Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт сферы обслуживания и предпринимательства ДГТУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Л.Р.1Механика.pdf

Скачиваний:

207

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

2.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

36	Определение момента инерции твердого тела
	при помощи крутильного маятника

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4: Определение момента инерции твердого тела при помощи крутильного маятника

Цель работы: изучить законы крутильных колебаний,
измерить момент инерции твердого		тела, имеющего форму
параллелепипеда, относительно различных осей вращения.


	Оборудование:	экспериментальная	установка,
	встроенный миллисекундометр.

Краткая теория

Гармоническим осциллятором называется колеблющаяся система, обладающая одной степенью свободы и совершающая колебания под действием «квазиупругой» силы, пропорциональной смещению из положения равновесия (подобно силе упругости в законе Гука)

				F kx.				(4.1)
Гармонические колебания осциллятора описываются уравнением
вида:				x		x 0
				x	2	x 0	,	(4.2)
					2
где			–		0
где	x		–	вторая производная смещения осциллятора				x из
	x
	положения равновесия по времени,
		0	– циклическая, или круговая частота колебаний.
		0
Примером				гармонического		осциллятора является крутильный

маятник. Он представляет собой массивное тело, подвешенное на тонкой упругой струне (нити). При повороте маятника из положения равновесия на некоторый малый угол вокруг оси, совпадающей с нитью подвеса, происходит закручивание этой нити. При деформации кручения в нити возникает упругая сила, возвращающая маятник в положение равновесия, и создающая вращающий момент, который определяется соотношением, аналогичным закону Гука для упругих деформаций типа «растяжения-сжатия», а именно

М	упр	D	,	(4.3)

где D – коэффициент пропорциональности, или постоянная, характеризующая момент упругих сил, аналогичная жесткости k пружины;

– малый угол закручивания, характеризующий величину деформации.

Предоставленный самому себе, маятник совершает крутильные колебания. Затухания таких колебаний обычно малы, что делает их удобными для измерения различных физических величин, например момента инерции твердого тела произвольной формы.

Определение момента инерции твердого тела	37
при помощи крутильного маятника

Для незатухающих колебаний справедливо уравнение динамики

вращательного движения:
М I	м	,	(4.4)
	м

где – угловое ускорение крутильного маятника;

Iм – момент инерции маятника относительно оси, совпадающей с нитью подвеса.

По определению

	d	2
	d			,
			2
	dt		2
	dt
поэтому
М I м .

Используя равенство (4.3), можем получить уравнение:

I м D 0				,
или
		2
	0	0	,
	0		,

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)

где

	0		D	I	м	– циклическая частота гармонических
	0				м	– циклическая частота гармонических

незатухающих колебаний крутильного маятника.

Как видно, уравнение (4.8) имеет вид, аналогичный (4.2), т.е. описывает гармонический осциллятор.

Период Т гармонических колебаний, как известно, связан с

циклической частотой:
		2	.		(4.9)
	0	Т	.		(4.9)
	0

Поэтому Т можно рассчитать так:
Т 2		I	м	.	(4.10)
			м
		D
		D

Методика проведения измерений и описание экспериментальной установки

Принципиальное устройство крутильного маятника FRM-05 показано на рисунке 4.1.

На основании 2, оснащенном ножками, регулирующими высоту, прикреплен миллисекундомер 1. В основании 2 закреплена колонка 3, на которой при помощи винтов закреплены кронштейны 4, 5, 6. Кронштейны 4, 6 имеют зажимы, служащие для закрепления стальной проволоки, на которой подвешена рамка 7. На кронштейне 5 закреплена стальная плита 8, которая служит основание фотоэлектрическому датчику 9, электромагниту 10 и угольной шкале 11. Стрелка на угольной шкале указывает положение электромагнита относительно фотоэлектрического

38		Определение момента инерции твердого тела
			при помощи крутильного маятника
датчика.

							4


							3
	7						3




	9						10

					8

							5

				11

						6		1


									2
			Рис. 4.1 – Крутильный маятник FRM-05
			Рис. 4.1 – Крутильный маятник FRM-05

Конструкция рамки позволяет закреплять грузы различных размеров с помощью подвижной балки, которая перемещается по направляющим между неподвижными балками.

На передней панели миллисекундомера 1 расположены кнопки переключателей «СЕТЬ», «СБРОС», «ПУСК» и «СТОП», а также цифровые индикаторы измерителя числа полных колебаний «ПЕРИОДЫ» и времени этих колебаний «ВРЕМЯ, С».

Как следует из (4.10) момент инерции маятника Iм равен

I м

Однако момент инерции инерции тела I, так и от момента

D		T	2	.	(4.11)

4	2

маятника Iм зависит как от момента инерции самой рамки I0:

I м I I0 .

(4.12)

Если колеблется только свободная рамка без тела, то ее период колебаний, очевидно, равен:

			I
Т		2	0	.	(4.13)
Т	0	2	D
	0

Из уравнений (4.11), (4.12), (4.13), исключая неизвестную величину D, найдем момент инерции тела относительно выбранной оси вращения:

Определение момента инерции твердого тела	39
при помощи крутильного маятника

I		(T	2	T	2	)
I	0	(T		T		)
	0			0
				2
			T
			0

(4.14)

Для вычисления I необходимо измерить периоды колебаний T0 и T соответственно для свободной рамки и рамки с телом. Момент инерции свободной рамки I0 можно вычислить, если воспользоваться эталонным телом с известным моментом инерции Iэ. Тогда, согласно (4.14),

						2
					T
I		I				0
I	0	I	э	T	2	T	2
	0		э


				э		0

(4.15)

где Тэ – период колебаний рамки с закрепленным в ней эталонным телом.

В качестве такого эталона удобно выбрать куб. Момент инерции куба относительно оси вращения, проходящей через его центр параллельно любой грани куба, как известно, равен:

I		1	ma	2

	э	6

где m – масса куба,

а – размер грани куба,– плотность материала,

1	a	5	,

6

из которого изготовлен куб.

(4.16)

Вычислив Iэ по формуле (4.16), можно измерить период колебаний Т0 и Тэ свободной рамки и рамки с кубом соответственно, а затем определить искомую величину I0 из соотношения (4.15). По известным I0, Т0 и измеренному Т найдем искомый момент инерции тела I по формуле

(4.14).

Порядок выполнения работы

1.Включить сетевой шнур прибора в питающую сеть.

2.Нажать переключатель «СЕТЬ», проверить, все ли индикаторы измерителя высвечивают цифру ноль, а также светится ли лампочка фотоэлектрического датчика.

3.Измерить период колебаний свободной рамки (без тела). Для этого повернуть рамку прибора, приблизить ее стрелку к электромагниту таким образом, чтобы электромагнит фиксировал положение рамки.

4.Нажать кнопку «ПУСК».

5.Насчитав измерителем не менее 10-ти полных крутильных

колебаний нажать кнопку «СТОП».

40	Определение момента инерции твердого тела
	при помощи крутильного маятника

6. По формуле

Тt n

вычислить период колебаний свободной

рамки Т0 (t – время колебаний, отсчитываемое по миллисекундомеру, n – число полных колебаний).

7.Вычислить момент инерции Iэ эталона (куба) по формуле (4.16), измерив сторону куба с помощью штангенциркуля, плотность стального куба найти по справочнику.

8.В рамке прибора закрепить эталон (куб) таким образом, чтобы ось вращения проходила через противоположные грани куба.

9.Измерить период колебаний рамки с кубом Тэ согласно пунктам 3-6.

10.Рассчитать момент инерции свободной рамки I0 по формуле (4.15).

11.Результаты измерений занести в таблицу 4.1.

Т а б л и ц а 4 . 1 – Измерение момента инерции свободной рамки

, кг/м3	а, м	Iэ, кг м2	Тэ, с	Т0, с	I0, кг м2

12.Закрепить в рамке исследуемое тело, имеющее форму параллелепипеда, таким образом, чтобы ось вращения проходила через центр тела и совпадала с одним из 10-ти направлений.

13.Повторяя пункты 3–6 для рамки с закрепленным в ней телом, измерить периоды колебаний, соответствующих хотя бы двум из четырем возможных осям вращения.

14.С помощью штангенциркуля измерить размеры ребер параллелепипеда, параллельных 3-м выбранным осям вращения: а1, а2,

а3.

15. Результаты измерений Т занести в таблицу 4.2.

Т а б л и ц а			4 . 2	–	Результаты			периода			колебаний	крутильного
				маятника с закрепленным различным образом телом

№№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	а1, м	а2, м	а3, м
t
Т
	Т1, Т2, Т3 – Периоды колебаний при оси										вращения, проходящей
через центры двух противоположных граней;

Т4, Т5, Т6, Т7 – ось вращения проходит по главной диагонали параллелепипеда;

Определение момента инерции твердого тела

при помощи крутильного маятника

Т8, Т9, Т10 – ось вращения проходит через середины противоположных ребер параллелепипеда.

16.Рассчитать моменты инерции Ii параллелепипеда, соответствующие двум из четырем выбранных направлений оси вращения, используя формулу (4.14).

17.Результаты вычислений занести в таблицу 4.3.

Т а б л и ц а		4 . 3	– Значения моментов инерции параллелепипеда
			относительно различных осей вращения

I1	I2	I3		I4	I5	I6	I7	I8	I9	I10

18. Оценить относительную погрешность измерения колебаний по формуле:


(а	2	а	2	а	2	)Т					2	2		а Т		3	а Т		)	2
(а		а		а		)Т		4	(а Т			1		а Т		2	а Т	3	)	100% ,
1		2		3				4			1	1			2	2	3	3
					(а		2	а		2	а		2	)Т	2
							2			2			2		2
															4
						1			2			3			4

периода

(4.17)

где а1, а2, а3 – размеры ребер параллелепипеда, параллельных выбранным осям вращения;

Т1, Т2, Т3 – периоды колебаний вокруг осей груза, проходящих через противоположные грани;

Т4 – период колебаний груза вокруг оси, проходящей через противоположные вершины груза.

Относительная погрешность измерений является систематической ошибкой прибора.

Контрольные вопросы

1.Что такое момент инерции? Чему равен момент инерции материальной точки, системы материальных точек?

2.Что называется моментом инерции твердого тела? Как вычисляется эта величина для тел произвольной формы?

3.Выведите формулы для расчета момента инерции кольца, диска, цилиндра, шара, стержня относительно оси симметрии этих тел.

4.Сформулируйте теорему Штейнера.

5. Что представляют собой гармонические колебания? Какие

42	Определение момента инерции твердого тела
	при помощи крутильного маятника

колебания называются свободными, затухающими, вынужденными?

6. Что такое резонанс, при каких условиях он достигается? Приведите примеры резонанса в технике. Полезно или вредно это явление?

7. Что называется гармоническим осциллятором? Приведите примеры гармонических осцилляторов.

8. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.

9. Выведите динамическое уравнение свободных гармонических колебаний.

10. Запишите динамическое уравнение затухающих колебаний, и его решение.

11. Запишите динамическое уравнение вынужденных колебаний. Поясните его особенности.

12. Докажите, что момент инерции однородного куба относительно оси, проходящей через его центр и две противоположные грани, равен

I		1	ma	2	.

	э	6

13. Докажите, что крутильный маятник является гармоническим осциллятором.

14. Выведите формулу периода крутильного маятника.

15. Что такое вращающий момент? Чему он равен при крутильных колебаниях?

16. Что представляют собой упругие деформации? Каким законом динамики они описываются в случае деформаций «растяжения-сжатия», кручения?

17. Назовите виды деформаций.

18. Запишите закон Гука с использование модуля Юнга и понятия относительной деформации. Как коэффициент жесткости связан с модулем Юнга?

19. Как вычисляется потенциальная энергия упруго деформированного тела при деформациях «растяжения-сжатия», кручения?

Определение момента инерции твердого тела	43
при помощи крутильного маятника

20. Объяснить, почему в работе необходим эталон. Что он собой представляет?

44 Определение момента инерции тел с помощью маятника Максвелла

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5: Определение момента

инерции тел с помощью маятника Максвелла

Цель работы:

изучение понятий,

законов

методов,

используемых при описании плоского движения твердых тел,

ознакомление с методом экспериментального определения

момента инерции, а также проверка закона сохранения

энергии в механике с помощью маятника (диска) Максвелла.

Оборудование:

экспериментальная

установка

встроенным миллисекундомером.

Краткая теория

Плоским называется такое движение, при котором все точки тела

двигаются параллельно одно плоскости. Плоское движение твердого

тела можно представить как совокупность поступательного движения,

происходящего со скоростью центра масс

и вращательного вокруг

оси, проходящей через этот центр, с угловой скоростью .

Рассмотрим в качестве примера скатывание тел с наклонной

плоскости (рис. 5.1). Будем предполагать, что при движении не

возникает скольжения. Это означает, что скорость тела в точке касания А

равна нулю. Отсутствие скольжения обеспечивается действием сил со

стороны наклонной плоскости на тело. Эти силы сводятся к силе реакции

опоры

и к касательной силе трения

. При отсутствии скольжения

сила

есть сила трения покоя.

Запишем

уравнение

динамики

вращательного

движения

относительно

оси,

проходящей через центр масс С:

где Ic

–

момент инерции

тела

относительно

оси,

проходящей через центр масс С,

Рис. 5.1 – Плоское движение тела,

Мс – момент внешних

скатывающегося с наклонной

сил относительно оси С.

плоскости

Момент внешних сил создает только сила трения, так как другие

силы ( N

и mg ) проходят через центр тяжести тела.

Момент силы трения

Мс r F

(r – радиус тела), а поэтому

Определение момента инерции тел с помощью маятника Максвелла 45

r F .

(5.2)

Еще одно уравнение дает Второй закон Ньютона:

mg sin F .

(5.3)

Учитывая,

что a

и разрешив полученные уравнения

относительно а, получим:

g sin

(5.4)

В случае маятника (диска)

Максвелла (рис. 5.2), представляющего

собой тело, обладающее симметрией

вращения, висящего в горизонтальном

положении на двух намотанных на него

нерастяжимых невесомых нитях, а

затем

опускающегося

под

действием

силы

тяжести,

угол / 2

. Тогда из

уравнения (5.4) получим:

, а

(5.5)

I c

Рис. 5.2 – Маятник Максвелла

Учитывая,

что

движение

спускающегося

на

нитях

тела

равноускоренное, при чем начальная скорость равна нулю, используем

формулу

. Из уравнения (5.5) получим

1 mr

(5.6)

Эту же формулу можно получить более простым путем из закона

сохранения энергии в его механической форме. Этим законом здесь

можно пользоваться даже при наличии силы трения. При отсутствии

скольжения, т.е. если считать нить нерастяжимой, сила трения

приложена к тем точкам тела, которые лежат на мгновенной оси

вращения. Мгновенная скорость таких точек равна нулю, а поэтому

приложенная к ним сила трения покоя работы не производит.

В верхней точке тело обладает потенциальной энергией в поле тяжести земли Еп mgh. Эта энергия в нижней точке переходит в

46 Определение момента инерции тел с помощью маятника Максвелла

кинетическую энергию, которая складывается из энергии поступательного и вращательного движения. Таким образом, получим:

							m	2			I			2
								2						2
				mgh				c				c		.	(5.7)
				mgh			2						2	.	(5.7)
							2						2
Учитывая, что					c	/ r , а также то, что при равноускоренном
					c
движении h		t
	c		, из формулы (5.7) получим уравнение (5.6).
	2		, из формулы (5.7) получим уравнение (5.6).
	2
В работе используется маятник со сменными кольцами. Из
определения момента инерции
									2	m
						I Ri				m					(5.8)
											i

следует, что эта величина аддитивна. Это означает, что момент инерции тел относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей тела относительно той же оси.

Момент инерции однородного цилиндра относительно его геометрической оси определяется по формуле:

где m – масса цилиндра, r – его радиус.

1 2

(5.9)

Момент инерции полого цилиндра (кольца) определяется по

формуле:
	I			1	m(r2		r2 ) ,	(5.10)
	I	п			m(r2		r2 ) ,	(5.10)
		п	2			1	2
			2
где m – масса полого цилиндра (кольца),
r1	– внешний радиус,
r2	– внутренний радиус.

Методика проведения измерений и описание экспериментальной установки

Устройство установки схематически показано на рисунке 5.3.

Восновании 1 с регулируемыми ножками 2 закреплена колонка 3,

ккоторой прикреплен неподвижный кронштейн 4 и подвижный нижний кронштейн 5. На верхнем кронштейне находится электромагнит 6, фотоэлектрический датчик №1 (7) и вороток 8 для закрепления и регулирования длины бифилярной подвески маятника.

Нижний кронштейн вместе с прикрепленным к нему фотоэлектрическим датчиком №2 (9) можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в произвольно выбранном положении.

Определение момента инерции тел с помощью маятника Максвелла 47

		8


4
4	6
	6

		7
		7
		11


5		10



		9
3		9

Рис. 5.3 – Схема установки

опускается маятник, и высота h.

Маятник прибора 10 представляет собой закрепленный на оси ролик (диск), на который накладываются сменные кольца 11, с помощью которых можно изменять момент инерции маятника.

Маятник с наложенным кольцом удерживается в верхнем положении электромагнитом. Длина маятника определяется по миллиметровой шкале на колонке прибора.

На установке непосредственно измеряется время t, за которое

Порядок выполнения работы

1.На ролик маятника поочередно надеть два кольца и для каждого из них измерить время движения с высоты h.

2.Для этого включить сетевой шнур прибора в сеть (220 В). Нажать клавишу «СЕТЬ», при этом все индикаторы измерителя должны высвечивать цифры «0» и должны засветиться лампочки фотоэлектрических датчиков.

3.Нижний кронштейн прибора передвинуть и зафиксировать в крайнем нижнем положении.

4.Наматывая на ось маятника нить подвески, зафиксировать его в верхнем положении электромагнитом. При этом кнопка «ПУСК» должна быть в отжатом положении. Диск маятника должен перекрывать луч верхнего фотоэлемента, однако нить не должна быть слишком натянута.

5.Нажать клавишу «ПУСК».

6.Записать полученное значение времени падения.

7.Нажать клавишу «СБРОС».

8.Повторить измерения 5 раз. Результаты измерений занести в таблицу 5.1.

Та б л и ц а 5 . 1 – Измерение времени движения маятника h=____(м)

Номер

t1, с

t 2 , с

t 3 , с

t 4 , с

t 5 , с

tср, с

кольца

48Определение момента инерции тел с помощью маятника Максвелла

9.По шкале на вертикальной колонке прибора определить высоту падения маятника h.

10.Аналогичные измерения выполнить для второго кольца.

11.Штангенциркулем измерить:

Dо – внешний диаметр оси маятника; Dр – внешний диаметр ролика;

Dк – внешний диаметр колец;

Dн – диаметр нити подвески.

12. Записать в таблицу 5.2 данные о диаметрах и массах ролика и колец маятника (массы указаны на установке).

Т а б л и ц а 5 . 2

– Результаты измерений диаметров и массы частей

маятника, а также высоты падения

Номер

h, м

Dо, м

Dр, м

Dк, м

Dн, м

mо, кг

mр, кг

mк, кг

кольца

Обработка результатов измерений

1. Рассчитать момента инерции маятника по формуле:

		1	mD2 (	gtср2
I	эксп				1) ,	(5.11)

		4		2h

где D=Dо+2Dн – внешний диаметр оси маятника вместе с нитью,

m=mо+mp+mк – полная масса маятника, состоящая из масс оси, ролика и кольца соответственно.

2. Определить теоретическое значение момента инерции, используя уравнения (5.9) и (5.10) по формуле:

I	теор	I	о	I	р

I	к

(5.12)

или

I		1	m D		2	1	m	D	2	1	m (D		2	D		2	) .

	теор								р						р
		4	0	о		4	р			4	к	к

3. Определить погрешность измерений по формуле:

\| I	эксп	I	теор	\|	100%.
	эксп		теор
	I
	I	теор
		теор

(5.13)

4. Результаты вычислений занести в таблицу 5.3.

Определение момента инерции тел с помощью маятника Максвелла 49

Т а б л и ц а

5 . 3 – Результаты вычислений

Номер

Iо,

Iр,

Iк,

Iтеор,

Iэксп, кг м

, %

кольца

кг м2

5. Оценить систематическую погрешность измерений I и

Относительную погрешность I можно рассчитать по формуле:

I=2 t + h +2 r .

В этом выражении t , h , r – относительные погрешности измерений времени, высоты и радиуса (диаметра) соответствующими приборами, определяемые через абсолютные систематические ошибки. Последние в свою очередь равны половине наименьшего деления миллисекундомера, шкалы прибора для измерения высоты,

штангенциркуля. t = t /tmin,, h = h /h, r= r/rmin. Сравнить с ошибкой, представленной в таблице 5.3

6. Записать выводы.

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте закон сохранения энергии в механике.

2.Что называется моментом инерции тела? В качестве примера выведите момент инерции однородного стержня.

3.Какова формула для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и как ее вывести.

4.Что называется моментом силы относительно неподвижной точки? Относительно неподвижной оси? Как определяется направление момента силы?

5.Что такое момент импульса материальной точки? Твердого тела? Как определяется направление момента импульса?

6.Сформулируйте закон сохранения момента импульса. Приведите примеры.

7.Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения в двух формах, используя понятия момента инерции тела и

момента импульса. Какая из форм более общая и может быть использована для описания движения системы тел?

50Определение момента инерции тел с помощью маятника Максвелла

8.Выведите формулу (5.6), используя законы динамики поступательного и вращательного движения.

9.Выведите формулу (5.6) из закона сохранения энергии.

10.Является ли движение тела в маятнике Максвелла гармоническим колебательным движением? Объясните почему.

11.С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают скатываться без скольжения сплошные цилиндр и шар одинаковых масс и одинаковых радиусов. Определить отношение скоростей цилиндра и шара у основания плоскости.

12.В предыдущей задаче определить отношение скоростей цилиндра и шара через время t после начала движения.

13.К ободу однородного сплошного цилиндра радиусом R = 0,6 м приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении диска на

него действует момент сил трения М = 2 Н м. Определить массу m

цилиндрв, если известно что его угловое ускорение постоянно и равно 12

рад/с2.

14. Сопоставьте основные физические величины, характеризующие поступательное и вращательное движения, а также законы этих движений.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.02.2015174.23 Кб13Курсач.docx
#
16.11.2019273.92 Кб7Курсовая ИТ Бычков.doc
#
17.08.2019547.33 Кб6курсовик методичка.doc
#
28.08.2019151.04 Кб10Курсовой проект по ИКМ КШИ.doc
#
22.03.20162.21 Mб14Л.Р. 3Оптика и т.д.doc
#
09.02.20152.11 Mб207Л.Р.1Механика.pdf
#
22.03.20161.86 Mб44Л.Р.2Электр.Магн..doc
#
09.02.20152.9 Mб27Лаб практикум часть 2 (последняя версия).doc
#
15.11.20192.97 Mб35Лаб практикум часть 2 (последняя версия).doc
#
09.02.2015596.48 Кб138Лаб.практ.СТиСЕРТ.doc
#
29.08.2019647.68 Кб8Лаба 1 МТС.doc