- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?
- •Место моделирования среди методов познания
- •Определение модели
- •Определение модели
- •Цели моделирования
- •1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
- •Материальное моделирование
- •Идеальное моделирование
- •Когнитивные, концептуальные и формальные модели
- •1.3. Классификация математических моделей
- •Классификационные признаки
- •Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- •Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)
- •Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 2
- •ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
- •stop
- •2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ
- •2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ
- •2.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •3.1. СТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Концептуальная постановка
- •Математическая постановка задачи
- •Методика решения задачи
- •Анализ результатов
- •3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Математическая постановка задачи для модели Ферхюльста
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Численное исследование модели Ферхюльста
- •3.4. МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ
- •Математическая постановка задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели конкуренции популяций
- •3.5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели
- •Качественный анализ задачи
- •Решение задачи
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 4
- •СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
- •4.1. ЧТО ТАКОЕ СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ?
- •4.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •4.3. ПРИМЕРЫ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.1. ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ИХ ВИДЫ
- •5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
- •5.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
- •6.1. О ЗАКОНЕ ГУКА И ГРАНИЦАХ ЛИНЕЙНОСТИ
- •6.3. О ПОСТРОЕНИИ СПЛОШНЫХ МОДЕЛЕЙ. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ
- •6.4. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
- •6.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
- •6.7. О КЛАССИФИКАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
- •6.8. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО НА ПРИМЕРАХ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
- •6.9. О ПОЛЬЗЕ ФЕНОМЕНОЛОГИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •6.10. АНАЛИЗ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
- •6.11. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
- •6.12. САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
- •6.13. О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
- •6.14. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И МНОГОМАСШТАБНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
- •Иерархический базис для турбулентных полей
- •Одномерный иерархический базис
- •Двумерный базис
- •6.15. ВЕЙВЛЕТЫ
- •Непрерывное вейвлет-преобразование
- •6.16. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
- •6.17. О ФРАКТАЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ
- •Примеры фракталов
- •Подобие и скейлинг
- •Множества Мандельброта и Жюлиа
- •Фрактальная размерность кластеров
- •Экспериментальные методы определения фрактальной размерности
- •Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур
- •Результаты применения модели случайных фракталов
- •6.18. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДНК
- •Структура и физические свойства ДНК
- •Модель Пейрара-Бишопа
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 7
- •7.2. ИМИТАТОР СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •7.3. КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ
- •7.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В МЕТАЛЛЕ
- •Самоорганизация дислокаций в модели клеточных автоматов
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЯЗЫК ФОРМАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ
- •====== Приложение 2
- •П2.1. Решение уравнений высоких степеней и трансцендентных уравнений с одним неизвестным
- •П2.2. Решение систем линейных уравнений
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение в математическое моделирование
муле (6.89) состоит в том, что она позволяет применить на одном из этапов преобразования сингулярную функцию (нацрямер, 6-функцию), которая сама по себе не попадает под определение вейвлета.
6.16. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Ведь каждый день пред нами солнце ходит, Однако ж прав упрямый Галилей.
А-С. Пушкин
Спектры периодических (пусть даже достаточно сложных) колебаний имеют линейчатую структуру, описывая конечный на бор частот, присутствующих в сигнале. При переходе к стохасти ческим колебаниям спектры становятся сплошными, а признаком развитой турбулентности служит, как известно, развитый инерци онный интервал. Однако это не означает, что в развитых турбулен тных течениях отсутствуют выделенные крупномасштабные пуль сации. Экспериментальные исследования турбулентной конвекции в замкнутых объемах показывают, что течения на масштабах, срав нимых с размерами самой полости, характеризуются целыми се риями выделенных частот, причем периоды колебаний могут в тысячи раз превышать время оборота жидкости в полости. Эти результаты подкрепляются и наблюдениями за природными сис темами. Так, Солнце, являющее собой крупнейшую из доступных прямому наблюдению конвективных ячеек (именно конвекция — основной источник движения на Солнце, характеризуется гиган тским значением числа Релея), демонстрирует целый набор цик лов с периодами от нескольких дней до тысяч лет.
В качестве примера приложения вейвлет-анализа к исследова нию временнбй изменчивости сложных гидродинамических систем рассмотрим результаты анализа солнечной активности по двум характеристикам: вариациям числа групп солнечных пятен и ва риациям солнечного диаметра.
О том, что на Солнце есть пятна, знает каждый школьник. Многие знают и о том, что число этих пятен колеблется и дости гает максимума примерно каждые 11 лет. Менее известен факт, что число пятен связано с интенсивностью магнитного поля Солнца. Эту связь поясняет рис. 6.20.
Магнитное поле Солнца имеет полоидальную компоненту (си ловые линии выходят на поверхность вблизи одного полюса и за ходят вблизи другого) и более мощную азимутальную —ее сило вые линии образуют замкнутые кольца внутри конвективной обо лочки Солнца. При увеличении напряженности магнитного поля вследствие неустойчивости на этих магнитных линиях возника ют гигантские петли, выходящие за пределы конвективной оболоч ки. В местах выхода магнитное поле направлено вертикально и по давляет конвективное течение, приносящее горячую плазму из недр Солнца. В результате температура оказывается ниже, чем на остальной поверхности, эта область видна как темное пятно. Чем сильнее магнитное поле, тем больше петель и тем больше пятен видно на поверхности Солнца.
Связь пятен с магнитными полями стала понятна не так дав но, но само существование пятен на Солнце в свое время так взволновало человечество, что астрономы начали вести системати ческий подсчет этих пятен практически с того момента, как Га лилей построил первый телескоп (конечно, иногда солнечные пят на можно было наблюдать невооруженным глазом и раньше). Дол говременная запись среднемесячных чисел солнечных пятен начинается с наблюдений Галилея в феврале 1610 г., а с октября 1611 г. наблюдения становятся довольно регулярными. Существу ющий на сегодня ряд данных не имеет в астрономии аналогов по регулярности и продолжительности наблюдений.
График изменения числа солнечных пятен уже столетия при влекает внимание ученых, так как доказано, что многие процес сы на Земле связаны с уровнем солнечной активности. Первое, что бросается в глаза при взгляде на график солнечной активнос ти (рис. 6.21) - это череда пиков, каждый из которых охватывает приблизительно 11 лет. Это и есть знаменитый 11-летний солнеч ный цикл, характеризующий работу «солнечного динамо» —маг нитогидродинамического генератора поля. Можно, однако, заме тить, что амплитуда циклов непрерывно изменяется, а временами в работе «динамо» возникают сбои. Самый заметный сбой имел место в конце XVII —начале XVIII веков, когда в течение почти 50 лет пятен на Солнце практически не было. Этот период назы вают минимумом Маундера. Другое заметное ослабление солнеч ной активности было отмечено в начале XIX века и называется минимумом Дальтона.
1600 |
1650 |
1700 |
1750 |
1800 |
1850 |
1900 |
1950 |
Гол |
Рис. 6.21. График изменения числа солнечных пятен во времени
Что нового могут дать вейвлеты в изучении записи числа сол нечных пятен, если учесть, что сотни людей уже анализировали этот сигнал самыми разными методами? Для ответа на этот вопрос обратимся к результатам работ [122, 125].
Вейвлет-представление проектирует одномерный сигнал (ко торый был функцией только времени) на плоскость «время—час
тота» и позволяет увидеть изменение во времени спектральных свойств сигнала. На рис. 6.22 показан полученный с помощью вейвлета Морле модуль вейвлет-преобразования данных, представ ленных на рис. 6.21. На вейвлет-плоскости 11-летнему циклу со ответствует темная горизонтальная полоса. При этом напомним, что идеально ровная горизонтальная полоса соответствовала бы ус-
Рис. 6.22. Модуль вейвлет-преобразования Морле данных рис. 6.21
тойчивому периодическому колебанию. Как видно кроме основно го 11-летнего колебания в исследуемой записи присутствует еще одна приблизительно 100-летняя периодичность. Особенно хоро шо эти периодичности видны на интегральном вейвлет-спектре (кривая б на рис. 6.23). На этом же рисунке для сравнения пока зан и спектр Фурье того же сигнала (кривая а), в котором 11-лет ний цикл выделяется на фоне сплошного частокола пиков. По поводу значимости этих пиков велись споры долгие десятилетия. Сравнивая два спектра на рисунке, еще раз вспомним, что вейв лет-спектр является сглаженной версией спектра Фурье и не дает кратных гармоник при негармоническом характере колебаний.
Вейвлет-анализ позволяет проследить, как меняется длитель ность номинального 11-летнего цикла со временем, показывая, что 100-летний цикл фиксирует периодические попытки механизма ге нерации солнечного магнитного поля дать сбой и свернуть с обыч ных 11-летних колебаний в новый эпизод типа минимума Маундера. Удается получить и неизвестную ранее количественную зако номерность в формировании сбоев в работе солнечного динамо.
Рис. 6.23. Спектр Фурье (а) и интегральный вейвлет-спектр (б) сигнала, показанного на рис. 6.21
На рис. 6.24 приведен график изменения длины солнечного цикла со временем. Этот график получен путем оцифровки мак симума в темной полосе, соответствующей на вейвлет-плоскости 11-летнему циклу. Вертикальными линиями на рисунке отмече ны известные наблюдателям периоды снижения солнечной актив ности. Неожиданный результат состоит в том, что все эти перио ды совпадают со спадающими участками на графике l\t). Причем чем выше было значение Т перед началом очередного минимума, тем глубже был сам минимум. Это обстоятельство совместно с имеющимся на сегодня значением периода солнечного цикла по зволяет сделать вывод, что хотя очередного сбоя в солнечной ак тивности и можно ожидать в начале текущего столетия, однако но вого минимума Маундера случиться не должно.
На примере анализа солнечной активности покажем эффектив ность вейвлет-анализа в фильтрации сигналов и их совместной обработке. В эпоху знаменитого минимума Маундера постоянно измерялась еще одна характеристика Солнца —солнечный диаметр. Вариации видимого солнечного диаметра непрерывно регистриро вались в парижской обсерватории с 1683 по 1718 г. (отдельные серии измерений проводились различными астрономами и ранее). Интерес к систематическим измерениям вариаций солнечного диаметра вновь появился только в наше время, и измерения были возобновлены, начиная с 1978 г.
Рис. 6.24. Зависимость изменения длины солнечного цикла от времени
Все результаты измерений представлены на рис. 6.25. Очевид но существенное отличие современных данных от тех, что были выполнены четыре столетия назад. Напрашивается простое объяс нение этому факту —качество измерений в то далекое время было намного ниже, что и обусловило высокий уровень пульсаций сиг нала (систематическое отличие в уровне сигнала объясняется тем, что видимый диаметр Солнца —величина субъективная и зависит от способа его определения).
Диаметр
968
966
964
962
960
958
956
Рис. 6.25. Измерения вариаций солнечного диаметра с 1683 по 1718 гг.
Вейвлеты дают возможность изучить степень коррелированности двух сигналов отдельно на каждом временнбм масштабе. В сложной системе, какой является Солнце, вполне возможно представить ситуацию, когда какие-либо два сигнала скоррелиро ваны на одних масштабах и практически независимы на других. Определим корреляционную функцию двух сигналов в виде
CW = |
fwj(a,b)w*2(a,b)db |
----- ------------------------r jj, |
|
|
(jw?(a,b)dbjw$(a,b)db) |
где W| и w2 —вейвлет-образы рассматриваемых сигналов. Эта фун кция показывает, насколько в двух исследуемых сигналах связаны пульсации, характеризуемые определенным периодом, или време нем релаксации.
На рис. 6.26 показана корреляционная функция, вычисленная для вариаций числа групп пятен и вариаций диаметра по перекры вающимся интервалам наблюдений. Видно, что на временах по рядка 2 лет имеется узкий положительный пик, а на временных масштабах порядка 10 лет и более сигналы становятся строго антикоррелированы (больше пятен —меньше диаметр).
Рис. 6.26. Корреляционная функция, вычисленная для вариаций числа групп
пятен и вариаций диаметра по перекрывающимся интервалам наблюдений
Наибольший интерес представляет частота основного (11-лет него) солнечного цикла. Выделяя из вейвлет-представления соот ветствующий временной масштаб, построим зависимости от вре мени вейвлет-коэффициентов w(a, b) для а =11 лет. Графики от фильтрованных 11-летних вариаций диаметра ДD ( b ) и числа групп пятен AN (а) для интервала времени 1666-1718 показаны на рис. 6.27. Бесспорной научной удачей можно считать тот факт, что наблюдения за изменениями солнечного диаметра начались во время минимума Маундера и продолжались во время выхода из минимума.
Д А AN
Рис. 6.27. Графики 11-летних вариаций диаметра и числа групп пятен для интервала времени 1666—1718 гг.
Результаты вейвлет-фильтрации данных наблюдений, пред ставленные на рисунке, дали совершенно неожиданный результат, состоящий в том, что 11-летние вариации солнечного диаметра имели наибольшую амплитуду как раз во время глубокого мини мума солнечной активности. По мере выхода из минимума вари ации числа пятен начинают нарастать, а вариации диаметра спа дать. Этот результат дает возможность объяснить разительное от личие современных данных от данных XVIII века: в сравнении с 1718 годом, когда были прекращены измерения диаметра, среднее количество групп пятен возросло примерно на порядок, а в свете полученной закономерности это должно было привести к суще