- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?
- •Место моделирования среди методов познания
- •Определение модели
- •Определение модели
- •Цели моделирования
- •1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
- •Материальное моделирование
- •Идеальное моделирование
- •Когнитивные, концептуальные и формальные модели
- •1.3. Классификация математических моделей
- •Классификационные признаки
- •Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- •Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)
- •Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 2
- •ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
- •stop
- •2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ
- •2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ
- •2.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •3.1. СТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Концептуальная постановка
- •Математическая постановка задачи
- •Методика решения задачи
- •Анализ результатов
- •3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Математическая постановка задачи для модели Ферхюльста
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Численное исследование модели Ферхюльста
- •3.4. МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ
- •Математическая постановка задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели конкуренции популяций
- •3.5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели
- •Качественный анализ задачи
- •Решение задачи
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 4
- •СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
- •4.1. ЧТО ТАКОЕ СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ?
- •4.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •4.3. ПРИМЕРЫ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.1. ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ИХ ВИДЫ
- •5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
- •5.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
- •6.1. О ЗАКОНЕ ГУКА И ГРАНИЦАХ ЛИНЕЙНОСТИ
- •6.3. О ПОСТРОЕНИИ СПЛОШНЫХ МОДЕЛЕЙ. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ
- •6.4. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
- •6.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
- •6.7. О КЛАССИФИКАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
- •6.8. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО НА ПРИМЕРАХ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
- •6.9. О ПОЛЬЗЕ ФЕНОМЕНОЛОГИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •6.10. АНАЛИЗ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
- •6.11. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
- •6.12. САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
- •6.13. О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
- •6.14. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И МНОГОМАСШТАБНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
- •Иерархический базис для турбулентных полей
- •Одномерный иерархический базис
- •Двумерный базис
- •6.15. ВЕЙВЛЕТЫ
- •Непрерывное вейвлет-преобразование
- •6.16. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
- •6.17. О ФРАКТАЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ
- •Примеры фракталов
- •Подобие и скейлинг
- •Множества Мандельброта и Жюлиа
- •Фрактальная размерность кластеров
- •Экспериментальные методы определения фрактальной размерности
- •Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур
- •Результаты применения модели случайных фракталов
- •6.18. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДНК
- •Структура и физические свойства ДНК
- •Модель Пейрара-Бишопа
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 7
- •7.2. ИМИТАТОР СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •7.3. КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ
- •7.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В МЕТАЛЛЕ
- •Самоорганизация дислокаций в модели клеточных автоматов
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЯЗЫК ФОРМАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ
- •====== Приложение 2
- •П2.1. Решение уравнений высоких степеней и трансцендентных уравнений с одним неизвестным
- •П2.2. Решение систем линейных уравнений
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение в математическое моделирование
0,25 |
0,5 |
0,75 |
1,0 |
Д, |
Рис. 3.14. Область устойчивого положения равновесия при Y* —1,5 (гх =гу = 1)
Численное исследование модели конкуренции популяций
Рассмотрим особенности численного исследования модели кон куренции популяций. Применим метод Эйлера для решения сис темы (3.32):
(3.40)
где A t —величина шага по времени; Хп и Yn —относительная чис ленность популяций на начало шага по времени; Xn+i и Yn+l —чис ленность популяций на конец шага по времени. Задаваясь началь ной численностью Х0 и Y0 и величиной шага по времени At, полу чаем таблицу значений численности в различные моменты времени.
На рис. 3.15 приведены бифуркационные диаграммы для соот ношений (3.40) при фиксированных значениях исходных данных. Как можно видеть, сходимость процесса существенно зависит от шага интегрирования. При значении шага более 1,94 процесс пе рестает сходиться и переходит к колебаниям, а при шаге более 2,5 становится хаотическим.
На рис. 3.16 приведены диаграммы сходимости (первые 50 ша гов) в фазовом пространстве и в зависимости от времени при раз личных величинах шага интегрирования. Анализ приведенных ди-
Рис. 3.15. Бифуркационные диаграммы для соотношений (3.40) (Х0 = 0,2; Y0 = 0,5; rx —ry — 1; рх = 0,5; ру = 0,7; Y* = l , l )
Y
Рис 3.16. Диаграммы сходимости для различных величин шага интегриро вания: а, в, д — фазовые диаграммы; б, г, е —временные диаграммы;
а, б — At — 2,0; в, г —At —2,4; д, е —At = 2,6
аграмм позволяет заключить, что данный процесс интегрирования быстро выходит в окрестность точки равновесия и далее соверша ются колебательные движения вблизи этой точки. Следует отметить синхронное изменение численности популяций.
С увеличением шага интегрирования амплитуда и сложность колебаний нарастают. При хаотическом режиме возможны ситуа ции, когда численность одной из популяций становится меньше нуля.
На рис. 3.17 приведены кривые изменения величины шага ин тегрирования A tA , при котором процесс сходимости переходит от монотонного к колебательному режиму (точка А на рис. 3.15). При-
Рис. 3.17. Величина шага интегрирования в зависимости от рх и fiv: а — Y *= 1,2; б - У* = 1,5 (Х0 = 0,2; Y0 = 0,5; rx =ry = l)
веденные диаграммы построены в зависимости от значений \ix и , которые удовлетворяли ограничению (3.35а). Построение выполне но по результатам вычислительного эксперимента, в котором зна чение AtA искалось для 2500 точек допустимой области (разбиение 50x50 точек).
Следует отметить, что величина AtA для допустимой области не превышает 2. При этом она уменьшается с ростом ц* и умень шением (jj,. С увеличением Y* наименьшее значение шага моно тонной сходимости уменьшается (ДtA = 1,674 при У*= 1,2 и AtA = 1,35 при У* = 1,5).Оценку для AtA можно получить из анализа ус тойчивости соотношений (3.40).
Положим:
*л ^р+Дх(л)> |
Уп +Д.у(л)’ |
(3.41) |
-^л+1 = ^ р + Дх(л+1)’ |
^ 1 = ^ + Ду(л+1)’ |
|
где Х^, Yp —точка равновесия; Ах, Ау —малые отклонения от рав
новесия.
Подставляя в (3.40) и преобразуя, получим:
Дх(л+1) = \ ( п ) -^А /Х р(ДХ(Л) +цхА^и)),
Ду(л+1)= Ду(л) ” гу ^ У р ^ у { п ) +^уДДс(л))
или, поделив на Ах^ и Ау^ ,
^х(л+1) / ^ х(п) |
^ ГХ ^ |
+ |
/ ^дс(л)^’ |
|
|
^у(п+1) / ^(> 0 |
= ^ |
^ + ^ ^ х (л ) / ^(> 0 ^ |
^ |
^ |
Итерационная процедура сходится, если выполняются ограничения
|^JC(/I+1)/ ^JC(/I)|< ^ И |^з^(/1+1)/ ^З'(л)|< ^ |
(3.43) |
или если с учетом (3.42) получим |
|
О < rxAt^Xр(\ +рхА^л^ / Ах(л)) < 2, |
|
О < у и , у 1* цА (л ) / ДМ„)) < 2. |
<М4> |
Считая А ^пу и Д в е л и ч и н а м и одного порядка и выбирая ме
нее благоприятный случай, когда они одного знака, из (3.44) опре деляем ограничения на AtA:
AtA <2/rxXp(l + \ix), |
|
AtA <2/ryYp(l + ny). |
(345) |
Учитывая, что устойчивость процесса нарушается, если нару шается хотя бы одно из ограничений (3.45), окончательно имеем
|
2 |
\ |
|
|
AtA <min |
2 |
(3.46) |
||
rxXp(l+ V-xY ryYp (l+\iy ) ^ |
||||
|
||||
|
|
Для рассмотренной выше четвертой точки равновесия макси мальное и минимальное значения оценки величины шага интегри рования AtА можно определить, когда |ix или равны нулю. Так,
при = 0 и rx = ry = 1 имеем Хр = 1; Yp = Y* -ц у.
При приближении значения к Г величина Yp -»0. Из (3.46) в этом случае получаем ограничение на шаг интегрирования ДtA < 2.
При jiy= 0 получаем Хр =1 -ц хУ*; Yp = Y*
При приближении значения к 1/Г величина Х р -* 0 и ог раничение на ДtA принимает вид ДtA < 2/У