
a=
и b=
.
Надо доказать, что
.Предположим
противное a>b.
Зафиксируем число
столь малым, чтобы выполнилось неравенство
(чтобы окрестности не пересекались)Тогда
на основании определения предела сущ
N1,
N2
такие, что
,
n>N1
и
,
n>N2
Выберем
n0>max(N1,N2,m),
тогда очевидно
;
.
=>
- противоречит условию.
Отметим,
что для сход последовательностей
и
из строгого неравенства
<
;
n>m
не следует строгое неравенство между
пределами этих последовательностей.
Следовательно при переходе к пределу
в строгом неравенстве надо заменить
знак строго нер-ва на знак не строгого
нер-ва.
Пусть
последовательность {Xn},
{Yn},
{Zn}
таковы, что Xn
Yn
Zn
;
n>m.
Тогда,
если
при
n
Yn
при
n
,
то в этом случае
Zn
при
n