- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?
- •Место моделирования среди методов познания
- •Определение модели
- •Определение модели
- •Цели моделирования
- •1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
- •Материальное моделирование
- •Идеальное моделирование
- •Когнитивные, концептуальные и формальные модели
- •1.3. Классификация математических моделей
- •Классификационные признаки
- •Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- •Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)
- •Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 2
- •ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
- •stop
- •2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ
- •2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ
- •2.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •3.1. СТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Концептуальная постановка
- •Математическая постановка задачи
- •Методика решения задачи
- •Анализ результатов
- •3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Математическая постановка задачи для модели Ферхюльста
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Численное исследование модели Ферхюльста
- •3.4. МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ
- •Математическая постановка задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели конкуренции популяций
- •3.5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели
- •Качественный анализ задачи
- •Решение задачи
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 4
- •СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
- •4.1. ЧТО ТАКОЕ СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ?
- •4.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •4.3. ПРИМЕРЫ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.1. ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ИХ ВИДЫ
- •5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
- •5.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
- •6.1. О ЗАКОНЕ ГУКА И ГРАНИЦАХ ЛИНЕЙНОСТИ
- •6.3. О ПОСТРОЕНИИ СПЛОШНЫХ МОДЕЛЕЙ. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ
- •6.4. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
- •6.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
- •6.7. О КЛАССИФИКАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
- •6.8. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО НА ПРИМЕРАХ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
- •6.9. О ПОЛЬЗЕ ФЕНОМЕНОЛОГИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •6.10. АНАЛИЗ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
- •6.11. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
- •6.12. САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
- •6.13. О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
- •6.14. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И МНОГОМАСШТАБНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
- •Иерархический базис для турбулентных полей
- •Одномерный иерархический базис
- •Двумерный базис
- •6.15. ВЕЙВЛЕТЫ
- •Непрерывное вейвлет-преобразование
- •6.16. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
- •6.17. О ФРАКТАЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ
- •Примеры фракталов
- •Подобие и скейлинг
- •Множества Мандельброта и Жюлиа
- •Фрактальная размерность кластеров
- •Экспериментальные методы определения фрактальной размерности
- •Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур
- •Результаты применения модели случайных фракталов
- •6.18. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДНК
- •Структура и физические свойства ДНК
- •Модель Пейрара-Бишопа
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 7
- •7.2. ИМИТАТОР СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •7.3. КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ
- •7.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В МЕТАЛЛЕ
- •Самоорганизация дислокаций в модели клеточных автоматов
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЯЗЫК ФОРМАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ
- •====== Приложение 2
- •П2.1. Решение уравнений высоких степеней и трансцендентных уравнений с одним неизвестным
- •П2.2. Решение систем линейных уравнений
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение в математическое моделирование
использование позволяет отказаться от построения значительно бо лее сложной трехмерной модели движения мяча.
Гипотеза об отсутствии влияния сопротивления воздуха наиме нее обоснована. При движении тела в газе или жидкости сила сопро тивления увеличивается с ростом скорости движения. Учитывая не высокие скорости движения мяча, его правильную обтекаемую фор му и малые дальности бросков, указанная гипотеза может быть принята в качестве первого приближения.
Следует отметить, что концептуальная постановка задачи моде лирования в отличие от содержательной постановки использует тер минологию конкретной дисциплины (в рассматриваемом случае - ме ханики). При этом моделируемый реальный объект (мяч) заменяется его механической моделью (материальной точкой). Фактически в приведенном примере концептуальная постановка свелась к поста новке классической задачи механики о движении материальной точ ки в поле сил тяжести. Концептуальная постановка более абстрактна по отношению к содержательной, так как материальной точке мож но сопоставить произвольный материальный объект, брошенный под углом к горизонту: футбольный мяч, ядро, камень или артиллерийс кий снаряд.
2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Задача любого вида сводится к мате матической задаче.
Р.Декарт
Законченная концептуальная постановка позволяет сформули ровать математическую постановку задачи моделирования, вклю чающую совокупность различных математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.
Математическая постановка задачи моделирования —это сово купность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.
Как было отмечено в гл. 1, совокупность математических со отношений определяет вид оператора модели. Наиболее простым будет оператор модели в случае, если он представлен системой ал гебраических уравнений. Подобные модели можно назвать моде лями аппроксимационного типа, так как для их получения часто используют различные методы аппроксимации имеющихся экспе риментальных данных о поведении выходных параметров объекта
моделирования в зависимости от входных параметров и воздей ствий внешней среды, а также от значений внутренних парамет ров объекта.
Однако область применения моделей подобного типа ограни чена. Для создания математических моделей сложных систем и про цессов, применимых для широкого класса реальных задач требует ся, как уже отмечалось выше, привлечение большого объема зна ний, накопленных в рассматриваемой дисциплине (а в некоторых случаях и в смежных областях). В большинстве дисциплин (особен но естественно-научных) эти знания сконцентрированы в аксио мах, законах, теоремах, имеющих четкую математическую форму лировку.
Следует отметить, что во многих областях знаний (механике, физике, биологии и т.д.) принято выделять законы, справедливые для всех объектов исследования данной области знаний, и соотно шения, описывающие поведение отдельных объектов или их сово купностей. К числу первых в физике и механике относятся, напри мер, уравнения баланса массы, количества движения, энергии и т.д., справедливые при определенных условиях для любых материаль ных тел, независимо от их конкретного строения, структуры, со стояния, химического состава. Уравнения этого класса подтверж дены огромным количеством экспериментов, хорошо изучены и в силу этого применяются в соответствующих математических моде лях как данность. Соотношения второго класса в физике и механи ке называют определяющими, или физическими уравнениями, или уравнениями состояния. Они устанавливают особенности поведения материальных объектов или их совокупностей (например, жидко стей, газов, упругих или пластических сред и т.д.) при воздействи ях различных внешних факторов.
В качестве классических примеров определяющих соотношений можно привести закон Гука в теории упругости или уравнение Кла пейрона для идеальных газов. Очевидно, определяющие соотноше ния должны отражать реальное атомно-молекулярное строение ис следуемых материальных объектов.
Соотношения второго класса гораздо менее изучены, а в ряде случаев их приходится устанавливать самому исследователю (осо бенно при анализе объектов, состоящих из новых материалов). Не обходимо отметить, что определяющие соотношения —это основ ной элемент, «сердцевина» любой математической модели физикомеханических процессов. Именно ошибки в выборе или установлении определяющих соотношений приводят к количествен
но (а в некоторых случаях и качественно) неверным результатам мо делирования.
Совокупность математических соотношений указанных двух классов определяет оператор модели. В большинстве случаев опе ратор модели включает в себя систему обыкновенных дифферен циальных уравнений (ОДУ), дифференциальных уравнений в час тных производных (ДУЧП) и/или интегродифференциальных урав нений (ИДУ). Для обеспечения корректности постановки задачи к системе ОДУ или ДУЧП добавляются начальные или граничные условия, которые, в свою очередь, могут быть алгебраическими или дифференциальными соотношениями различного порядка.
Можно выделить несколько наиболее распространенных типов задач для систем ОДУ или ДУЧП:
>задача Коши, или задача с начальными условиями, в которой по заданным в начальный момент времени переменным (на чальным условиям) определяются значения этих искомых пе ременных для любого момента времени;
>начально-граничная, или краевая, задача, когда условия на ис комую функцию выходного параметра задаются в начальный момент времени для всей пространственной области и на гра нице последней в каждый момент времени (на исследуемом интервале);
>задачи на собственные значения, в формулировку которых вхо дят неопределенные параметры, определяемые из условия ка чественного изменения поведения системы (например, по
теря устойчивости состояния равновесия или стационарно го движения, появление периодического режима, резонанс и т.д.).
Для контроля правильности полученной системы математичес ких соотношений требуется проведение ряда обязательных прове рок [13]:
>Контроль размерностей, включающий правило, согласно ко торому приравниваться и складываться могут только вели чины одинаковой размерности. При переходе к вычислени ям данная проверка сочетается с контролем использования одной и той же системы единиц для значений всех парамет ров.
>Контроль порядков, состоящий из грубой оценки сравнитель ных порядков складываемых величин и исключением малозначимых параметров. Например, если для выражения
х+ у + г= 0в результате оценки установлено, что в рассмат-
риваемой области значений параметров модели |z| << |х| и й « Ы>т0 третьим слагаемым в исходном выражении мож но пренебречь.
> Контроль характера зависимостей заключается в проверке того, что направление и скорость изменения выходных па раметров модели, вытекающие из выписанных математичес ких соотношений, такие, как это следует непосредственно из «физического» смысла изучаемой модели.
>Контроль экстремальных ситуаций —проверка того, какой вид принимают математические соотношения, а также результа ты моделирования, если параметры модели или их комби нации приближаются к предельно допустимым для них зна чениям, чаще всего к нулю или бесконечности. В подобных экстремальных ситуациях модель часто упрощается, матема тические соотношения приобретают более наглядный смысл, упрощается их проверка. Например, в задачах механики де формируемого твердого тела деформация материала в иссле дуемой области в изотермических условиях возможна лишь при приложении нагрузок, отсутствие же нагрузок должно приводить к отсутствию деформаций.
>Контроль граничных условий, включающий проверку того, что граничные условия действительно наложены, что они ис пользованы в процессе построения искомого решения и что значения выходных параметров модели на самом деле удов летворяют данным условиям.
>Контроль физического смысла —проверка физического или иного, в зависимости от характера задачи, смысла исходных и промежуточных соотношений, появляющихся по мере кон струирования модели.
>Контроль математической замкнутости, состоящий в про верке того, что выписанная система математических соотно шений дает возможность, притом однозначно, решить по ставленную математическую задачу. Например, если задача свелась к отысканию п неизвестных из некоторой системы алгебраических или трансцендентных уравнений, то контроль замкнутости состоит в проверке того факта, что число неза висимых Уравнений должно быть п. Если их меньше п, то надо установить недостающие уравнения, а если их больше п, то либо уравнения зависимы, либо при их составлении допущена ошибка. Однако если уравнения получаются из эксперимента или в результате наблюдений, то возможна
постановка задачи, при которой число уравнений превыша ет п, но сами уравнения удовлетворяются лишь приближен но, а решение ищется, например, по методу наименьших квадратов. Неравенств среди условий также может быть лю бое число, как это бывает, например, в задачах линейного программирования.
Свойство математической замкнутости системы математичес ких соотношений тесно связано с введенным Ж. Адамаром поня тием корректно поставленной математической задачи [93], т.е. за дачи, для которой решение существует, оно единственно и непре рывно зависит от исходных данных. В данном случае решение считается непрерывным, если малому изменению исходных данных соответствует достаточно малое изменение решения.
Понятие корректности задачи имеет большое значение в при кладной математике. Например, численные методы решения оправ дано применять лишь к корректно поставленным задачам. При этом далеко не все задачи, возникающие на практике, можно считать корректными (например, так называемые обратные задачи). Дока зательство корректности конкретной математической задачи —до статочно сложная проблема, она решена только для некоторого класса математически поставленных задач. Проверка математичес кой замкнутости является менее сложной по сравнению с провер кой корректности математической постановки. В настоящее время активно исследуются свойства некорректных задач, разрабатывают ся методы их решения. Аналогично понятию «корректно поставлен ная задача» можно ввести понятие «корректная математическая модель».
Математическая модель является корректной, если для нее осу ществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок: размерности, порядков, характера зависимостей, экстре мальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и ма тематической замкнутости.
Рис. 2.4. Расчетная схема
Пример. Математическая постановка зада чи о баскетболисте.
Математическую постановку задачи о бас кетболисте можно представить как в векторной, так и в координатной форме (рис. 2.4).
1 . Векторная форма.
Найти зависимости векторных параметров от времени —г (/) и v(t) —из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений
•ч |
|
|
|
N |
II О |
|
II о |
X— О |
О |
||
Вычислить параметр А по формуле |
|||
|
* v II < |
1 |
|
tk определить из следующих условий: |
|||
tk > 0 , |
vy(t$ |
< 0 , |
у (ф = ук. |
(2 .2 )
(2.3)
(2.4)
Проецируя векторные соотношения (2.1)—(2.4) на оси координат, получим математическую постановку задачи о баскетболисте в коор динатной форме.
2. Координатная форма.
Найти зависимости x{t), y(t) и vx(/), ^(/) из решения системы диф ференциальных уравнений:
т |
=0, |
dx |
|
d t9 |
|
||
dt |
V* |
(2.5) |
|
dvyi |
|
_dy |
|
|
|
||
|
Vy |
'dt |
|
при следующих начальных условиях: |
|
|
|
*(0) =*о> |
>(0) =3'о» |
|
|
vx(°) =vocosao> v>>(°)=vosinao- |
(2'6) |
||
Вычислить параметр Д по формуле |
|
||
|
A = x(tk) - x k, |
(2.7) |
где tk определить из условий
tk > 0 , vy(tk) < 0 , y(tk) = у к . |
(2 .8 ) |
Как можно видеть, с математической точки зрения задача о бас кетболисте свелась к задаче Коши для системы ОДУ первого поряд ка с заданными начальными условиями. Полученная система урав нений является замкнутой, так как число независимых уравнений (четыре дифференциальных и два алгебраических) равно числу ис комых параметров задачи (х, у, vx, vy, A, tk). Выполним контроль раз мерностей задачи: