1.6. Геометрические характеристики плоских сечений

Основным объектом, изучаемым в курсе сопротивления материалов, является стержень. Сопротивление стержня различным видам деформации часто за­висит не только от его материала и размеров, но и от очертаний оси, формы поперечных сечений и их расположения. Поэтому рассмотрим основные геометрические характеристики его по­перечных сечений, определяющие сопротивление различным видам деформаций. К ним относятся площади поперечных сечений, ста­тические моменты и моменты инерции.

1.6.1 Статические моменты площади. Центр тяжести площади

Рассмотрим произвольную фигуру (поперечное сечение бруса), связанную

с координатными осями Ог и Оу (рис. 12).

Рис 12

Выделим эле­мент площади dF с координатами z, у. По аналогии с выражением для момента силы относительно какой-либо оси составим выражение для момен­та площади, которое называется статическим моментом.

,

статические моменты элемента площади относительно оси Оz и Оу.

Просуммиро­вав такие произведения по всей площади фигуры, получим соот­ветственно статические моменты относительно осей z и у:

(2)

Статические моменты измеряются в единицах длины в кубе (например, см³).

Пусть z_С, y_с — координаты центра тяжести (ц.т.) фигуры. На основании теоремы о мо­менте равнодействующей можно написать следующие выражения:

(3)

где F — площадь фигуры. Отсюда координаты центра тяжести

(4)

Из формул (3) следует, что статиче­ские моменты площади относительно центральных осей (осей, проходящих через центр тяжести) равны нулю.

Пример. Вычислим статиче­ский момент треугольника (рис. 13) относительно оси, проходящей через основание.

Рис 13

На расстоянии у от неё выделим эле­ментарную площадку в виде полоски, параллельной оси z. Площадь полоски

или

Для вычисления статических моментов сложной фигуры ее раз­бивают на простые части (рис. И), для каждой из которых известна площадь Fi и положение центра тяжести z_t и yt. Статический мо­мент площади всей фигуры относительно данной оси определяется как сумма статических моментов каждой части:

По формулам (2.3) и (2.4) находим координаты центра тя­жести сложной фигуры:

(5)

1.6.2. Моменты инерции плоских фигур

Осевым, или экваториальным, моментом инерции площади фи­гуры называют интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний от рассматриваемой оси. Так, моменты относительно осей z и у:

(7)

Величины осевых и полярных моментов инерции всегда положительны.

Центробежным моментом инерции называют интеграл произ­ведений площадей элементарных площадок на их расстояния от ко­ординатных осей z и у:

(8)

Размерность моментов инерции см⁴, .

В зависимости от положения осей центробежный момент инер­ции может быть положительным или отрицательным, а также рав­ным нулю. В самом деле, центробежный момент инерции площади фигуры, показанной на рис. 14, а, относительно выбранной системы осей положителен, так как координаты г, у всех элементов поло­жительны.

Рис 14

При повороте осей вокруг начала координат на 90° (рис. 14, б) знак центробежного момента инерции фигуры меняется на обратный, так как в этом положении координаты z всех элемен­тов положительны, а координаты у — отрицательны. Очевидно, постепенно поворачивая оси, можно найти такое их положение, при котором центробежный момент инерции равен нулю.