Приложения
Полный дифференциал функции нескольких переменных
Пусть Fявляется функцией переменных Х1,Х2,... ...Хi, ...
Частные производные этой функции равны
Частные дифференциалы функции Fпредставляют собой произведение частной производной на приращение независимой переменной
Полный дифференциал является суммой частных дифференциалов
.
Бесконечно малое приращение какой-либо величины, определяемое бесконечно малыми приращениями других величин, не всегда является полным дифференциалом. Например, в приведенном ниже выражении dzне является полным дифференциалом
.
Для равенства с двухчленной правой частью, содержащей бесконечно малые приращения переменных (типа приведенного выше),
,
(а)
сравнительно легко установить, является ли приращение dzполным дифференциалом. Используя свойство частных производных
,
в случае, если выполняются условия
,
получим
.
Известна теорема Коши, согласно которой любое равенство типа (а) можно перевести в форму полного дифференциала умножением обеих частей равенства на функцию =(x,y) или делением на функцию=(x,y). Функцияназывается интегрирующим множителем, а функция- интегрирующим делителем. Естественно, что=1/.
Однородные функции первой степени. Формула Эйлера
Однородными функциями называются функции
,
для которых выполняется условие
,
где m- степень функции.
При m=1 функция называется однородной функцией первой степени. Для нее выполняется формула Эйлера
.
Метод неопределенных множителей Лагранжа для нахождения экстремума функций нескольких переменных
Пусть кроме функции F=F(X1,X2,...,Xm+k), которую необходимо испытать на экстремум, имеются еще функции
Функции iназываются функциями связи.
Для того, чтобы найти экстремум функции F, можно было бы, используяkуравнений связи, найти функцию отmнезависимых переменных. Однако при таком решении выкладки могут стать чрезвычайно сложными.
Лагранж предложил метод, по которому вводится вспомогательная функция
,
в которую входят величины 1,2,...,i,...,k, называемые неопределенными множителями.
Условию экстремума отвечают равенства
.
j=1,2,...,m+k.
Задачи о размещении и расселении жильцов
Предлагаемые здесь задачи из комбинаторики являются иллюстрацией проблемы реализации системы.
Вначале рассмотрим более простую задачу о размещении.
Предположим, что имеется книжный шкаф, в который можно поставить nкниг. Книги отличаются друг от друга (возможно, названием произведений, именем автора, номером тома и т.д.). Каждая последовательность расположения книг, отличающаяся от других, считается отдельной расстановкой (или размещением). Подсчитаем, сколько может быть таких размещений.
Пусть в шкафу имеется nмест для книг (полок, ящиков и т.п.).
Когда шкаф пуст, то первая размещаемая книга может занять любое из nвозможных мест. Следовательно, для одной книги существуетnспособов размещения. Вторую книгу можно поставить на любое изn-1 оставшихся мест. Поэтому для двух книг существуетn(n-1) способов размещения. Третья книга ставится на любое из оставшихся (n-2) мест, и для размещения трех книг существуютn(n-1)(n-2) способов размещения... Перейдем к размещению одной из последних трех книг. До этого предыдущие книги можно было разместить
n(n-1)(n-2)...4 способами. Одна из оставшихся трех книг может быть размещена тремя способами и общее число размещений увеличится до
n(n-1)(n-2)(n-3)...43. Предпоследнюю книгу можно разместить двумя способами, а последнюю - одним, и число размещений всех книг составитn(n-1)(n-2)(n-3)...4321= n!.
Теперь обратимся к более сложной задаче.
Пусть необходимо расселить Nчеловек вmдомах. В первом доме можно поселитьN1жильцов, во втором -N2, ..., в домеi-Ni,,... Если бы квартиры в каждом доме были различимы, то число расселений составило быN!. Примем , что квартиры в каждом доме равноценны, т.е. переселение жильцов из квартиры в квартиру в пределах одного дома не учитывается. Таким образом, общее число возможных расселенийN! должно быть уменьшено. Число исключенных способов заселения первого дома составитN1!, второго -N2!, ...,i-го -Ni!, ... и общее число расселений уменьшится вN1!N2!...Ni!...=Ni! раз.
В таком случае все дома можно заселить следующим числом способов:
.
Формула Стирлинга
Во многих задачах требуется переход от N! к непрерывной функции. В этом случае используют приближение, именуемое формулой Стирлинга:
.
Начиная с N=12, приближение становится исключительно хорошим. Для систем, содержащих молекулы (напомним, что постоянная Авогадро близка к 61023), приближение является замечательным.