![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
2.Т. Вейерштрасса о достижимости точных грней для непрерывной функции
Пусть
ф-я f(x)
непрерывна на [a,b],
тогда она достигает на этом сигменте
своей точной верхней и точной нижней
грани, т.е сущ. точки
и
[a,b]
такие , что f(
)
= sup[a,b]f(x)
Док-во.
Проведем док-во для точной верхней
грани.. Обозначим через M
= sup[a,b]f(x)
(точная верхняя грань функции f(x)
на [a,b]
сущ. по 1 т. Вейер...).Итак, предположим
противное. Точная верхняя грань f(x)
на [a,b]
не достигается на этом сигменте, тогда
f(x)
< M
в любой x
[a,b].
Введем в рассмотрение ф-ю g(x)
=
.
Ф-я g(x)
непрерывна на [a.b],
стогда по 1 т Вейер.. g(x)
огранич на [a,b]
, сл сущ положительная константа c
такая, что
.
с в любой
.
1
с(М – f(x)).
м -
в любой
.
Это противоречит тому, что Vявляется
точной верхней гранью ф-ии f(x)
на [a,b].
1.Т. Вейерштрасса
Пусть ф-я f(x) непрерывна на [a,b], тогда она ограничена на этом же сигменте.
(В ЛЕКЦИЯХ НЕ БЫЛО ДОК-ВА)
Точная верхняя и точная нижняя грань функци на мн-ве
Точной
верхн. и точн. нижней гранью функции
f(x)
на мне E
будем называть точную верхнюю грань
числового мн-ва , образованного всевозм
значениями ф-ии f(x)
, когда x
E
supEf(x)
= sup{f(x),x
E}
.точной нижней гранью ф-ии f(x)
на мн. E
называется точная нижняя грань чилового
мн-ва, образ всевозм значениями ф-ии
f(x)
, когда x
E
infE
f(x)
=inf{f(x),
x
E}
Точные грани числовых мн-в
Пусть
E
некоторое подмн-ва числовой прямой. 1)
мно-во E
называют огр сверху, если сущ число M
такое, что x
≤ M
при любом xE.
Число M
в таком случае называется верхней
гранью мн-ва E.
Отметим, что если точка М явл верхней
гр мн-ва Е, то любое число, превосходящее
М так же будет верхней гранью Е. 2)Мн-во
Е называют огран снизу, если сущ ≥число
м такое, что х≥м для любого x
E.
Такую точку м называют нижней гранью
мн-ва Е.Отметим, что если м-нижняя грань
Е, то любое число меньше м так же будет
нижней гранью Е.
Определение. Мн-во Е называют огран. Если оно огран как сверху так и снизу.
Точной
верхней гранью мн-ва Е называется
наименьшая из верхних граней этого
мн-ва.Пусть a=supE,
тогда для а выполнены ус-я : 1) х≤ф при
любом x
E
2)любое а’<a,
сущ x’
E
такая, что a’<x’.Наоборот,
если для ф выполнены усл-я (1) и (2), то а
= supE.
Определение.
Точной гранью мн-ва Е называется
наибольшая из нижних граней этого
мн-ва. Пусть а = infE,
тогда для а вып усл : 3) х≥а при любом x
E
4) любое а’>a,
сущ x’
E
такая, что a’>x’.
Если для точки а вып. усл-я (3) и (4), то а
= infE
Теорема о сущ. точных граней
Пусть мн-во не пусто и огран. Сверху, тогда у этого мн-ва сущ точная верхняя грань. Пусть мн-во не пусто и огр снизу, тогда у этого мн-ва сущ точня нижняя грань.
Теорема о промежуточном значении непрерывной ф-ии
Пусть
ф-я f(x)
непрерывна на [a,b]
и на концах этого сигмента принимает
неравные значения. Тогда для любого
числа
,
заключенного между f(a)≠f(b)
найдется точка с, принадлежащая интервалу
[a.b]
такая, что f(c)
=
Док-во.
Предположим
для определенности, что f(a)<f(b),
возьмем любое
.
f(a)<)
<f(b).
Введем в рассмотрение ф-ю g(x)=f(x)-
, g(x)
непрерывна на [a,b]
( т.к f(x)
обладает этим св-ом) При чем g(a)
=f(a)
-
<0, g(b)=f(b)-
>0. Отсюда на осн теоремы об обращении
в 0 непрерывной ф-ии => что сущ с
[a,b]
такая, что g(c)
=0 => g(c)=f(c)-
=0 => f(c)=
Т-ма об обращении в ноль непр. ф-ии.
Пусть
f(x)
непрерывна на [a,b]
и на концах сигмента принимает знач-ия
разных знаков, тогда сущ с
любому? (a,b)
такая,
что
f(c) = 0 , f(a) <0, f(b) . 0, sup{x
[a,b]
, f(x) < 0} = c
Док-во.
Предположим для опр-ти, что f(a)
<0, f(b)>0.
Обозначим чрез Е = {x[a,b].f(x)<0}.Мн-во
Е не пусто (ему принадлежит точка а и
ограничена сверху. Одной из верхних
граней является например точка b).
=> сущ. точная верхняя грань этого
мн-ва. Положим с = sup
E
. Точка с не может совпадать с точками
a
или b,
т.к сущ ∂>0, такое , что при изм-ии арг.
x
в правой ∆-полуокрестности точка а
f(x)<0
и при изм-ии арг-та x
в левой ∆-полуокрестности точка b
f(x)>0
=> a<c<b.
Положим противное. В точке с f(x)
изменим зна-ия опр. знака, тогда найдется
такая ∆-окр-ость в с в интервале (с -
∂, с +∂)при изменении арг. x
в пределах которой f(x)
сохр. знак.Это противоречит следующему
по с-вам точной верхней грани f(x)
≥0 для c
<x<c+∂
и сущ. x
( c
- ∂, c), такого, что f(x) < 0
Т-ма об устойчивости знака непрерывной ф-ии
Пусть
f(x)
определена на мн-е E
и непрерывна в некоторой точке a
этого мн-ва, причем f(a)>0
(f(a)<0),
тогда найдется такая
окрестность в точке а (a
-
,
a+
),
что для значений x
E
(a
-
,
a+
)
справедливо неравенство : f(x)>0
(f(x)<0).
Доказательство.
Пустьf(a)>0.
Положим
.
Т.к ф-я f(x)
непрерывна в точке а, то сущ
>0,
что неравенство
выполняется для любого x
из E,
удовоетвор условию : |x-a|<
.
=> f(a)-
< f(x)<f(a)+
для любого x
из E,
удовлетвло условию: a-
<x<a+
.Отсюда
получаем
для всех x
E
(a
-
,
a+
).
Интегрирование по частям
Пусть
ф-ии u(x)
и v(x)
имееют непрерывные производные u’(x)
и v’(x)
в некотором промежутке
(u(x)*v(x))’=u’(x)*v(x)+u(x)*v’(x);
u(x)*v’(x)
= (u(x)*v(x))’-v(x)*
u’(x),
тогда
=
;
;
;
.
ФОРМУЛА
Замена переменной в неопр. интеграле.
Пусть
,
тогда
Док-во.
F(g(x))’
= проверим второе из соотношений диф
правой части
(*)
≈
Таблица основных интегралов
1)
2)
3)
4)
5)
6)=tgx+c
7)
8)
9)=
10)
11)
12)
13)
Простейшие св-ва неопр. интеграла
1)
2)
Док-во.
Пусть F(x)
первообразная для f(x),
а G(x)
для g(x),
тогда
.
Утверждение 2 док-ся аналогично
Понятие первообразной неопр интеграла
Ф-ю F(x) будем называть первообразной ф-ии f(x) в некотором интервале, если всюду в этом интервале F’(x)=f(x)
Очевидно, что если F(x) первообразная для f(x), то любая ф-я вида F(x) +c, где с-постоянная так же будем первообразная для f(x).
можно док-ть, что мн-ва функций F(x)+c, где с произвольная постоянная является совокупностью всех первообразных данной функции f(x)
Определение неопределенного интеграла
Совокуность
всех первообразных функций f(x)
называется ее неопределенным интегралом
и обозначается так
Если
F(x)
произвольная первообразная для f(x),
то
,
где с = const.
Дифференциал функции
Пусть
ф-я y=f(x)
диф в некоторой точек x,
тогда ее приращение ∆y
в этой точке, отвечающее приращ. аргумента
∆x
может быть представлено в виде : ∆y
= f’(x)
* ∆x+
(∆x)
Определения диф в рассматр точке x. Линейную часть f’(x)* ∆x приращ ф-ии y=f(x) в точке x будем называть деф этой функции в данной точке x d(f(x))=f’(x)* ∆x dy=f’(x) ∆x
Положим dx=∆x и нах dx диф независимой переменной, тогда df(x)=f’(x)dx dy=f’(x)dx
Производные высших порядков
Пусть
ф-я y=f(x)
диф. в нек. интервале
,
тогда первая произв f’(x)
так же явл. функцией, определенной на
эом интервале. Если в какой-то точке x
из этого интервала первая пр. f’(x)
диф, то ее производную в этой точке
называют производной 2-го порядка
исходной ф-ии y=f(x)
в рассматр. точке. Аналогично орп.
производные 3-го, 4-го порядка и тд. Если
производная (n-1)
уже определена, то производная n-го
порядка
вводится соотношением
Теорема о диф. обратной ф-ии
Пусть
ф-я y=f(x)
монотонно возрастает (или убывает)
непрерывна в некоторой окрестности
точки
. Пусть далее ф-я y=f(x)
диф. в точке
при чем f’(
0,
тогда в нек. окр. соотв. точки
=f(
)
определена обратная ф-я
которая диф в точке
,при чем справедливо р-во
;(
= (*)
y=tg
x , x
(-
)
; x=arctg x ;
(*) =
Понятие обратной ф-ии
Пусть
ф-я y=f(x)
определена на мн-ве X
и Y
–мн-во ее значений. Предположим, что
для любого y
Y
сущ. единственное x
X
такое, что y
= f(x).
Тогда на мн-ве Y
будем определена некоторая ф-я, которую
называют обратной для ф-ии y=f(x)
и обозначают x=
.
Теорема о диф сложной ф-ии
Пусть
ф-я t=g(x)
диф. в точке
,
а ф-я y=f(t)
диф в соотв. точке
=g(
),
тогда сложная ф-я F(x)=f(g(x))
диф в точке
,
при чем справедливо соотношение
F’(
)=f’(g(
))*g’
).
Док-во
Итак
дадим аргументу x
в точке
приращение ∆x.
Положим ∆t=g(
+ ∆x)
– g(
).
Через ∆y
обозначим: ∆y=f(
;
.
Т.к ф-я y=f(t)
диф в точке
,
то для ее приращения ∆y
в этой точке справедливо приращение(1)
,
т.е ∆y
явл. приращением сложной ф-ии y=F(x)
в точке
, отв. приращ аргумента
,
сл из соотн (1) получаем
,
,
т.к ф-я t=g(x)
диф в
так же
0,
0 и =>
. Отсюда следует, что сущ предел правой
части (1) при
0 , значит сущ предел и левой части =>
ф-я F(x)
диф в точках. при
0 получаем следующее
и