43
Цена
P(r) |
|
|
P(r) |
|
|
0 |
|
|
r |
r |
Доходность |
|
Рис. 3.1. |
|
Рассмотрим теперь момент погашения облигации |
t tn . Тогда |
|
n |
|
n |
|
|
|
i |
t |
|
P(r, t |
|
) |
t |
|
|
C (1 r) n |
i |
||
|
|
|
i 1 |
|
|
n |
|
n |
|
|
|
i |
t |
|
P(r, t |
|
) |
t |
|
|
C (1 r) n |
i |
||
|
|
|
i 1 |
|
,
.
t |
* |
|
,
Так как r r , то
Из неравенств (3.25) и
когда P(r,t |
* |
) P(r,t |
* |
) |
|
|
|||
n |
n |
|
||
|
|
|
|
P(r, tn ) P(r, tn ) . |
(3.26) |
||
(3.26) следует, что существует такой момент времени
. Можно показать, что момент |
t |
* |
является |
|
единственным (см.
P(r)(1 r) |
t |
* |
P(r)(1 |
|
|
||||
|
|
Отсюда
r
рис.3.2.). Значение
|
t |
* |
|
) |
. |
||
|
t |
* |
|
найдем из равенства
|
|
|
|
P(r) |
|
|
|
|
ln |
|
|
t |
* |
|
|
P(r) |
|
|
1 r |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
ln |
1 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
.
(3.27)
44
P(r,t),
P(r, t)
P(r)
P(r)
0
t |
* |
t |
|
||
|
|
n |
Рис. 3.2.
|
|
|
|
|
|
|
|
Случай, когда r < r, доказывается аналогично |
|
||||||
3. Теорема (об иммунизирующем свойстве дюрации облигации). |
|
||||||
Пусть |
D D(r) – дюрация облигации в момент t = 0, когда безрисковые |
||||||
процентные |
ставки для всех сроков |
одинаковы и равны r . Тогда в |
момент |
||||
времени, равный дюрации облигации, |
t D , фактическая стоимость инвестиции в |
||||||
облигацию не меньше планируемой, т.е. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(r, D) P(r, D) |
(3.28) |
|||
для любых значений r .
Доказательство. Если после покупки облигации временная структура процентных ставок не изменилась, то r r и P(r, D) P(r, D) .
Если сразу после покупки облигации безрисковые процентные ставки изменились и стали равными r , то в момент t D фактическая стоимость инвестиции в облигацию P(r, D) согласно (3.23) равна:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(r, D) P(r)(1 r) |
D |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Продифференцируем это выражение по r |
: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (r)(1 r) |
D |
D P(r)(1 |
r) |
D 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
P(r, D) |
r |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как |
P (r) |
D(r) |
|
|
|
(см. параграф п. 3.2), то |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
P(r) |
1 |
r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
.
|
|
P(r, D) |
r |
|
|
45P(r)(1
r) |
D 1 |
D |
|
D(r)
.
Пусть
r
r
. Тогда по свойству 3 дюрации облигации
D(r)
D(r)
D
.
Отсюда |
|
|
|
0 . Значит, |
P(r, D) |
– возрастающая функция r при |
||||||
P(r, D) |
r |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r r . Если |
r r , |
то |
D(r) D(r) D . Тогда |
|
|
0 . Значит, P(r, D) – |
||||||
P(r, D) |
r |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
убывающая функция |
r |
|
при r r . Таким образом, |
в т. |
r r |
функция P(r, D) |
||||||
достигает минимума. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
P(r, D) P(r, D) . |
|
|
|
|
(3.29) |
|
Таким образом, |
при любых значениях r |
выполняется неравенство (3.28). |
||||||||||
Заметим, |
что при |
r r неравенство является строгим, т.е. |
имеет вид (3.29). |
|||||||||
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
На |
основании |
|
|
доказанной |
теоремы |
можно |
сформулировать |
|||||
иммунизирующее свойство дюрации облигации. Пусть |
в |
момент |
||
инвестирования |
t |
= 0 безрисковые процентные ставки для |
всех |
сроков |
одинаковы. Тогда в момент времени, равный дюрации облигации, инвестиция в облигацию иммунизирована (защищена) против изменений безрисковых процентных ставок сразу после t = 0 на одну и ту же величину (или до момента t1
– первого платежа по облигации, в чем несложно убедиться).
Следствие. Пусть D D(r) – дюрация облигации в момент |
t = 0, когда |
безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны |
r , а r1 и r2 |
– безрисковые процентные ставки сразу после |
t |
= 0. Тогда если r1 r r2 , то |
t |
* |
(r |
) D t |
* |
(r ) . |
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
1 |
Доказательство. Рассмотрим r1 r . Согласно теореме
P(r1, D) P(r, D) .
Так как P(r , D) P(r )(1 r )D |
и |
P(r, D) P(r)(1 r)D , то |
||
1 |
1 |
1 |
|
|
P(r )(1 r )D P(r)(1 r)D .
1 1
(3.30)
Отсюда
Так как
|
|
что |
ln |
|
|
|
|
Тогда
r1 r , то
1 r |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 r |
|||
|
|
0
P
,
(r1)
ln
|
|
|
|
46 |
||
|
1 r |
|
D |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
r |
|
||
|
|
|
|
|
||
D ln |
1 r |
|
||||
|
|
1 |
|
|||
|
|
|||||
|
|
1 r |
|
|||
P(r) |
, |
(1 r) |
||||
P(r) |
|
0 . |
|
|
||
P(r ) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
||
|
P(r) |
, |
|
P(r ) |
|||
|
|
||
|
1 |
|
ln P(r )
1
(1 r1) и получим,.)(rP
D |
ln P(r) / P(r1) |
t*(r ) . |
|
ln (1 r1) /(1 r) |
|||
|
1 |
||
|
|
Аналогично доказывается вторая часть неравенства (3.30).
P(r,t)
P(r1, t)
P(r2 ,t)
P(r1)
P(r)
P(r2 )
0 |
t*(r ) D |
|
2 |
Рис. 3.3
t |
* |
(r ) |
|
||
|
|
1 |
tn
Пример 3.3. Дана 10% - ная купонная облигация номиналом 100 д.е., по которой ежегодно обещают производить купонные выплаты в течение трех лет. Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 10% годовых. Сразу после покупки облигации процентные ставки а) снизились до 9% годовых; б) увеличились до 11 % годовых. Найти:
47
1)планируемую и фактическую стоимость инвестиции в облигацию в момент времени, равный дюрации облигации;
2)моменты времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции совпадают.
В таблице приведены расчеты цены |
P(r) |
момент покупки облигации, а также величин годовых, r1 = 9%, r2 = 11% годовых.
и дюрации облигации D D(r) на
P(r1 ) |
и |
P(r2 ) , где r = 10% |
Номер Срок платеж платеж
а |
а |
t |
|
i |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
2 |
3 |
|
3 |
|
|
|
Сумма
платежа
Ci
10
10
110
Сумма
r |
= 0,1 |
9,090
8,264
82,644
100,000
Ci (0)
r1 |
= 0,09 |
9,174
8,416
84,940
102,531
r2 |
= 0,11 |
9,009
8,116
80,431
97,556
Ci (0) P(r)
0,0909
0,0826
0,826
1,000
tCi (0) i P(r)
0,0901
0,16529
2,47934
2,73554
Таким образом, |
дюрация облигации в момент ее покупки D |
= |
2,735 лет. |
|||||
Цена покупки |
P(0.1) |
= 100,00 д.е. Величины P(0.09) |
= 102,531 д.е. и |
P(0.11) = |
||||
97,556 д.е. – |
оценки облигации на момент t |
= |
0, |
соответствующие новой |
||||
временной структуре процентных ставок после |
t |
= |
0. Тогда |
планируемая |
||||
стоимость инвестиции в облигацию на момент времени t D равна: |
|
|
||||||
|
|
P(0.1, D) P(0.1)(1 0.1) |
D |
= 129,787. |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
Фактические стоимости
P(0.09, D) P(0.09)(1 0.09) |
D |
|
= 129,789.
P(0.11, D) P(0.11)(1 0.11) |
D |
= 129,789. |
|
|
|
|
|
||
В обоих случаях фактическая стоимость инвестиции в момент |
t D |
больше |
||
планируемой. В первом случае в момент |
|
t D снижение |
ставки |
|
реинвестирования компенсировано ростом рыночной цены облигации в момент t 0 по сравнению с планируемой. Во втором случае снижение рыночной цены в момент t 0 вследствие роста процентных ставок компенсировано возросшей ставкой реинвестирования по сравнению с планируемой.
2)Моменты времени, когда планируемая и фактическая стоимости
инвестиции совпадают, равны соответственно
Таким образом,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(0,1) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
P(0,09) |
|
||||||||||
|
|
t |
* |
(0.09) |
|
|
|
|
|
= 2,737 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1,09 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(0,1) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(0,11) |
|
|||||||||
|
|
t |
* |
(0.11) |
|
|
|
|
|
= 2,733. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1,11 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1 |
|
|
|
|
||||
t |
* |
(0.11) D t |
* |
(0.09) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вопросы для самопроверки
1.Дайте определение дюрации облигации и запишите формулу ее вычисления.
2.Как связана дюрация с изменением цены облигации? Получите формулу.
3.Что такое показатель выпуклости облигации и как он влияет на изменение цены облигации?
4.Первое свойство дюрации облигации
5.Второе свойство дюрации облигации
6.Зависимость дюрации и показателя выпуклости от внутренней доходности облигации.
7.Свойство дюрации и показателя выпуклости облигации с отсроченными платежами.
8.Зависимость дюрации и показателя выпуклости облигации от купонной ставки.
9.Зависимость дюрации облигации от срока до погашения.
10.Дайте понятие стоимости инвестиции в облигацию. Каким образом она определяется?
11.Как определяется планируемая и фактическая стоимость инвестиции в облигацию?
12.Первое свойство планируемой и фактической стоимости инвестиции в облигацию.
13.Второе свойство планируемой и фактической стоимости инвестиции в облигацию.
14.Сформулируйте и докажите теорему об иммунизирующем свойстве дюрации облигации.
15.Следствие теоремы об иммунизирующем свойстве дюрации облигации.