Ответы к ГОСу / 7

7. Дифференцирование функций многих переменных: производная по направлению, частные производные, дифференциал, Производная от сложных функций, градиент, направления убывания, геометрический смысл градиента.

Пусть каждой упорядоченной паре (х, у) ставится в соответствие единственное число z, (x, y, z R) => задана функция z = z(x, y). Пусть функция z(x, y) определена в некоторой окрестности т.(х₀, у₀) и пусть т. (х₀+∆х, у₀) и (х₀, у₀+∆у)  этой окрестности.

Рассмотрим . Если он  и конечен, то его значение называется частной производной функции z по переменной х в т.(х₀, у₀) и обозначается . Т.е. при вычислении частной производной по x аргумент y считается константой. Если , то функция называется дифференцируемой по x в точке (x₀, y₀). Аналогично определяется частная производная по у.

Функция z = z(x, y) называется дифференцируемой (дифференцируемой по совокупности аргументов) в т. (х₀,у₀), если полное приращение этой функции ∆z = z(х₀+∆x, у₀+∆y) – z(х₀, у₀) представимо в виде

∆z = A∆x + B∆y + (∆x, ∆y)∆x + (∆x, ∆y)∆y,

где ,  - бесконечно малые при ∆x0 и ∆y0, т.е. .

Если функция дифференцируема по совокупности аргументов, то она дифференцируема и по  аргументу в отдельности, т.е.  ее частная производная по  из аргументов. Обратное утверждение неверно.

ДОК-ВО. Аналогично . ЧТД.

Т. Если функция z = z(x, y) дифференцируема и по каждому из аргументов в отдельности в некоторой окрестности т.(х₀, у₀) и все частные производные I порядка непрерывны в т.(х₀, у₀), то функция дифференцируема в т.(х₀, у₀).

Понятие непрерывности зависит от метрики. 1) 2)

 для  > 0  > 0:  (x, y)D(z)  O_(x₀, y₀) \ {x₀, y₀}: z(x, y)  O_(A)

Значение lim не должно зависеть от способа стремления точки (x, y) к точке (x₀, y₀):

на плоскости

для функции нескольких переменных

При разных  получаем разные значения lim  lim не .

Непрерывность

Функция z(x, y) называется непрерывной в точке (x₀, y₀), если:

1. (x₀, y₀)  D(z)

2. .

Если функция z = z(x, y) дифференцируема в точке по совокупности аргументов, то она непрерывна в этой точке.

Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀, y₀, z(x₀, y₀)) называется касательной плоскостью к поверхности z = z(x, y), если угол между этой плоскостью и секущей, проведенной через точку M₀ и  точку M поверхности, стремится к 0, когда M  M₀.

Дифференцируемость функции z(x, y) равносильна -ию касательной плоскости к поверхности z = z(x, y) в точке (x₀, y₀, z(x₀, y₀)).

Главная линейная относительно приращений аргументов часть полного приращения функции A∆x + B∆y называется ее полным дифференциалом и обозначается:

Линейность оператора: – аддитивность A(x + y) = Ax + Ay – однородность A(x) = Ax

Производная по направлению

Пусть z = z(x, y) определена в некоторой окрестности точки (x₀, y₀) и пусть ось проходит через (x₀, y₀). Рассмотрим точку M(x, y), лежащую на оси

+ если сонаправлен с

– если противоположно направлен с

Рассмотрим , если он  и конечен, то его значение называется производной функции z в направлении оси в точке (x₀, y₀).

Можно показать, что

,  – углы, образованные осью с положительным направлениями осей Ox и Oy.

Значение производной в направлении оси характеризует скорость изменения функции в направлении оси в точке (x₀, y₀).

Если (z/)>0, то функция возрастает, <0 – убывает.

Градиентом функции z = z(x, y) в точке (x₀, y₀) называется вектор с координатами:

– орт-вектор, длина = 1.

при получаем

Производная по направлению имеет наибольшее значение, когда угол , т.е. градиент всегда направлен в сторону наибольшего роста функции и в этом случае: Противоположное направление – антиградиент – указывает направление, в котором функция максимально быстро убывает. Градиент направлен перпендикулярно поверхности уровня, т.е. с геометрической точки зрения градиент в точке (x0, y0) ортогонален линии уровня, проходящей через эту точку

Производная сложной функции

Пусть z = z(x, y)

x = x(u, v, t)

y = y(u, v, t)

если функции x и y дифференцируемы по совокупности аргументов в точке (u₀, v₀, t₀), а z дифференцируема в точке (x₀, y₀), то сложная функция z = z(x(u, v, t), y(u, v, t)) дифференцируема в точке (u₀, v₀, t₀) и справедливы формулы

ДОК-ВО: Придадим u приращение u => х и у получат соответствующие приращения: ux = x(u+u, v, t) – x(u, v, t)  uz = z(x+x, y+y) – z(x, y). Т.к. z дифференцируема, то ее приращение uz представимо в виде uz=Аux+Buy+(xu,yu)xu +(xu,yu)yu, где  и  бесконечно малые при x0, y0. Разделим на u и перейдем к пределу.  , ЧТД.

z = z(x, y, t) x = x(t) y = y(t) z = z(x(t), y(t), t) = z(t)