Глава 6__________________________________________

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

Основные вопросы

6.1. Размах вариации и среднее линейное отклонение

6.2. Дисперсия и её свойства

6.3. Правило сложения дисперсий

6.4. Показатели относительного рассеивания

6.1. Размах вариации и среднее линейное отклонение

Вариация– это количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов.

Если средние величины дают только обобщающую характеристику совокупности, то показатели вариации позволяют выявить структуру совокупности. Для характеристики уровня колеблемости признака применяют такие показатели, как размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации - это разность между наибольшим и наименьшим значениями вариантов:

Размах вариации является наиболее простым показателем, так как улавливает только крайние значения признака. Чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений, вычисляют среднее линейное отклонение, которое учитывает различие всех единиц изучаемой совокупности.

Среднее линейное отклонение - это средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений каждого признака от средней, без учета знака этих отклонений.

Если данные не сгруппированы, то рассчитывается среднее линейное отклонение простое:

Пример. Имеются данные о количестве изделий, изготовленных одним рабочим за смену.

Таблица 6.1

Номер рабочего	Количество изделий, шт.
1	5	-5	5
2	7	-3	3
3	11	1	1
4	12	2	2
5	15	5	5
Итого	50	-	16

Если данные сгруппированы, то рассчитывается среднее линейное отклонение взвешенное:

Пример.

Таблица 6.2

Количество изделий, шт.	Число рабочих
4	2	8	2,16	4,32
5	5	25	1,16	5,80
6	9	54	0,16	1,44
7	5	35	0,84	4,20
8	4	32	1,84	7,36
Итого	25	154	-	23,12

6.2. Дисперсия и её свойства

Основными обобщающими показателями вариации в статистике являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия обычно называется средним квадратом отклонений и обозначается S². В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться простая или взвешенная:

Свойства дисперсии:

1. Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсии не изменяет.

2. Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсии не изменяет.

3. Уменьшение или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз k соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в раз, а среднее квадратическое отклонение - вk раз.

4. Дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней:

Пример. Имеются данные о распределении магазинов по объёму товарооборота.

Таблица 6.3

Объем товарооборота, млн.руб.	Количество магазинов			2	2
До 1	4	2	-4,89	23,91	95,64
1-3	3	6	-3,39	11,49	34,47
3-5	5	20	-1,39	1,93	9,65
5-7	11	66	0,61	0,37	4,07
7-9	8	64	2,61	6,81	54,48
Свыше 9	2	20	4,61	21,25	42,50
Итого	33	178	-	-	240,81

Определить дисперсию.

Решение. Рассчитаем дисперсию двумя способами:

1. по формуле

2. по формуле

Таблица 6.4

Объем товарооборота, млн.руб.	Количество магазинов		2	2
До 1	4	2	0,25	1
1-3	3	6	4	12
3-5	5	20	16	80
5-7	11	66	36	396
7-9	8	64	64	512
Свыше 9	2	20	100	200
Итого	33	178	-	1201

(Небольшое расхождение связано с округлением в расчетах).

Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Оно представляет собой корень квадратный из дисперсии и выражается в тех же единицах измерения, что и признак.

Среднее квадратическое отклонение простое:

Среднее квадратическое отклонение взвешенное:

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность.