Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1268 вузов, 4651 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Математические методы финансового анализа..pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
2.72 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

 

 

 

 

75

 

 

 

Трансакционные расходы 0,005

(v1

y2 ) = 9,663= C1

 

 

 

Поступивший в момент t 1 платеж

 

0

 

 

 

 

R1

= 845,441. Имеем равенство

1

R

0

y = 1393,927

 

 

 

C v

 

 

 

 

1

 

1

2

 

 

 

– затраты равны поступлениям.

На

 

поступивший платеж

R

0

и выручку от

 

 

 

 

 

 

 

1

 

продажи части облигаций одного вида покупаются облигации другого вида и выплачиваются комиссионные на переформирование портфеля. Купля, продажа

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

производятся по ценам облигаций на момент t 1, т.е. P , P .

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

Момент времени t 2

 

 

 

От

портфеля

 

1

= 5863,815

д.е. Облигация

A

поступает платеж R

 

 

 

1

 

1

 

 

 

1

погашена.

Рыночная ставка

r2 = 0,04. Дюрация портфеля

1 в момент

t 2

равна D

2

 

 

 

 

 

= 1,925 – дюрации

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

облигаций

A2

, оставшихся в портфеле. Инвестиционный горизонт портфеля 1 в

момент

t 2

равен 1

году.

Так как дюрация

портфеля

не совпадает

с

его

инвестиционным горизонтом, портфель необходимо переформировать. Однако из

облигаций

A2 нельзя сформировать портфель с

дюрацией, равной 1 году.

Портфель продается.

 

 

Стоимость инвестиции в портфель 1

в момент

t 2 :

V1(r , 2) = 5863,815 +

516,059

+

 

2

1

0,08

 

 

 

6966,

799

(1 0,

08)

2

 

= 12314,555.

Портфель продается за

P(r

, 2)

2

 

=

516,059 1 0,08

+

6966,

799

= 6450,740.

(1 0,

08)2

 

 

Сумма комиссионных

0,005 P(r2 , 2)

= 32,253. На счет в банк вкладывается

Вопросы для самопроверки

1.В чем состоит суть схемы управления портфелем в стратегии иммунизации?

2.Приведите первый этап схемы управления иммунизированным портфелем без трансакционных расходов в момент времени t = 0.

3.Приведите второй этап схемы управления иммунизированным портфелем без трансакционных расходов в момент времени t = t1.

4.Что надо сделать с портфелем, если в какой-то момент времени нельзя

сформировать портфель с требуемой дюрацией?

76

5.Приведите первый этап схемы управления иммунизированным портфелем при наличии трансакционных расходов в момент времени t = 0.

6.Приведите второй этап схемы управления иммунизированным портфелем при наличии трансакционных расходов в момент времени t = t1.

7.Что надо сделать с портфелем, если в какой-то момент времени нельзя сформировать портфель с требуемой дюрацией?

8.С какой проблемой сталкивается инвестор при наличии трансакционных расходов?

77

Тема 6. Основы портфельного анализа в условиях неопределенности. Модель Марковица

Модель портфельного анализа Марковица основана на следующих предположениях:

Рынок состоит из конечного числа абсолютно ликвидных активов, которые подразумеваются бесконечно делимыми. Доходности рисковых активов являются нормально распределенными случайными величинами, имеющими конечные моменты первого (математическое ожидание) и второго (дисперсия) порядка.

Индивидуальные предпочтения инвестора задаются функцией полезности от двух аргументов: ожидаемой доходности, измеряемой математическим ожиданием, и риска, оцениваемого дисперсией. Соответственно сравнение портфелей осуществляется на основе только двух критериев.

Инвестор не склонен к риску, т.е. из двух портфелей с одинаковой ожидаемой доходностью он предпочтет портфель с меньшим риском. В то же время из двух портфелей с одинаковым риском инвестор выберет портфель с большей ожидаемой доходностью.

Налоги и трансакционные издержки равны нулю.

6.1. Вероятностная модель финансового рынка

Введем следующие обозначения. Пусть

A {A , ..., A

} – множество активов

 

1

N

 

(акций, облигаций, валютных единиц, комбинаций активов), обращающихся на

финансовом рынке; S

(t) и S

(t 1)

– рыночная стоимость актива A A,

i 1, N

i

 

 

i

 

 

 

 

 

i

 

в дискретные моменты времени t и t 1;

D (t 1)

– величина чистого денежного

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

потока, связанного с активом

A , в промежутке между t и t 1: дивиденды,

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

купонные выплаты и т.д. Тогда доходность актива

A

за период времени

[t, t 1]

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

определяется по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t) Si (t 1) Si (t) Di (t 1)

,

(t) 1.

 

 

i

 

 

 

Si (t)

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доходность актива i (t) является случайной величиной. Математическое

 

 

 

 

 

ожидание случайной величины i ,

i 1,N определяется по формуле:

 

 

 

 

 

 

E ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

i

 

 

 

Дисперсия случайной величины

 

,

 

i

 

i2 Var( i

i

)

1,N

:

 

 

E(

i

 

)2 ,

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ковариация между

 

и

j

, i, j 1,N :

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

Cov(

,

j

) E[(

i

)(

j

 

j

)] .

 

 

ij

 

 

i

 

 

 

 

i

 

 

Если i j , то V

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ii

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ii

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На практике вместо i ,

i2 и Vij часто используют их выборочные оценки,

построенные на основе прошлых значений доходностей i (t), t 1, ...,T :

78

В однопериодной ([T, формирует портфель

1 T

ii (t),

T t1

 

 

1

T

 

 

2

 

 

 

 

V ii

T

 

 

i (t) i

,

 

 

 

V ij

1t1

i (t) i j (t) j .

 

1

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

T 1t1

 

 

 

 

 

 

 

T 1]) модели Марковитца инвестор в момент времени

x :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x X

 

x (x , ..., x

 

):

N

 

 

,

 

N

x

i

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i-1

 

 

 

Т

(6.1)

где xi , i 1, N показывает, какая доля капитала инвестора размещена в актив

Ai A, i 1, N . Множество X , представляющее собой всю совокупность

портфелей, которые могут быть сформированы из N активов, называют

достижимым множеством.

Любой портфель x X характеризуется, согласно подходу Марковитца, двумя

показателями – математическим ожиданием

x

и дисперсией

2 x

.

Математическое ожидание

 

 

N

 

 

N

 

 

 

N

 

 

 

x

E( x

) x E

i

x

i

 

i1

i

i

i1

i

 

i1

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

показывает ожидаемую доходность портфеля

x . Формируя портфель активов,

инвестор стремится к увеличению ожидаемой доходности. Дисперсия портфеля x

 

2

Var(

 

N

 

x

 

)

N

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x V

,

 

x

 

 

i

 

 

 

 

i 1

i

 

 

i

1 j

1

i j ij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(или его стандартное отклонение

 

 

 

 

2

) характеризует уровень риска,

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

связанного с портфелем

x . Инвестор, формируя портфель

x

стремится к

уменьшению его дисперсии.

Таким образом, можно по-разному формулировать оптимизационную задачу

выбора

x

из класса допустимых портфелей

X

в зависимости от критерия

(6.2)

оптимальности. Например, найти

x

 

X , являющийся решением задачи:

 

1.

2

min ,

 

 

 

x

 

 

 

 

x X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

m,

 

 

 

 

 

 

 

 

где m

– некоторая константа, задающая значение ожидаемой доходности

портфеля.

 

 

 

2. U ( x , x ) max ,

x X

где U ( x , x ) – функция полезности инвестора с частными производными

U

0,

U

0 .

 

 

x

x

Здесь U(

,

 

) a

 

b

 

 

 

 

 

2

x

 

x

 

x

x

Неймана – Моргенштейна, где

3. U ( x , x ) max

x X Ax b

a a,b

79

 

N

 

b

N N

 

 

x

 

x x V

 

i

i

i j ij

 

i1

 

 

i1 j1

 

0 .

 

 

 

– функция полезности

задача с дополнительными линейными ограничениями на множестве искомых портфелей.

Портфель

x

 

, являющийся решением задачи оптимизации, которая отражает

 

индивидуальные предпочтения инвестора относительно ожидаемой доходности и риска и ограничения рынка, на котором он действует, называется эффективным портфелем.

Множество

X

 

портфелей, каждый из которых обеспечивает:

 

 

 

максимальную

ожидаемую

доходность

среди

достижимого множества с одинаковым уровнем риска

 

 

 

x* max{ x:

x X ,

2

2

2

2

X

 

x X :

σx* x

, x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

min

портфелей

}

 

минимальный риск среди портфелей достижимого множества с

 

одинаковым значением ожидаемой доходности, не меньшей, чем

 

доходность портфеля с минимальным риском, т.е.

 

,

 

 

 

 

 

 

X

 

 

2

min{

2

:

x X ,

 

 

,

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

x X: σ

x*

x

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x*

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

называется эффективным множеством ( где m

 

 

 

 

,

 

2

min(

2

) ).

 

x

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 6.1. отображено множество точек ( x , x ), которое иллюстрирует

местоположение достижимого множества

x X в системе координат (

x

,

x

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Часть достижимого множества, расположенного на его границе между точками

и

B представляет эффективное множество

X

 

.

 

A

Анализ портфелей

x X

с использованием показателей среднего

x

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дисперсии

2

называют средне – дисперсионным анализом. Целью его является

x

 

 

 

 

 

 

 

 

определение множества

X

 

эффективных портфелей, обеспечивающих

 

максимум ожидаемой доходности при минимуме риска.

Для поиска эффективного портфеля могут использоваться разные алгоритмы в соответствии с критериями оптимальности инвестора относительно ожидаемой доходности или риска. В то же время состав эффективного множества при одних и тех же ограничениях на портфели будет одинаковым независимо от методики его нахождения. Будем рассматривать эффективное множество как бесконечное множество эффективных портфелей, каждый из которых удовлетворяет критерию оптимальности какого-либо инвестора.

80

x

x* X

 

 

m

x X

min

 

 

x

 

min

Рис. 6.1. Достижимое и эффективное множества

Эффективн

ое

Достижим

ое

множество

x

6.2. Эффективный портфель при фиксированном значении ожидаемой доходности

В данном случае инвестор выбирает портфель с фиксированным значением ожидаемой доходности и минимальным для этого уровня доходности риском. Совокупность эффективных портфелей для всех допустимых в эффективном множестве значений ожидаемой доходности составит искомое эффективное множество.

Рассмотрим финансовый рынок с N

рисковыми активами. Обозначим через

N

 

 

 

 

 

N

 

μ ( i )i1

вектор N 1 ожидаемых доходностей, через V (V )

– матрицу

 

 

 

 

 

ij i, j 1

 

N N ковариаций доходностей. Пусть ожидаемая доходность как минимум для

 

 

 

двух активов различна: i j (i, j 1, N) : i j , а матрица ковариаций

положительно определена:

 

 

 

 

 

xi 0 и

N

 

 

 

 

i [1, N ]:

xi x jVij 0.

 

 

 

 

 

 

i, j 1

 

 

 

 

Отметим, что матрица ковариаций будет вырождена, если верно хотя бы одно из следующих утверждений:

1.Достижимое множество содержит безрисковый портфель.

2.Один актив является комбинацией других активов.

3.Рынок является арбитражным, т.е. существует самофинансируемый портфель с положительной ожидаемой доходностью и нулевым риском:

 

xarb (xarb,...,xarb ) :

N

 

0, 2

0.

 

xarb 0,

 

1

N

i1 i

xarb

xarb

 

Обозначим через x вектор N 1 весов для активов из сформированного

 

N

 

 

 

 

x μT x , а

портфеля x :

xi 1. Ожидаемая доходность портфеля равна:

 

i 1

 

 

 

 

 

дисперсия x2 xTVx . Задача нахождения портфеля, минимизирующего риск

81

при заданном значении m ожидаемой доходности портфеля, сводится к следующей задаче оптимизации:

 

 

 

 

T

 

 

 

 

x Vx

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

T

 

 

 

 

μ x m,

 

 

 

T

x 1,

 

 

 

e

 

T

(1,...,1) R

N

– вектор

N 1 , состоящий из единиц.

где e

 

(6.3)

Решение задачи (6.3) на условный экстремум будем искать с помощью метода множителей Лагранжа. Для этого необходимо построить функцию Лагранжа, найти ее производную по x , приравнять к нулю, добавить уравнения – ограничения и решить систему линейных уравнений относительно x . Итак, получаем следующую функцию Лагранжа:

где

1

и

2

 

T

L(x, , ) x Vx

1

2

– множители Лагранжа.

1(μT x

m) (e

x

T

 

2

 

1)

,

Таким образом, необходимо решить систему N 2

линейных уравнений с N 2

неизвестными:

L(x, ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

2Vx μ e 0,

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

μ

T

x m,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

x 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В соответствии с предположениями, сделанными для μ

и V , решение задачи

(6.3) существует и единственно. Его можно записать в следующем виде:

 

 

 

N 1 :

 

 

 

x u mv ,

 

 

 

 

 

где u

и v – векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

1

b(V

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e) a(V

 

 

μ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

1

c(V

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

μ) a(V

 

 

e) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d bc a

 

 

 

 

T

1

T

1

 

 

T

1

 

 

2

.

 

 

a e V μ,

b μ V

μ,

c e V

e,

 

 

 

Решая задачу оптимизации для каждого m [m

 

 

,

m

] , где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

max

 

m

 

xmin

: 2

min{

min

 

 

xmin

 

m

max{

, x X},

max

 

 

x

 

 

2 x

, x X},

получаем эффективное множество X (рис. 6.2).

6.3. Эффективный портфель в зависимости от отношения инвестора к риску

Пусть ожидаемая доходность как минимум для двух активов различна:

i j (i, j 1, N) : i j , а матрица ковариаций положительно определена:

i [1,N ]:

x 0 и

N

x x V 0. Эти предположения обеспечивают

 

 

i

i, j 1

i j ij

существование и единственность решения задачи оптимизации.

82

 

x

m

max

m

mmin

x

X

 

*

 

x

 

 

min

 

x X

x

Рис. 6.2. Эффективное множество и эффективный портфель при заданном уровне доходности

Определение эффективного портфеля в зависимости от отношения инвестора к риску сводится к следующей задаче оптимизации:

2

 

N

 

N

N

x x V

 

 

2

2 x

 

 

max

 

x

x

i

i

i 1 j 1

i

j ij

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

x

 

 

 

N

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

или в векторной форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2τμT x xTVx max

(6.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

eT x 1.

 

 

 

Параметр 0

отражает терпимость инвестора к риску и может быть соотнесен с

 

 

 

(w) обратной

относительной мерой риска Эрроу – Пратта RR U (w) U

2

– функция полезности Неймана –

зависимостью 1 RR . Здесь U(w) aw bw

Моргенштейна, где a,b 0 .

 

 

 

Решением задачи оптимизации (6.4) для всех [0, )

является эффективное

множество X (рис. 6.3).

В соответствии с методом множителей Лагранжа, построим функцию Лагранжа:

L(x, ) 2 μT x xTVx (eT x 1).

Решение задачи (6.4)

будет удовлетворять системе (N 1) линейных уравнений с

(N 1) неизвестным:

 

 

 

L(x, ) 2 μ 2Vx e 0,

(6.5)

 

x

 

eT x 1.

eTV 1e

83

Для

0

решением задачи оптимизации является вектор

 

x

 

 

1

 

 

V 1e ,

(6.6)

 

min

 

 

 

 

 

 

 

eTV 1e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соответствующий портфелю с минимальной дисперсией на множестве всех

 

эффективных портфелей:

 

2

min

2

:

x X

 

(рис. 6.3).

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x * ( 0)

x

min

( 0)

 

 

 

 

 

x

Рис. 6.3. Эффективный портфель и отношение инвестора к риску

Для фиксированного 0

решение задачи представимо в следующем

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

 

z ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

T

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где z V

1

V

 

 

 

V

1

 

1

 

a

V

1

 

 

T

 

1

e V

 

c

e – вектор (N 1) ,

 

 

e V

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

обладающий следующим свойством:. zi

0 . Действительно, сумма

компонентов вектора

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

z

равна скалярному произведению единичного вектора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектор z , т.е. zi

T

z . Тогда получим:

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eT z eTV 1 eTV 1 eTV 1e 0.

(6.7)

e

на

Экономический смысл вектора z состоит в том, что он представляет собой не принадлежащий достижимому множеству самофинансируемый портфель, в котором покупка одних активов осуществляется за счет продажи других.

Таким образом, любой эффективный портфель является линейной комбинацией портфеля xmin , который зависит только от V и обеспечивает

минимальный риск, и портфеля z (z X ) , генерирующего максимальную доходность.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности