1.5. Основные гипотезы . Закон Гука

Для построения теории сопротивления материалов принимают некоторые гипотезы относительно структуры и свойств мате­риалов, а также о характере деформаций. Эти гипотезы следую­щие:

1. Гипотеза о сплошности материала. Предполагается, что материал сплошь заполняет форму тела. Атомистическая тео­рия дискретного строения вещества во внимание не принима­ется.

2. Гипотеза об однородности и изотропности. Материал пред­полагается однородным и изотропным, т. е. в любом объеме и в лю­бом направлении свойства материала считаются одинаковыми. Хотя кристаллы, из которых состоят металлы, анизотропны, но их хао­тическое расположение дает возможность считать макрообъемы ме­таллов изотропными.

В некоторых случаях предположение об изотропии неприемлемо. Например, к анизотропным материалам относятся древесина, свой­ства которой вдоль и поперек волокон существенно различны, ар­мированные материалы и т. п.

3. Гипотеза о малости деформаций. Предполагается, что дефор­мации малы по сравнению с размерами тела. Это позволяет в боль­шинстве случаев пренебречь изменениями в расположении внешних сил относительно отдельных частей тела и составлять уравнения статики для недеформированного тела. В некоторых случаях от этого принципа приходится отступать. Такие отступления оговари­ваются особо.

Малые относительные деформации рассматривают как бесконеч­но малые величины.

4. Гипотеза об идеальной упругости материала. Все тела пред­полагаются абсолютно упругими. Отклонения от идеальной упру­гости, которые всегда наблюдаются при нагружении реальных тел, несущественны и ими пренебрегают до определенных пределов де­формирования.

Большинство задач сопротивления материалов решают в пред­положении линейно деформируемого тела, при кото­ром справедлив закон Гука.

Закон Гука: перемещения в определенных пределах пропорциональны действующим силам.

где нормальное напряжение, E – модуль упругости первого рода, относительное удлинение.

Математическое выражение закона Гука для деформации одностороннего растяжения (сжатия) имеет вид

F=-kx,(1)

где F— Сила натяжения стержня, сила упругости ,k— Коэффициент упругости (Коэффициент деформации, жесткости) [Н/м].

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения S и длины L), записав коэффициент упругости как

где Е - модуль упругости (Юнга) зависит только от химического состава, а от структуры и термообработки не зависит, — абсолютное удлинение стержня,S- площадь поперечного сечения, L— длина стержня.

Закон   Гука  выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред  закон   Гука  неприменим даже при малых деформациях

Приняв гипотезы о малости деформаций и о линейной зависимос­ти между деформациями и усилиями, можно при решении боль­шинства задач сопротивления материалов применять принцип су­перпозиции (принцип независимости и сложения действия сил). Перечисленные гипотезы позволяют решать широкий круг задач по расчету на прочность, жесткость и устойчивость. Результаты расчетов хорошо согласуются с данными практики.

Прочностные характеристики металлов получают в результате испытаний на статическое растяжение, которое проводят на разрывных машинах, получают диаграмму растяжения (рис.12. а) и диаграмму условных напряжений (рис. 12. б) пластичного металла.

Рис12. Изменение деформации в зависимости от напряжения:

а – диаграмма растяжения пластичного материала; б – диаграмма условных напряжений пластичного материала

Начальный участок диаграммы - прямая, в данном случае действует закон пропорциональности. Напряжения здесь вызывают упругую деформацию, подчиняющуюся закону Гука.

Из графика видно, что сколь бы ни было мало приложенное напряжение, оно вызывает деформацию, причем начальные деформации являются всегда упругими и величина их находится в прямой зависимости от напряжения. На кривой, приведенной на диаграмме (рис. 12.а), упругая деформация характеризуется линией ОА и ее продолжением.

Выше точки А нарушается пропорциональность между напряжением и деформацией. Напряжение вызывает уже не только упругую, но и пластическую деформацию.

Представленная зависимость между приложенным извне напряжением и вызванной им относительной деформацией характеризует механические свойства металлов:

• наклон прямой ОА (рис. 12. а) показывает жесткость металла или характеристику того, как нагрузка, приложенная извне, изменяет межатомные расстояния, что в первом приближении характеризует силы межатомного притяжения; тангенс угла наклона прямой ОА пропорционален модулю упругости (Е), который численно равен частному от деления напряжения на относительную упругую деформацию (Е=  / );

• напряжение _пц (рис. 12 б), которое называется пределом пропорциональности, соответствует моменту появления пластической деформации. Чем точнее метод измерения деформации, тем ниже лежит точка А;

• напряжение s_упр (рис. 12б), которое называется пределом упругости, и при котором пластическая деформация достигает заданной малой величины, установленной условиями. Часто используют значения остаточной деформации 0,001; 0,005; 0,02 и 0,05%. Соответствующие пределы упругости обозначают s_0,005, s_0,02 и т.д. Предел упругости – важная характеристика пружинных материалов, которые используют для упругих элементов приборов и машин;

• напряжение s_0,2, которое называется условным пределом текучести и которому соответствует пластическая деформация 0,2 % (рис 13)

• предел текучести

Физический предел текучести s_т определяется по диаграмме растяжения, когда на ней имеется площадка текучести. Однако при испытаниях на растяжение большинства сплавов площадки текучести на диаграммах нет Выбранная пластическая деформация 0,2 % достаточно точно характеризует переход от упругих деформаций к пластическим, а напряжение s_0,2 несложно определяется при испытаниях независимо от того, имеется или нет площадка текучести на диаграмме растяжения. Допустимое напряжение, которое используют в расчетах, выбирают обычно меньше s_0,2 в 1,5 раза;

• максимальное напряжение s_в, которое называется временным сопротивлением, характеризует максимальную несущую способность материала, его прочность, предшествующую разрушению, и определяется по формуле

s_в = Р _max / F_o

Допустимое напряжение, которое используют в расчетах, выбирают меньше s_в в 2,4 раза.

Пластичность материала характеризуется относительным удлинением  и относительным сужением :

 = ( l_к – l_о) / l_о * 100,

 = ( F_о – F_к) / F_о * 100,

где l_о и F_о – начальные длина и площадь поперечного сечения образца;

l_к - конечная длина образца;

F_к – площадь поперечного сечения в месте разрыва.