Свойства линейной зависимости системы векторов

1) Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

2) Система векторов линейно зависима, если какая-нибудь ее подсистема линейно зависима.

Следствие. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима.

3) Если к линейно независимой системе векторов а₁, а₂, …, а_m добавить вектор b и при этом система векторов а₁, а₂, …, а_m, b станет линейно зависимой, то вектор b линейно выражается через остальные.

Определение7.12. Система векторов а₁, а₂, …, а_m называется ступенчатой (или лестничной), если матрица, составленная из координат этих векторов, является ступенчатой, т. е.

а₁ = (а₁₁, а₁₂, …, а_1r, …, а_1n), а₁₁ ≠ 0;

а₂ = (0, а₂₂, …, а_2r, …, а_2n), а₂₂ ≠ 0;

……………………………………

а_m = (0, 0, …, а_rr, …, а_rn), а_rr ≠ 0.

4) Ступенчатая система векторов линейно независима.

Пример 7.3. Выяснить является ли система векторов а₁ = (2, 2, 7, –1), а₂ = (3, –1, 2, 4), а₃ = (1, 1, 3, 1) линейно зависимой.

Решение. По определениям 7.10 и 7.11 составим линейную комбинацию данных векторов k₁а₁ + k₂а₂ + k₃а₃ = 0; подставим вместо векторов их координаты:

k₁(2, 2, 7, –1) + k₂(3, –1, 2, 4) + k₃(1, 1, 3, 1) = (0, 0, 0, 0).

Данное векторное равенство (согласно определению 7.2 о равенстве векторов) запишем для каждой координаты, и получим систему:

Решим систему методом Гаусса.

 

Следовательно, данная система векторов линейно независима.

Единичная система векторов

Определение 7.13. Системой единичных векторов пространства Rⁿ называется система векторов e₁, e₂, …, e_n, где e₁ = (1, 0, …, 0), e₂ = (0, 1, …, 0), …, e_n = (0, 0, …, 1).

Выпишем единичные векторы для пространств R³ и R⁴:

e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0), e₃ = (0, 0, 1);

e₁ = (1, 0, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0, 0), e₃ = (0, 0, 1, 0), e₄ = (0, 0, 0, 1).

Из свойств линейной зависимости следует, что единичная система векторов линейно независима. Любой вектор а = (₁, ₂, …, _n) пространства Rⁿ может быть представлен в виде линейной комбинации единичных векторов. Например, если а = (–2, 4, 7), то а = (–2)e₁ + 4e₂ + 7e₃.

Вывод. В пространстве Rⁿ существует n линейно независимых векторов, через которые линейно выражаются все векторы пространства Rⁿ.

Две теоремы о линейной зависимости

Теорема 7.1. Если большая система векторов линейно выражается через меньшую, то большая система линейно зависима.

Сформулируем эту теорему подробнее: пусть а₁, а₂, …, а_m и b₁, b₂, …, b_k две системы векторов и m > k, то есть первая система большая. Если а₁, а₂, …, а_m  L(b₁, b₂, …, b_k), то система векторов а₁, а₂, …, а_m линейно зависима.

Теорема 7.2. В пространстве Rⁿ любая система, состоящая более чем из n векторов, линейно зависима.

Это следует из того, что в Rⁿ любая система выражается через систему e₁, e₂, …, e_n.

Следствие. Если а₁, а₂, …, а_m  L(b₁, b₂, …, b_k) и система а₁, а₂, …, а_m линейно независима, то m  k.

7.3. Базис и ранг системы векторов

Пусть S – система векторов пространства Rⁿ; она может быть как конечной, так и бесконечной. S' – подсистема системы S, S'  S. Дадим два равносильных определения.

Определение 7.14. Базисом системы S называется такая ее подсистема S', что

1. система S' линейно независима;

2. каждый вектор системы S линейно выражается через векторы системы S'.

Определение 7.15. Базисом системы S называется максимальная линейно независимая ее подсистема S', то есть

1. система S' линейно независима;

2. если к S' добавить любой вектор из системы S, то получится линейно зависимая система.

Рассмотрим линейно независимую систему векторов; она совпадает со своей максимальной линейно независимой подсистемой. Это означает, что базис такой системы совпадает с ней самой. Базис ступенчатой системы векторов тоже совпадает с ней самой, в силу ее линейной независимости.

Теорема 7.3. Два различных базиса одной и той же системы векторов содержат одинаковое количество векторов.

Доказательство. Пусть S –данная система векторов. Векторы а₁, а₂, …, а_m – базис S' системы S, векторы b₁, b₂, …, b_k – базис S'' системы S. Так как а₁, а₂, …, а_m – базис, то b₁, b₂, …, b_k  L(а₁, а₂, …, а_m) и b₁, b₂, …, b_k линейно независимы, тогда по следствию из двух терем 7.1 и 7.2 k  m.

Так как b₁, b₂, …, b_k – базис, то а₁, а₂, …, а_m  L(b₁, b₂, …, b_k) и а₁, а₂, …, а_m – линейно независимы, тогда по тому же следствию m  k, и окончательно получаем, что m = k. Теорема доказана.