Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Сложение и вычитание удобнее производить над комплексными числами в алгебраической форме, а умножение и деление – в тригонометрической форме.

1. Умножений. Пусть даны два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме: z₁ = r₁(cos₁ + isin₁) z₂ = r₂(cos₂ + isin₂).

z₁z₂ = r₁r₂(cos₁cos₂ – sin₁sin₂) + i(cos₁sin₂ + sin₁cos₂) = = r₁r₂(cos(₁ + ₂) + isin(₁ + ₂)).

Итак, модуль |z₁z₂| = r₁r₂, аргумент arg(z₁z₂) = arg z₁ + arg z₂.

Пример 1.13. Для z₁ = 2(cos + isin) и z₂ = 3(cos + isin) найти их произведение z₁z₂.

Решение. Применяем формулу для нахождения произведения двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. z₁z₂ = 23(cos( + ) + isin( + )) = 6(cos + isin) – тригонометрическая форма произведения чисел z₁ и z₂ или в алгебраической форме z₁z₂ = 6i.

2. Деление. ===

= =

= ( cos(₁ – ₂) + isin(₁ – ₂))

Итак, модуль || = , аргумент arg() = arg z₁ – arg z₂.

Пример 1.14. Для z₁ = 10(cos45 + isin45) и z₂ = 5(cos60 + isin60) найти их частное от деления .

Решение.

= (cos(45 – 60) + isin(45 – 60)) = 2(cos(–15) + isin(–15)) – тригонометрическая форма частного чисел z₁ и z₂. Заметим, что если данное выражение записать в виде равносильного выражения 2(cos15 – isin15), то это не будет уже тригонометрической формой записи комплексного числа.

3. Возведение в степень.

Если z = r(cos + isin), то zⁿ = rⁿ(cos(n) + isin(n)), где n  Z. Данная формула называется формулой Муавра⁹.

Пример 1.15. Для z = – i, найти z⁴.

Решение. Воспользуемся формулой Муавра, но для начала надо это комплексное число записать в тригонометрической форме. В примере 1.12 мы это уже находили z = – i = 2(cos + isin). Тогда z⁴ = (– i)⁴ = (2(cos + isin))⁴ = 2⁴(cos + isin) =  = 16(cos + isin) – тригонометрическая форма результата возведения в четвертую степень данного комплексного числа. Найдем также и алгебраическую форму записи числа z⁴. z⁴ = 16(cos + isin) = 16(cos – isin) = 16( – i) =  = –8 – 8i.

4. Извлечение корня n-ой степени.

Можно показать, что каждое комплексное число, отличное от нуля, имеет ровно n корней n-й степени.

Если z = r(cos + isin), то

= =

(cos + isin), гдеk = 0, 1, …, n – 1.

Пример 1.16. Найти .

Решение. Пусть z = 16, найдем сначала тригонометрическую форму данного комплексного числа. Имеем z = 16  a = 16, b = 0  r = == 16;т. к. a = 16 > 0, то  =  = =  == 0.Тогда z = 16 = r(cos + isin) = 16(cos0 + isin0).

Применяем формулу для нахождения корня n-ой степени.

= ==(cos + isin) =

= 2(cos + isin) ,где k = 0, 1, 2, 3. Найдем все четыре корня:

k = 0  ₀ = 2(cos + isin) = 2 (cos0 + isin0) = 2,

k = 1  ₁ = 2(cos + isin) = 2(cos + isin) = 2(0 +i1) = 2i,

k = 2  ₂ = 2(cos + isin) = 2(cos + isin) = 2(–1 + i0) = –2,

k = 3  ₃ = 2(cos + isin) = 2(cos + isin) = 2(0 –i)) = –2i.

Замечание. Геометрически все n значений корней n-ой степени из комплексного числа r(cos + isin) изображаются точками, лежащими на окружности с центром в начале координат, радиус которой равен . Если эти точки соединить, то в результате получится правильный n-угольник.