1.6.3.Главные оси инерции

Главными осями инерции называют оси, для которых центробежный момент инерции равен нулю.

Две взаимно перпен­дикулярные оси, из которых хотя бы одна является осью симмет­рии фигуры, всегда будут ее главными осями инерции, поскольку в этом случае каждой положительной величине zу dF соответ­ствует такая же отрицательная по другую сторону от оси симметрии (рис. 14, в) и их сумма по всей площади фигуры равна нулю.

Главными центральными осями называют глав­ные оси инерции, проходящие через центр тяжести сечения.

Вычислим моменты инерции прямоугольника относи­тельно центральных осей z, у, параллельных его сторонам (рис. 15).

Для определения момента инерции относительно оси z выделим элементарную площадку в виде узкого прямоугольника, параллель­ного оси z. Ширина элемента b, высота — dy. Следовательно,

(2.9)

Очевидно, что

(2.10)

Заметим, что интеграл не изменится, если все полоски dF(у) = bdy переместить параллельно оси z, относительно которой оп­ределяется момент инерции. Таким образом, момент инерции па­раллелограмма (рис. 16) относительно центральной оси z, парал­лельной основанию,

(2.11)

Момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через его основание:

Для круга полярный момент; относительно осей

В расчетной практике часто приходится вычислять моменты инерции сложных сечений относительно различных осей, лежащих в плоскости фигуры. Для стандартных поперечных сечений стерж­ней: угловых равнобоких (рис. 21, а) и неравнобоких (рис. 21, б), двутавровых (рис. 21, в), швеллерных (рис. 21, г) и других — мо­менты инерции относительно различных осей даны в таблицах ГОСТ 8509—72, 8510—72, 8239—72*, 8240—72 наряду с размерами, площадями сечений, положениями центра тяжести другими характеристиками.

В сортаменте центральные оси сечений обозначаются буквами x, y.

Рис.18

При вычислении моментов инерции сложных сечений их можно разбить на отдельные простые части, моменты инерции которых известны. Из основного свойства интеграла суммы следует, что момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составных ее частей.

Если в сечении есть отверстие, его считают частью фигуры с отрицательной площадью. Например, сечение, показанное на рис. 19, можно разбить на две простые части — прямоугольник b X h и отверстие радиуса r отрицательной площади. Тогда

Рис19.

1.6.5. Моменты инерции относительно параллельных осей

Пусть известны моменты инерции фигуры относительно централь­ных осей z, у:

(2.20)

Требуется определить моменты инерции относительно осей, парал­лельных центральным осям (рис. 24):

Координаты любой точки в новой системе можно выразить через координаты в старых осях так:

.

Подставляем эти значения в формулы (2.21) и интегрируем почленно:

Так как интегралы как статические моменты относительно центральных осей, тогда формулы (2.22), (2.23), (2.24) с учетом формул (2.20) принимают вид

1) момент инерции фигуры относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллель­ной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстоя­ния между этими осями;

2) центробежный момент инерции относительно любой системы прямоугольных осей равен центробежному моменту относительно системы центральных осей, параллельных данным, плюс произведе­ние, площади фигуры на координаты ее центра тяжести в новых осях.

Отметим, что координаты a, b, входящие в формулу (2.26), сле­дует подставлять с учетом их знака.

Формулы (2.25) показывают, что из всех моментов инерции от­носительно ряда параллельных осей центральные моменты инерции будут наименьшими.

Вычислим момент инерции двутаврового сечения относительно центральной оси z (рис. 25).

Рис. 21

Сечение, состоящее из двух одинаковых полок и стенкиразбиваем на эти три простые части. Тогда

Момент инерции полки относительно оси z на основании формулы (2.25)

Момент инерции стенки

Искомый момент инерции двутавра

(2.27)