- •Т. Н. Матыцина е. К. Коржевина линейная алгебра
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Множества
- •1.1. Множества и их элементы. Способы задания множеств
- •1.2. Подмножества. Диаграммы Эйлера – Венна
- •1.3. Операции над множествами и их свойства
- •1. Объединение (или сумма).
- •2. Пересечение (или произведение).
- •3. Разность.
- •4. Декартовое произведение (или прямое произведение).
- •Свойства операций над множествами
- •1.4. Метод математической индукции
- •1.5. Комплексные числа
- •Операции над комплексными числами
- •Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
- •3. Возведение в степень.
- •4. Извлечение корня n-ой степени.
- •Показательная форма комплексного числа
- •2. Бинарные отношения
- •2.1. Понятие отношения
- •Способы задания бинарных отношений
- •Операции над бинарными отношениями
- •2.2. Свойства бинарных отношений
- •2.3. Отношение эквивалентности
- •2.4. Функции
- •3. Матрицы и действия над ними
- •3.1. Общие понятия
- •3.2. Основные операции над матрицами и их свойства
- •3.2.1. Сложение однотипных матриц
- •3.2.2. Умножение матрицы на число
- •3.2.3. Умножение матриц
- •3.3. Транспонирование матриц
- •4. Определители квадратных матриц
- •4.1. Определители матриц второго и третьего порядка
- •4.2. Определитель матрицы n-го порядка
- •4.3. Свойства определителей
- •4.4. Практическое вычисление определителей
- •5. Ранг матрицы. Обратная матрица
- •5.1. Понятие ранга матрицы
- •5.2. Нахождение ранга матрицы методом окаймления миноров
- •5.3. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований
- •5.4. Понятие обратной матрицы и способы ее нахождения
- •Алгоритм нахождения обратной матрицы
- •Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований
- •6. Системы линейных уравнений
- •6.1. Основные понятия и определения
- •6.2. Методы решения систем линейных уравнений
- •6.2.1. Метод Крамера
- •6.2.2. Метод обратной матрицы
- •6.2.3. Метод Гаусса
- •Описание метода Гаусса
- •6.3. Исследование системы линейных уравнений
- •6.4. Однородные системы линейных уравнений
- •Свойства решений однородной системы линейных уравнений
- •Фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений
- •7. Арифметическое n-мерное векторное пространство
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Линейная зависимость и независимость системы векторов
- •Свойства линейной зависимости системы векторов
- •Единичная система векторов
- •Две теоремы о линейной зависимости
- •7.3. Базис и ранг системы векторов
- •Базис пространства Rn
- •Ранг системы векторов
- •8. Векторные (линейные) пространства
- •8.1. Определение векторного пространства над произвольным полем.
- •Простейшие свойства векторных пространств
- •Линейная зависимость и независимость системы векторов
- •8.2. Подпространства. Линейные многообразия
- •Пересечение и сумма подпространств
- •Линейные многообразия
- •8.3. Базис и размерность векторного пространства
- •8.3.1. Конечномерные векторные пространства
- •Базис конечномерного векторного пространства
- •8.3.2. Базисы и размерности подпространств
- •8.3.3. Координаты вектора относительно данного базиса
- •8.3.4. Координаты вектора в различных базисах
- •8.4 Евклидовы векторные пространства
- •Скалярное произведение в координатах
- •Метрические понятия
- •Процесс ортогонализации
- •Скалярное произведение в ортонормированном базисе
- •Ортогональное дополнение подпространства
- •9. Линейные операторы
- •9.1. Основные понятия и способы задания линейных операторов
- •Способы задания линейных операторов
- •9.2. Матрица линейного оператора Связь между координатами вектора и координатами его образа
- •Матрицы линейного оператора в различных базисах
- •9.3. Подобные матрицы
- •Свойства отношения подобия матриц
- •9.4. Действия над линейными операторами
- •1. Сложение линейных операторов.
- •Свойства сложения линейных операторов
- •9.5. Ядро и образ линейного оператора
- •9.6. Обратимые линейные операторы
- •9.7. Собственные векторы линейного оператора
- •9.7.1. Свойства собственных векторов
- •9.7.2. Характеристический многочлен матрицы
- •9.7.3. Нахождение собственных векторов линейного оператора
- •9.7.4. Алгоритм нахождения собственных векторов линейного оператора
- •9.7.5.Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице
- •10. Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора
- •10.1. Понятие λ-матрицы
- •Свойства λ-матрицы
- •10.2. Жорданова нормальная форма
- •10.3.Приведение матрицы к жордановой (нормальной) форме
- •Алгоритм приведения матрицы a к жордановой форме
- •11. Билинейные и квадратичные формы
- •11.1. Билинейные формы
- •Свойства билинейных форм
- •Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы
- •11.2. Квадратичные формы
- •Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •Закон инерции квадратичных форм
- •Классификация квадратичных форм
- •Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы
- •Необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы
- •Необходимое и достаточное условие квазизнакопеременности квадратичной формы
- •Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Линейная алгебра
- •156961, Г. Кострома, ул. 1 Мая, 14
9.7. Собственные векторы линейного оператора
В векторном пространстве V над произвольным полем P задан линейный оператор .
Определение 9.13. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора с собственным значением λ, если (х) = λx.
Говорят, что вектор x принадлежит собственному значению λ.
При этом λ называется не только собственным значением вектора x, но и собственным значением линейного оператора .
Пример 9.5. 1) Любой ненулевой вектор является собственным вектором оператора гомотетии.
2) Рассмотрим оператор дифференцирования в пространстве дифференцируемых функций. Вектор f = е3х является собственным вектором этого оператора с собственным значением 3, так как f ' = 3е3х = 3f.
3) Для линейного оператора, заданного матрицей M() = собственным является вектор c = (1, 2, 0), так как (с) = 2с. Проверим это:
[(с)] = M()[c] = = = 2= 2[с].
9.7.1. Свойства собственных векторов
1. Каждый собственный вектор принадлежит только одному собственному значению.
Доказательство. Пусть x собственный вектор с двумя собственными значениями 1 и 2. Тогда (x) = 1х и (x) = 2x. Отсюда 1х = 2x (1 – 2)x = 0 и так как вектор x ненулевой, то (1 – 2) = 0 1 = 2.
2. Если вектор x – собственный вектор линейного оператора с собственным значением λ, то вектор y = kx (k 0) тоже собственный с тем же собственным значением λ.
Доказательство. (y) = (kx) = k(x) = k(x) = (kx) = y. Следовательно, вектор y – собственный вектор оператора с собственным значением .
3. Множество собственных векторов с одним и тем собственным значением λ при добавлении нулевого вектора образует подпространство пространства V.
Доказательство. Обозначим это множество символом L(). Докажем, что множество L() {o} образует подпространство пространства V, для чего проверим его замкнутость относительно сложения векторов и умножения их на элемент поля.
Пусть x, y L() {o}, тогда (x) = х, (y) = y. Найдем (x + y): (x + y) = (x) + (y) = х + y = (х + y), значит (х + y) L() {o}.
Пусть x L() {o}, k P, (x) = х, тогда (kx) = k(x) = k(х) = (kх), значит kх L() {o}.
4. Собственные векторы с попарно различными собственными значениями линейно независимы.
Следствие. Линейный оператор, заданный в n-мерном линейном пространстве, не может иметь более чем n различных собственных значений.
9.7.2. Характеристический многочлен матрицы
Дана матрица A Рnn (или A Rnn).
Определение 9.14. Характеристическим многочленом матрицы A называется многочлен, зависящий от λ и равный |A – E|, т. е. многочлен f(λ) = |A – E|, где E – единичная матрица таково же порядка что и А.
Пример 9.6. Найти характеристический многочлен матрицы A = .
Решение. Составим определитель матрицы A – E и вычислим его
|A – E| = = =
= (2 – λ)(–1)2 + 2 · = (2 – λ)((1 – )(–1 – ) – 8) =
= (2 – λ)(λ – 3)(λ + 3).
Определение 9.15. Характеристическим уравнением матрицы A называется уравнение |A – E| = 0.
Определение 9.16. Собственными значениями (собственными числами) матрицы A называются корни ее характеристического уравнения.
Найдем собственные значения матрицы из примера 9.6: (2 – λ)(λ – 3)(λ + 3) = 0. Получим: 1 = 2, 2 = 3, 3 = –3.
Теорема 9.12. Характеристические многочлены подобных матриц равны.
Доказательство. Пусть матрицы А и В подобны, то есть А = T –1ВТ. Тогда
|A – E| = |T –1ВТ – T –1ЕТ | = |T –1(В – Е)Т | = |T –1||В – Е||Т | = = |T –1||Т ||В – Е| = |T –1Т ||В – Е| = |E||В – Е| = 1|В – Е| = |В – Е|.
Так как характеристические многочлены равны, то совпадают и множества собственных значений подобных матриц А и В.
Следствие. Характеристический многочлен матрицы линейного оператора не зависит от базиса, в котором найдена эта матрица (матрицы линейного оператора, найденные в различных базисах, подобны).